Kvadratrot

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I matematikk er kvadratroten til et positivt, reelt tall a, det positive reelle tallet som ganget med seg selv gir a som resultat. Kvadratroten til a skrives \sqrt a. For eksempel er \sqrt9=3, siden 3 × 3 = 9.

Hvis a ≠ 0, finnes det to tall x som tilfredsstiller ligningen x2 = a, og noen ganger betegnes begge disse tallene som kvadratrøttene til a. Hvis a er et positivt reelt tall, er kvadratrøttene et positivt og et negativt tall med samme absoluttverdi. For eksempel er kvadratrøttene til 9 lik 3 og -3. Symbolet √a refererer likevel alltid til den positive kvadratroten. Hvis a er et negativt tall, er begge kvadratrøttene imaginære, og hvis a er kompleks, er begge kvadratrøttene også komplekse.

En annen måte å skrive kvadratroten av x på, er å opphøye i en halv, altså: x^{1\over2} = \sqrt{x}, eller mer generelt: \sqrt[n]{x} = x^{1\over n}.

Symbolet \sqrt{} ble først benyttet på 1500-tallet.

Noen regneregler[rediger | rediger kilde]

Følgende egenskaper for kvadratrøtter gjelder for alle positive, reelle tall x og y, og kan utledes fra potensreglene

\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
\sqrt{x^2} = \left|x\right| for alle reelle tall x (se absoluttverdi)
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

Metode for å regne ut kvadratrot uten kalkulator[rediger | rediger kilde]

Dette er en flere tusen år gammel metode fra Babylonia.

La x være \sqrt a.

Først gjetter man seg frem til et tall x_0, deretter setter man den inn i en formel:

x_1= \frac{1}{2} \cdot \left(x_0 + \frac{a}{x_0}\right)
deretter går man videre med samme metode, denne gangen med x_2:
x_2= \frac{1}{2} \cdot \left(x_1 + \frac{a}{x_1}\right)
x_3= \frac{1}{2} \cdot \left(x_2 + \frac{a}{x_2}\right) osv.

Grunnen til at man fortsetter med x_2, x_3, etc, er at jo lenger man kommer, desto mer nøyaktig blir svaret.

Eksempel:

Vi skal finne kvadratroten av 7. Vi vet at 2 er roten av 4, og 3 er roten av 9. Derfor må roten av 7 ligge i mellom 2 og 3, velger derfor x_0 = 2,5.

x_1= \frac{1}{2} \cdot \left(2,5 + \frac{7}{2,5}\right) = \frac{1}{2} \cdot (2,5 + 2,8) = 2,65
x_2= \frac{1}{2} \cdot \left(2,65 + \frac{7}{2,65}\right) = \frac{1}{2} \cdot (2,65 + 2,64) = 2,645
x_3= \frac{1}{2} \cdot \left(2,645 + \frac{7}{2,645}\right) = \frac{1}{2} \cdot (2,645 + 2,646) = 2,645

Ved å bruke 3 desimaler, ser vi at den tredje desimalen ikke forandrer seg fra x_2 til x_3, som betyr at vi har funnet svaret med 3 desimaler. Regner man ut roten av 7 på kalkulatoren, får man svaret 2,64575.. Vi ser derfor at metoden stemmer ganske nøyaktig.

Kvadratroten av de 30 første heltallene[rediger | rediger kilde]

 \sqrt {1} =\, 1
 \sqrt {2} \approx 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
 \sqrt {3} \approx 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
 \sqrt {4} =\, 2
 \sqrt {5} \approx 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
 \sqrt {6} \approx 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
 \sqrt {7} \approx 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
 \sqrt {8} \approx 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
 \sqrt {9} =\, 3
\sqrt {10} \approx 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
\sqrt {11} \approx 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
\sqrt {12} \approx 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
\sqrt {13} \approx 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
\sqrt {14} \approx 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
\sqrt {15} \approx 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
\sqrt {16} =\, 4
\sqrt {17} \approx 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
\sqrt {18} \approx 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
\sqrt {19} \approx 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
\sqrt {20} \approx 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
\sqrt {21} \approx 4.5825756949 5584000658 8047193728 0084889844 5657676797 1902607242 1239068684 25547
\sqrt {22} \approx 4.6904157598 2342955456 5630113544 4662805882 2835341173 7153605701 8910170246 32753
\sqrt {23} \approx 4.7958315233 1271954159 7438064162 6939199967 0704190412 9346485309 1144482572 35907
\sqrt {24} \approx 4.8989794855 6635619639 4568149411 7827839318 9496131334 0256865385 1345019207 54914
\sqrt {25} =\, 5
\sqrt {26} \approx 5.0990195135 9278483002 8224109022 7819895637 7094609959 6407584970 8044259336 32062
\sqrt {27} \approx 5.1961524227 0663188058 2339024517 6171008284 1576143114 1884167420 9383557990 50726
\sqrt {28} \approx 5.2915026221 2918118100 3231507278 5208514205 1836616490 0360736668 9184021376 46460
\sqrt {29} \approx 5.3851648071 3450403125 0710491540 3295562951 2016164478 8837680388 6700166459 62827
\sqrt {30} \approx 5.4772255750 5166113456 9697828008 0213395274 4694997983 2542268944 4973249327 71227

Se også[rediger | rediger kilde]