Cramers regel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2 × 2 system[rediger | rediger kilde]

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

\begin{matrix}
ax+by &={\color{red}e}\\ 
cx + dy &= {\color{red}f}
\end{matrix}.

På matriseform skrives ligninssystemet som

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}.

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

x = \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}
y = \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}.

Cramers regel for et 3 × 3 system[rediger | rediger kilde]

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

\begin{matrix}
ax + by + cz&= {\color{red}j}\\
dx + ey + fz&= {\color{red}k}\\
gx + hy + iz&= {\color{red}l}\end{matrix}.

Matriseforma er

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }, \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }, \quad z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }.

Cramers regel for et generelt system[rediger | rediger kilde]

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

 Ax = b\,

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren x = (x1, ..., xn)T inneholder de ukjente i ligningssystemet.

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

 x_k = \frac{\det A_k}{\det A} \qquad k = 1, \ldots, n \,

der Ak er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren b.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • C.B.Boyer (1968). A history of mathematics.. John Wiley & Sons, Inc, Princton, USA. ISBN ISBN 0-691-02391-3.
  • Fr Fabricius-Bjerre (1949, 1968, 1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Polyteknisk forlag, Lyngby. ISBN 97-502-0440-8.