Hopp til innhold

Komplekst tall

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra «Komplekse tall»)
Et komplekst tall fremstilt som en vektor i det komplekse planet.

Et komplekst tall er i matematikk et tall på formen , der og er reelle tall, og er den imaginære enheten med egenskapen .

Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C eller . Denne mengden inneholder de reelle tallene R (eller ) som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.

Et komplekst tall er definert ved en realdel og en imaginærdel . Hvis , sies tallet å være «rent imaginært».

Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen . Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange grener av matematikk. Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i C, kalles kompleks analyse.

Formelt blir komplekse tall definert basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for tallmengden.

Formell definisjon av komplekse tall

[rediger | rediger kilde]

Formelt er et komplekst tall innført som et ordnet par av reelle tall , definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

Mengden av komplekse tall utgjør en kropp.

Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives . Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall. Ordningsrelasjoner i lar seg imidlertid ikke generalisere til , slik at har mening bare for reelle verdier av og .

Den imaginære enheten er definert ved . Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at .

Grunnleggende definisjoner og egenskaper

[rediger | rediger kilde]

Additiv og multiplikativ invers

[rediger | rediger kilde]

Til ethvert komplekst tall eksisterer det en additiv invers , slik at . Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.

Til ethvert komplekst tall ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers , slik at :

Absoluttverdi

[rediger | rediger kilde]

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall er definert ved

For denne gjelder trekantulikheten:

Kompleks konjungert

[rediger | rediger kilde]

Den kompleks konjungerte til et komplekst tall er definert ved

Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

Geometrisk tolkning

[rediger | rediger kilde]
Det komplekse tallet vist i det komplekse planet.

Ethvert komplekst tall kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, kartesisk koordinatsystem, som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen.

Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren Caspar Wessel, men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter Carl Friedrich Gauss eller ganske enkelt det komplekse planet.

Siden den kompleks konjungerte til tallet er definert ved representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.

Rotasjonsvinkelen som vektoren danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de trigonometriske relasjonene

Polarform

[rediger | rediger kilde]

For et gitt kompleks tall definerer absoluttverdien og argumentet et sett av polarkoordinater, og kan skrives på trigonometrisk form som

Alternativt kan man bruke en eksponential form

basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner,

Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder. For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet , tolkes som en forlenging med faktoren , samt en rotasjon med vinkelen .

For divisjon av to komplekse tall gjelder

Komplekse vektorrom

[rediger | rediger kilde]

Et vektorrom er lukket under operasjonene

der er vektorer og en skalar. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar skalarene være komplekse tall.[1]

Rommet

[rediger | rediger kilde]

Vektorrommet består av alle ordnede n-tupler av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen

der er komplekse tall.[2] Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved

som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i , er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i , men i tillegg holder også at

hvilket man kan vise direkte ved regning.[3] sammen med det tilordnede indreproduktet danner et indreproduktrom.

Referanser

[rediger | rediger kilde]

Litteratur

[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker

[rediger | rediger kilde]