Lemniskate

Lemniskaten med sine to brennpunkt. I midten skjærer den seg selv under en vinkel 90°.

Lemniskate (fra latin lemniscus - sløyfe) er lukket, geometrisk kurve som ser ut som et 8-tall. Matematisk er den beskrevet ved en ligning av fjerde grad og er et spesialtilfelle av en Cassini-oval.

Kurven kan defineres med hensyn til to brennpunkt. Den er gitt som det geometriske stedet for alle punkt hvis produkt av avstander til brennpunktene har en konstant verdi lik kvadratet av halve avstanden mellom brennpunktene. Dette er analogt til definisjonen av en ellipse som er definert som det geometriske sted for de punkt hvis sum av avstandene til to brennpunkt er konstant.

Egenskapene til lemniskaten ble først undersøkt av brødrene Johann og Jakob Bernoulli. Beregning av dens omkrets viste seg å være spesielt utfordrende og ble i sin tur undersøkt av Giulio Fagnano, Leonhard Euler og Carl Friedrich Gauss. Disse arbeidene ble generalisert av Niels Henrik Abel som viste at det var mulig å dele omkretsen opp i samme antall like deler som en sirkel lar seg dele opp i. Dette resultatet tilsvarer geometrisk konstruksjon av en regulær mangekant for lemniskaten og var en liten, men elegant del av hans utforskning av egenskapene til elliptiske funksjoner.

Matematiske egenskaper

I et kartesisk koordinatsystem hvor et punkt P på lemniskaten har koordinatene (x,y ), ligger dens brennpunkt F₁ og F₂ i (-a,0) og (+a,0). Kurven er da definert ved at produktet

$PF_{1}\cdot PF_{2}=a^{2}$

er konstant med akkurat denne verdien. Uttrykkes avstandene ved hjelp av Pythagoras' læresetning, finner man sammenhengen

$[(x+a)^{2}+y^{2}]\cdot [(x-a)^{2}+y^{2}]=a^{4}$

etter å ha kvadrert denne definisjonen. Regnes dette ut og forenkles, finner man derved ligningen

$(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})$

for lemniskaten i kartesiske koordinater. Ved her å sette y = 0, ser man at den skjærer y-aksen i punktene x = ±a√2 i tillegg til det doble skjæringspunktet i origo.

En mer kompakt ligning kan finnes ved å bruke polarkoordinatar x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir sammenhengen

$r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta$

mellom avstanden r fra origo til et punkt på lemniskaten og vinkelen θ til punktet. Med denne parametriseringen må cos 2θ må være positiv. Derfor varierer θ  fra - 45° til + 45° som tilsvarer fra -π /4 til +π /4 i radianer. Det gir den høyre buen til kurven.

Alternative parametriseringer

Hele lemniskaten kan fremstilles i andre parametriseringer. Ved bruk av trigonometriske identiteter kan både sinus og cosinus til en vinkel uttrykkes ved tangens til vinkelen. Innfører man derfor en ny vinkel φ ved definisjonen tanθ = cosφ i de kartesiske koordinatene x = r cosθ og y = r sinθ, tar disse formen

$x=a{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\sin \phi }{1+\cos ^{2}\phi }},\;\;y=a{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\sin \phi \cos \phi }{1+\cos ^{2}\phi }}$

Hele lemniskaten fremkommer nå ved å la parameteren φ variere fra 0 til 2π . Høyre bue tilsvarer intervallet 0 < φ < π , mens venstre bue fremkommer ved å kontinuere inn i intervallet π < φ < 2π .

I stedet for å parametrisere ved bruk av trigonometriske funksjoner, kan man også benytte rasjonelle funksjoner ved å benytte den viktige omskrivningen

$\sin \phi ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\;\;\cos \phi ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

hvor t = tanφ/2  varierer over alle positive og negative reelle tall. Innsatt gir dette parametriseringen

$x=a{\sqrt {2}}\;{\dfrac {t+t^{3}}{1+t^{4}}},\;\;y=a{\sqrt {2}}\;{\dfrac {t-t^{3}}{1+t^{4}}}$

Venstre bue i lemniskaten fremkommer når parameteren t er negativ, og høyre når den er positiv slik at dens sentrum ligger i t = 0.

Sammenheng med hyperbel

Lemniskaten med a = 1/√2  er pedalkurven til hyperbelen med eksentrisitet e = √2.

Med polarkoordinater kan ligningen for lemniskaten skrives som r² = 2a² (cos²θ - sin²θ). Hvis denne kurven nå inverteres i en sirkel med radius R, vil ligningen forandres med r → R²/r. For den spesielle verdien R² = 2a², blir da ligningen for den inverterte kurven 2a² = r² (cos²θ - sin²θ). I kartesiske koordinater er dette

$x^{2}-y^{2}=2a^{2}.$

Inversjonen av lemniskaten har derfor gitt en hyperbel med hovedakse langs x-aksen og eksentrisitet e = √2. Dens to brennpunkt ligger i punktene (±c,0) hvor c = ea√2 = 2a  er lik med avstanden mellom brennpunktene til lemniskaten.

Grunnen for denne sammenhengen mellom de to kurvene er at lemniskaten er pedalkurven til hyperbelen. Det betyr at den er det geometriske stedet for skjæringspunktet mellom tangenten til hyperbelen og en normal til denne som går gjennom origo.

Ligningen for hyperbelen kan skrives på parametrisk form ved å innføre en vinkel φ. Ved direkte innsettelse ser man at dette gjøres ved x = a√2 cosφ  og y = a√2 tanφ. En ny inversjon i samme sirkel av hyperbelen på denne formen gir den tidligere parametriserte formen av lemniskateligningen uttrykt ved vinkelen φ  som parameter.

Areal

Hele arealet til lemniskatene er summen av arealene til de to buene som hver er like store. Med bruk av polarkoordinater er arealet av høyre bue gitt ved

$A={1 \over 2}\int _{-\pi /4}^{\pi /4}\!r^{2}d\theta =a^{2}\int _{-\pi /4}^{\pi /4}\!\cos 2\theta d\theta =a^{2}$

da integralet av cosinus er lik med sinus. Arealet til hele lemniskaten er dermed 2a².

Buelengder og addisjonsformler

En del av buelengden s til lemniskaten målt fra dens sentrum til punktet med radius r fremstilt i rødt. Her er den kanoniske verdien a = 1/√2 benyttet.

For å regne ut lengden av omkretsen til lemniskaten, kan man benytte linjeelement ds² = dr² + r²dθ² i polarkoordinater. Fra ligningen r² = 2a²cos2θ  for kurven finner man ved derivasjon at rdr = 2a²sin2θdθ  hvor sin2θ kan uttrykkes ved cos2θ og derfor ved radius r. Dette gir det kvadrerte linjeelementet

$ds^{2}=dr^{2}+{r^{4}dr^{2} \over 4a^{4}-r^{4}}={4a^{4}dr^{2} \over 4a^{4}-r^{4}}$

Buelengden mellom sentrum r = 0 til lemniskaten og et vilkårlig punkt r er derfor

$s=\int _{0}^{r}\!{dr \over {\sqrt {1-(r/a{\sqrt {2}})^{4}}}}$

Her som i tidligere uttrykk kan man se at det gir en forenkling i matematikken å betrakte den spesielle lemniskaten som har a = 1/√2. Det tilsvarer den spesielle rollen til enhetssirkelen som har radius r = 1. Buelengden for alle andre lemniskater finnes da ved å multiplisere resultatet med a√2.

Med dette kanoniske valget blir maksimal radius i lemniskaten lik med r = 1. Det er vanlig å benevne lengden til høyre eller venstre bue med ω som kalles for den lemniskatiske konstanten. Den er gitt ved integralet

${\omega \over 2}=\int _{0}^{1}\!{dr \over {\sqrt {1-r^{4}}}}$

og har verdien ω = 2,622057... . Den ble først funnet av Gauss i 1798 i forbindelse med hans utforskning av aritmetisk-geometriske middelverdier. Han fant da

$\omega ={\frac {\pi }{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}$.

Denne sammenhengen viste seg å være av fundamental betydning for beregning av elliptiske integral.

Alternativt kan man beregne integralet ved å benytte den nye integrasjonsvariable x = r⁴. Det kan da uttrykkes ved betafunksjonen hvis verdi igjen kan finnes fra gammafunksjonen. Resultatet for den lemniskatiske konstanten blir dermed

$\omega ={1 \over 2}\mathrm {B} (1/4,1/2)={\Gamma ^{2}(1/4) \over 2{\sqrt {2\pi }}}.$

Buelengden til hele lemniskaten er 2ω når a√2 = 1.

Den nye konstanten tilsvarer tallet π = 3,141592... for enhetssirkelen. Omkretsen til denne er 2π  hvor den numeriske verdien på π  følger fra integralet

${\pi \over 2}=\int _{0}^{1}\!{dr \over {\sqrt {1-r^{2}}}}$

som kan gjøres analytisk på flere forskjellige måter.

Lemniskatiske integral

Lengden av lemniskatebuen fra sentrum til et vilkårlig punkt med radius u er gitt ved integralet

$s(u)=\int _{0}^{u}\!{dr \over {\sqrt {1-r^{4}}}}$

som først ble undersøkt av brødrene Bernoulli på slutten av 1600-tallet og viste at det ikke lot seg beregne ved kjente, analytiske metoder. Deres arbeid ble videreført noen tiår senere av Giulio Fagnano. Selv om ikke han heller fant noen analytisk løsning, viste han at dette lemniskatiske integralet hadde noen meget spesielle og interessante egenskaper. For eksempel, ved å innføre den nye variable

$w={2u{\sqrt {1-u^{4}}} \over 1+u^{4}},$

kunne han omforme integralet til å gi s(w) = 2s(u) som gir en fordobling av buelengden til u. Da denne nye variable kun involverer en kvadratrot, betyr det at en dobling av buelengden kan gjøres ved en geometrisk konstruksjon med passer og linjal. Omvendt betyr dette at en gitt buelengde også kan halveres på samme måte.

Ved lignende omskrivninger kunne Fagnano vise at omkretsen til hele lemniskaten kan deles i 2, 3 eller 5 deler som igjen kan halveres så mange ganger man måtte ønske. Dette elegante resultatet tilsvarer oppdelingen av sirkelen i tilsvarende antall deler ved geometriske konstruksjon, noe som gir de regulære mangekantene.

Eulers addisjonsformler

Euler ble kjent med disse resultatene i 1751 da Fagnano ble opptatt ved det prøyssiske vitenskapsakademiet i Berlin. Han innså med en gang deres betydning og fant mer nye egenskaper ved de lemniskatiske integralene. En av de viktigste oppdagelsene han gjorde var at de kunne addereres. For to punkt på kurven gitt ved radiene u og v, oppfyller de tilsvarende buelengdene s(u) + s(v) = s(w)  hvor

$w={u{\sqrt {1-v^{4}}}+v{\sqrt {1-u^{4}}} \over 1+u^{2}v^{2}}$

Når u = v, forenkler denne seg til Fagnanos formel for dobling av buelengden.

i 1754 brukte Euler den samme metoden til å gjelde det mer generelle integralet

$f(u)=\int _{0}^{u}\!{dt \over {\sqrt {P(t)}}}$

hvor P(t) = (1 - t ²)(1 - k ²t ²)  og k er en konstant. Også i dette tilfellet gjelder addisjonsformelen f(u) + f(v) = f(w)  hvor nå

$w={u{\sqrt {P(v)}}+v{\sqrt {P(u)}} \over 1-k^{2}u^{2}v^{2}}$

Resultatet for lemniskaten tilsvarer den spesielle verdien k² = - 1. Igjen er dette en konstruerbar funksjon av de to variable u og v.

Noen tiår senere begynte Adrien-Marie Legendre et systematisk studium av dette og mer generelle integral. Da noen av disse også dukker opp i forbindelse med beregning av buelengden til ellipsen, blir de kalt for elliptiske integral. Legendre viste at også de tilfredsstiller addisjonsformler. Det spesielle lemniskateintegralet ble da klassifisert som et «elliptisk integral av første type».

Trigonometriske addisjonsformler

For en enhetssirkel med sentrum i origo x² + y² = 1 kan buelengden beregnes analytisk. I det kvadratiske linjeelementet ds² = dx² + dy²  vil da xdx + ydy = 0  slik at ds = dx/y . Buelengden mellom punktene med x-koordinat 0 og u er dermed gitt ved integralet

$s(u)=\int _{0}^{u}\!{dx \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Her kan det nå resultatet av integrasjonen uttrykkes ved en invers trigonometrisk funksjon som s = arcsin(u). Omvendt betyr det at x-koordinaten kan skrives som en funksjon til lengden av sirkelbuen som u = sin(s). At sin(π/2) = 1 tilsvarer at arcsin(1) = π /2.

Dette trigonometriske integralet oppfyller også en addisjonsformel av samme form som s(u) + s(v) = s(w)  for lemniskaten, men nå med

$w=u{\sqrt {1-v^{2}}}+v{\sqrt {1-u^{2}}}$

Kaller man buelengdene s(u) = α og s(v) = β hvor generelt s(x) = arcsin(x), gir formelen ikke noe annet enn det kjente resultatet

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha$

for sinus til en sum av to vinkler. Sinusfunksjonen er kommet frem ved inversjon av det trigonometriske integralet. Addisjonsformelen den tilfredsstiller inneholder mye informasjon om egenskapene til funksjonen og var tidligere av stor betydning for numeriske beregninger av dens verdier.

Fra addisjonsformelen for det trigonometriske integralet følger en «addisjonsformel for en funksjon». Mer generelt oppfyller en funksjon f(x)  en slik formel når

$f(x+y)=F(f(x),f(y))$

hvor F(u,v) er en algebraisk funksjon av sine to variable. Et enkelt eksempel er eksponentialfunksjonen f(x) = e^x. Den har den viktige egenskapen e^{x + y} = e^x e^y, det vil si F(u,v) = uv. Slike sammenhenger mellom de inverterte integralene ble først systematisk benyttet av Niels Henrik Abel fra 1827 i forbindelse med hans studier av elliptiske integral og elliptiske funksjoner. Han kunne generalisere dette til sitt addisjonsteorem som senere har hatt stor betydning for utviklingen av moderne matematikk. Etableringen av de elliptiske funksjonene ble omtrent samtidig gjort av Carl Gustav Jacobi i Königsberg.

Lemniskatiske funksjoner

Abel var sterkt influert av arbeidene Legendre som hadde klassifisert de elliptiske integralene i tre typer. Integralet av første type skrev Abel som

$s(u)=\int _{0}^{u}\!{dx \over {\sqrt {(1-c^{2}x^{2})(1+e^{2}x^{2})}}}$

hvis verdi også avhenger av parametrene c og e. Inspirert av addisjonssetningene han hadde funnet, betraktet han den inverse funksjonen som kommer frem ved å tenke seg den øvre grensen u i integralet som en funksjon av integralverdien s. Han skrev dette som u = φ(s;c,e) og etablerte egenskapene til denne nye funksjonen som er en elliptisk funksjon.

I det spesielle tilfellet c = e = 1 blir dette en «lemniskatisk funksjon» u = φ(s). Den er derfor definert ved integralet

$s=\int _{0}^{\phi }\!{dx \over {\sqrt {1-x^{4}}}}$

og gir radius i lemniskaten som tilsvarer en viss radius. Funksjonen har mange egenskaper av tilsvarende slag som den vanlige sinus-funksjonen. I tillegg til at φ(0) = 0, må også φ(ω/2) = 1 som følger fra definisjonen av den lemniskatiske konstanten. Det tilsvarer at sin(π/2) = 1. Utvides funksjonen til også å gjelde for negative argument, må den være en odde funksjon med φ(-s) = - φ(s). Den deriverte av funksjonen φ' = dφ/ds  finnes ved å derivere begge sider av integralet. Det gir

${d\phi \over ds}={\sqrt {1-\phi ^{4}(s)}}$

som betyr at φ'(0) = 1, mens φ'(ω/2) = 0. Dette er nå en like funksjon med φ'(-s) = φ'(s).

Dobbel periodisitet

Eulers addisjonsformel for integralet som definerer funksjonen, kan nå skrives som

$\phi (s+t)={\phi (s)\phi '(t)+\phi (t)\phi '(s) \over 1+\phi ^{2}(s)\phi ^{2}(t)}$

Ved her å sette inn t = ω/2, finner man

$\phi (s+\omega /2)={\phi '(s) \over 1+\phi ^{2}(s)}={\sqrt {1-\phi ^{2}(s) \over 1+\phi ^{2}(s)}}$

På samme måte kan dette utvides til å gi φ(s + ω) = - φ(s) som igjen betyr at φ(s + 2ω) = φ(s). Den lemniskatiske funksjonen er derfor periodisk med periode 2ω. Det tilsvarer at den vanlige sinus-funksjonen har periode 2π.

Den lemniskatiske funksjonen kan utvides til å gjelde også for komplekse verdier av argumentet ved å sette x = iy i integralet som definerer den hvor i = √-1 er den imaginære enheten. Det gir at φ(is) = iφ(s)  som igjen betyr at φ'(is) = φ(s). Eulers addisjonsformel gir nå på samme måte at φ(s + iω) = - φ(s) slik at funksjonen også har den rent imaginære perioden 2iω, Alternativt har man nå også at

$\phi (s+\omega \pm i\omega )=\phi (s)$

slik at funksjonen kan sies å ha to komplekse perioder (1 ± i )ω. Denne doble periodisiteten er karakteristisk for alle elliptiske funksjoner.

Gauss og sinus lemniscatus

Sinus lemniscatus sl er plotted i svart, mens cosinus lemniscatus cl er plottet i blått. Til sammenligning er også den vanlige sinusfunksjonen med samme periode som sl plotted i grått.

Etter at Gauss døde i 1855, ble det klart fra dagbøkene hans at han hadde studert disse funksjonene mange år før Abel og Jacobi. Inspirert av likheten mellom φ(s) og den vanlige sinusfunksjonen, kalte han den for sinus lemniscatus og skrev den som sl(s). Tilsvarende definerte han cosinus lemniscatus som

${\text{cl}}(s)={\text{sl}}({\omega \over 2}-s)$

slik at begge funksjonene er definerte ved de tilsvarende integralene

$s=\int _{0}^{{\text{sl}}(s)}\!{dx \over {\sqrt {1-x^{4}}}}=\int _{{\text{cl}}(s)}^{1}\!{dx \over {\sqrt {1-x^{4}}}}.$

Resulatet fra Eulers addisjonsteorem kan nå skrives som

${\text{sl}}^{2}(s)+{\text{cl}}^{2}(s)+{\text{sl}}^{2}(s){\text{cl}}^{2}(s)=1,$

mens den deriverte av funksjonen blir

${\text{sl}}'(s)={\text{cl}}(s)(1+{\text{sl}}^{2}(s)).$

Egenskapene til funksjonene for komplekse argument følger fra sl(is) = i sl(s) og cl(is) = 1/cl(s). Dette er i motsetning til de trigonometriske funksjonene som ved tilsvarende substitusjoner går over i hyperbolske funksjoner.

De lemniskatiske funksjonene kan også uttrykkes ved Jacobis elliptiske funksjoner med den spesielle verdien k = 1/√2 for modulus. Da er

${\text{sl}}(s)={\sqrt {1 \over 2}}{{\text{sn}}(s{\sqrt {2}}) \over {\text{dn}}(s{\sqrt {2}})}\;\;\;{\text{cl}}(s)={\text{cn}}(s{\sqrt {2}}).$

Alternativt kan de også skrives som spesielle tilfeller av Weierstrass' elliptiske funksjon og dens deriverte.

Litteratur

• E. H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.
• C.B. Boyer and U.C. Merzbach, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, New Jersey (2010). ISBN 0-470-52548-7.
• J. Stillwell, Mathematics and Its History, Springer, New York (2010). ISBN 978-1441960528.

Eksterne lenker

• Abel-prisen, The Abel Prize Arkivert 25. mars 2012 hos Wayback Machine., med mange linker til Abels liv og arbeid.
• E. Weisstein, Lemniscate, Wolfram MathWorld.
• «Lemniscates», fra Encyclopedia of Mathematics