Absoluttverdi

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Absoluttverdien eller tallverdien til et reelt tall er i matematikk den numeriske verdien til tallet uten hensyn til fortegnet. For eksempel vil absoluttverdien til både 3 og −3 være lik 3. Absoluttverdien av et tall x skrives |x|.

Definisjonen av absoluttverdi kan også utvides til å omfatte komplekse tall og begrepet modulus[1] eller modul[2] brukes da ekvivalent med absoluttverdi.

Absoluttverdi er også definert for andre typer matematiske objekt, som vektorer og matriser. I et endeligdimensjonalt vektorrom kan betegnelsen absoluttverdi av en vektor bli brukt som synonym for den euklidske vektornormen. Dette svarer til den geometriske lengden til vektoren.

Absoluttverdien kan også defineres formelt som en funksjon definert på en ordnet ring.

Absoluttverdien av reelle tall[rediger | rediger kilde]

Absoluttverdi-funksjonen for reelle tall.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Absoluttverdien av et reellt tall er definert som funksjonen f: RR+ gitt ved

f(x) =\left\{\begin{matrix}
x, & x \ge 0 \\
-x, & x < 0
\end{matrix}\right.

Funksjonen skrives vanligvis som f(x) = |x|.

Absoluttverdien kan alternativt defineres som funksjonen

|x| = \sqrt{x^2}. \,

Fundamentale egenskaper[rediger | rediger kilde]

Absoluttverdien for reelle tall har følgende fundamentale egenskaper:


\begin{alignat}{2}
&|a|  \ge 0  \\
&|a| = 0 \iff a = 0 \\
&|ab| = |a||b|.   \\
 \end{alignat}

Absoluttverdien definerer en metrikk i R, et avstandsmål mellom to tall.

Trekantulikheten[rediger | rediger kilde]

Trekantulikheten har forma[3]

|a+b|  \le |a| + |b|.

En nedre grense for absoluttverdien av en sum er gitt ved

| \; |a| - |b| \; |  \le |a+b|.

Disse skrives ofte sammen som

| \; |a| - |b| \; | \le |a+b|  \le |a| + |b|.

Derivert[rediger | rediger kilde]

Den deriverte av absoluttverdifunksjonen for positive verdier av argumentet er lik 1, og for negativ verdier lik −1. Den deriverte er ikke definert i vanlig forstand i punktet x = 0, der funksjonen har et knekkpunkt. I en utvidet klasse av distribusjoner er den deriverte av absoluttverdifunksjonen definert overalt lik tegnfunksjonen, definert som

 \sgn(x) = \begin{cases}
-1 & \text{if } x < 0, \\
0 & \text{if } x = 0, \\
1 & \text{if } x > 0. \end{cases}

Antiderivert[rediger | rediger kilde]

Absoluttverdifunksjonen er integrerbar og den antideriverte er gitt ved

\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}+C.

Intervalldefinisjon med absoluttverdi[rediger | rediger kilde]

Et åpent intervall av relle tall blir ofte definert ved hjelp av absoluttverdifunksjonen som

D_1 = \left \{x|  \; |x-a| < b \right \}. \,

Her er a midtpunktet i intervallet, og lengden av intervallet er lik 2b. Et lukket intervall defineres tilsvarende som

D_2 = \left \{ x|  \; |x-a| \le b \right \}. \, .

Absolutt konvergens for rekker[rediger | rediger kilde]

En rekke \sum a_n sies å konvergere absolutt dersom rekken \sum | a_n | konvergerer.[4] Dersom \sum a_n konvergerer, mens \sum | a_n | divergerer, sies rekken å konvergere betinget.

Absoluttverdien av komplekse tall[rediger | rediger kilde]

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Argand-diagram for det komplekse tallet z = (a,b) = a + ib.

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall er definert som funksjonen f: CR+ gitt ved[3]

|z| = \sqrt{zz^*}= \sqrt{(\text{Re}\; z)^2 + (\text{Im}\;z)^2}. \,

Her er z* den kompleks konjugerte av z. Videre er Re z realdelen av z, og Im z er imaginærdelen. Dersom imaginærdelen er lik null samsvarer definisjonen for komplekse tall med definisjonen for reelle tall.

Geometrisk tolkning[rediger | rediger kilde]

Ved hjelp av absoluttverdien, samt polarvinkelen φ kan ethvert komplekst tall skrives på eksponensialformen

z = |z| e^{i \phi}. \,

I et Argand-diagram, der et komplekst tall representeres ved et punkt i et to-dimensjonalt koordinatsystem, svarer absoluttverdien av det komplekse tallet til lengden av vektoren fra origo til punktet. I figuren til høyre er |z| = r.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

De samme fundamentale egenskapene gjelder for komplekse tall som for reelle tall. Også trekantulikheten har samme form. I tillegg gjelder relasjonene

|z| \ge |\text{Re}\; z| \ge \text{Re}\; z \;
|z| \ge |\text{Im}\; z| \ge \text{Im}\; z. \;

Dersom a1, a2,.... ,an og b1, b2,.... ,bn er komplekse tall, så gjelder Cauchy-Schwarz' ulikhet på forma[5]

| \sum_{i=1}^n a_i b_i^* |^2 \le  \sum_{i=1}^n a_i ^2 \sum_{i=1}^n b_i ^2.

Absoluttverdien av vektorer[rediger | rediger kilde]

Geometrisk illustrasjon av trekantulikheten for vektorer.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

For vektorer i et endelig-dimensjonalt euklidsk vektorrom definerer en del lærebøker absoluttverdien til en vektor til å være lik normen til vektoren.[6] For en koordinatvektor v = (x,y,z) i et tredimensjonalt rom er aboluttverdien da definert ved

|v| = ||v||_2 = \sqrt{x^2 + y^2 +z^2} \,

Absoluttverdien er da lik den geometriske lengden av vektoren.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Trekantulikheten gjelder for vektorer på samme form som for reelle tall. Den geometriske tolkningen av denne ulikheten er at den korteste veien mellom to punkt er en rett linje. Den geometriske illustrasjonen av trekantulikheten viser øverste et eksempel med streng ulikhet, nederst et eksempel med likhet i relasjonen.

Absoluttverdi av matriser[rediger | rediger kilde]

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Absoluttverdien til en matrise A = {aij} betegnes med |A| eller |A|abs og er definert lik en matrise med elementer lik absoluttverdien av elementene i den opprinnelige matrisen:

|A|_{abs} = 
  \begin{bmatrix}
    |a_{11}| & |a_{12}| & \cdots & |a_{1m}| \\
    |a_{21}| & |a_{22}| & \cdots & |a_{2m}| \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    |a_{n1}| & |a_{n2}| & \dots & |a_{nm}|
  \end{bmatrix}

Notasjonen |A| er også en vanlig form for determinanten til matrisen A.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Trekantulikheten gjelder også for absoluttverdien av matriser:

|A+B|_{abs} \le |A|_{abs} + |B|_{abs} \;

Dersom matriseproduktet AB er definert, så er

|AB|_{abs} \le |A|_{abs} |B|_{abs} \;

Diverse[rediger | rediger kilde]

I programmeringsspråk kalles absoluttverdifunksjonen ofte abs().

Historie[rediger | rediger kilde]

Både Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og Jean Robert Argand (1768-1822) brukte skriveformen mod x, som en forkortelse for modulen til x. Siden mod i matematikk også brukes som notasjon for modulo er denne skriveformen i dag ikke så vanlig. Notasjonen med bruk av to vertikale streker |x| for absoluttverdi ble første gang brukt av den tyske matematikeren Karl Weierstrass (1815-1897) i et arbeid fra 1841, der bruken omfattet komplekse tall.[7]

Navnet «absoluttverdi» er avledet av det latinske verbet «absolvere», som kan bety å gjøre fri fra. Absoluttverdien er gjort «fri» fra fortegnet. Før introduksjon av notasjonen |x| var det vanlig å referere til absoluttverdien som den numeriske verdien av et tall.[8]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein, 1989, Modulus, s.384
  2. ^ H.F.Aas, 1974, s.28
  3. ^ a b W.Rudin, 1976, s.14
  4. ^ W.Rudin, 1976, s.71
  5. ^ W.Rudin, 1976, s.15
  6. ^ Fr. Fabricius-Bjerre, 1977, s.32
  7. ^ Florian Cajori (2007). A history of mathematical notations, bind 2, s. 124. Cosimo Classics, New York. ISBN 978-1-60206-713-4.
  8. ^ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English, s. 18. The Mathematical Association of America, Washington, DC. ISBN 0-88385-511-9.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Collins, Glasgow. ISBN 0-00-434347-6.
  • Hans Fredrik Aas (1974). Forelesningsreferater i matematisk analyse, del 1. Matematisk institutt, Universitetet i Bergen, Bergen.
  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill International Book Co., Singapore. ISBN 0-07-085613-3.
  • Fr Fabricius-Bjerre (1949, 1968, 1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Polyteknisk forlag, Lyngby. ISBN 97-502-0440-8.
  • Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of Matrices. John Wiley and Sons, Chichester. ISBN 0-471-97015-8.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]