Variansanalyse

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

Variansanalyse (ANOVA, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.

De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.

Variansanalyse med én faktor[rediger | rediger kilde]

Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har grupper med like størrelser , og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.

Hypotesen man tester er for et antall populasjoner[1]

  1. minst to av gruppene er forskjellige.

Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.

Kvadratavvik og varians[rediger | rediger kilde]

De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved[2]


Sammenhengen mellom disse gir opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE.[3] Videre har vi at[4]

Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:[5]

Variasjonskilde Frihetsgrader Kvadratavvik Varians f-verdi
Grupper I - 1 SSTr MSTr = SSTr/(I - 1) MSTr/MSE
Error I(J - 1) SSE MSE = SSE/[I(J - 1)]
Total IJ - 1 SST

Test av nullhypotesen[rediger | rediger kilde]

For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved[4]

som er tilnærmet -fordelt. Forkastningsområdet for er for ønsket signifikansnivå

Tukeys prosedyre[rediger | rediger kilde]


F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå definerer vi som

De gjennomsnittene som har større differanse enn er være signifikant ulike, med signifikansnivå [6]

Relasjon til t-testen[rediger | rediger kilde]

For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen mot . T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.

For kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.[7]

Kilder[rediger | rediger kilde]

  • Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Devore/Berk 2007, side 540.
  2. ^ Devore/Berk 2007, side 544.
  3. ^ Devore/Berk 2007, side 547.
  4. ^ a b Devore/Berk 2007, side 545.
  5. ^ Devore/Berk 2007, side 548.
  6. ^ Devore/Berk 2007, side 552.
  7. ^ Devore/Berk 2007, side 557, 563.