Kvadratrot

I matematikk er kvadratroten til et positivt, reelt tall a, det positive reelle tallet som ganget med seg selv gir a som resultat. Kvadratroten til a skrives $\sqrt a$. For eksempel er $\sqrt9=3$, siden 3 × 3 = 9.

Hvis a ≠ 0, finnes det to tall x som tilfredsstiller ligningen x² = a, og noen ganger betegnes begge disse tallene som kvadratrøttene til a. Hvis a er et positivt reelt tall, er kvadratrøttene et positivt og et negativt tall med samme absoluttverdi. For eksempel er kvadratrøttene til 9 lik 3 og -3. Symbolet √a refererer likevel alltid til den positive kvadratroten. Hvis a er et negativt tall, er begge kvadratrøttene imaginære, og hvis a er kompleks, er begge kvadratrøttene også komplekse.

En annen måte å skrive kvadratroten av x på, er å opphøye i en halv, altså: $x^{1\over2} = \sqrt{x}$, eller mer generelt: $\sqrt[n]{x} = x^{1\over n}$.

Symbolet $\sqrt{}$ ble først benyttet på 1500-tallet.

Noen regneregler

Følgende egenskaper for kvadratrøtter gjelder for alle positive, reelle tall x og y, og kan utledes fra potensreglene

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ for alle reelle tall x (se absoluttverdi)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Metode for å regne ut kvadratrot uten kalkulator

Dette er en flere tusen år gammel metode fra Babylonia.

La x være $\sqrt a$.

Først gjetter man seg frem til et tall x₀, deretter setter man den inn i en formel:

$x_1= \frac{1}{2} \cdot \left(x_0 + \frac{a}{x_0}\right)$

deretter går man videre med samme metode, denne gangen med x₂:

$x_2= \frac{1}{2} \cdot \left(x_1 + \frac{a}{x_1}\right)$

$x_3= \frac{1}{2} \cdot \left(x_2 + \frac{a}{x_2}\right)$ osv.

Grunnen til at man fortsetter med x₂, x₃, etc, er at jo lenger man kommer, desto mer nøyaktig blir svaret.

Eksempel:

Vi skal finne kvadratroten av 7. Vi vet at 2 er roten av 4, og 3 er roten av 9. Derfor må roten av 7 ligge i mellom 2 og 3, velger derfor x₀ = 2,5.

$x_1= \frac{1}{2} \cdot \left(2,5 + \frac{7}{2,5}\right) = \frac{1}{2} \cdot (2,5 + 2,8) = 2,65$

$x_2= \frac{1}{2} \cdot \left(2,65 + \frac{7}{2,65}\right) = \frac{1}{2} \cdot (2,65 + 2,64) = 2,645$

$x_3= \frac{1}{2} \cdot \left(2,645 + \frac{7}{2,645}\right) = \frac{1}{2} \cdot (2,645 + 2,646) = 2,645$

Ved å bruke 3 desimaler, ser vi at den tredje desimalen ikke forandrer seg fra x₂ til x₃, som betyr at vi har funnet svaret med 3 desimaler. Regner man ut roten av 7 på kalkulatoren, får man svaret 2,64575.. Vi ser derfor at metoden stemmer ganske nøyaktig.

Kvadratroten av de 20 første heltallene

$\sqrt {1}$	$=\,$	1
$\sqrt {2}$	$\approx$	1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
$\sqrt {3}$	$\approx$	1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
$\sqrt {4}$	$=\,$	2
$\sqrt {5}$	$\approx$	2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
$\sqrt {6}$	$\approx$	2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
$\sqrt {7}$	$\approx$	2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
$\sqrt {8}$	$\approx$	2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
$\sqrt {9}$	$=\,$	3
$\sqrt {10}$	$\approx$	3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
$\sqrt {11}$	$\approx$	3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
$\sqrt {12}$	$\approx$	3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
$\sqrt {13}$	$\approx$	3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
$\sqrt {14}$	$\approx$	3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
$\sqrt {15}$	$\approx$	3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
$\sqrt {16}$	$=\,$	4
$\sqrt {17}$	$\approx$	4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
$\sqrt {18}$	$\approx$	4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
$\sqrt {19}$	$\approx$	4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
$\sqrt {20}$	$\approx$	4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276

Se også

• Kubikkrot