Hyperbolske funksjoner

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
En rett linje gjennom origo skjærer hyperbelen i et punkt som gir de to hyperbolske funksjonene cosha og sinha hvor a/2 er det røde araelet.

Hyperbolske funksjoner er matematiske funksjoner av en variabel. De er analoge til de mer vanlige trigonometriske funksjonene som er forbundet med egenskaper til sirkelen. På samme måte er de hyperbolske funksjonene forbundet med egenskaper til hyperbelen. De viktigste av disse funksjonene er sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus) og tanh (tangens hyperbolicus).

De ble først studert av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler noen få år før 1750. Men deres geometriske innhold og matematiske betydning ble klarlagt vel ti år senere av den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sistnevte har også gitt funksjonene de navnene som fremdeles brukes. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøkelser av det som i dag kalles hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funksjonene sin og cos kan benyttes til å parametrisere en sirkel. I et kartesisk koordinatsystem er denne beskrevet ved ligningen x2 + y2 = 1 når den har radius r = 1. Ved å skrive x = cosα og y = sinα hvor vinkelen α  angir et punkt på sirkelen målt fra x - aksen, følger den fundamentale sammenhengen

(cos α)2 + (sinα)2 = 1

cos2α + sin2α = 1

I samme kartesiske koordinatsystem er en hyperbel beskrevet ved ligningen x2 - y2 = 1. De to viktigste, hyperbolske funksjonene kan nå defineres ved parametriseringen x = cosha og y = sinha hvor den variable a kalles den hyperbolske vinkel. Den kan identifiseres med arealet som er begrenset av hyperbelen vist i figuren. Innsatt vil disse to funksjonene derfor måtte oppfylle den fundamentale ligningen

cosh2a - sinh2a = 1

I motsetning til de trigonometriske funksjonene, kan disse to hyperbolske funksjonene derfor ta vilkårlige store verdier. Den tredje hyperbolske funksjonen er definert som tanha = sinha/cosha og tar verdier som alltid ligger mellom ±1. Likedan kan man definere cotha = 1/tanha som kan ta vilkårlige verdier.

Definisjoner[rediger | rediger kilde]

Hyperbolsk cosinus (blå), hyperbolsk sinus (rød) og hyperbolsk tangens (grønn).

Det geometriske innholdet til funksjonene som følger fra egenskaper ved hyperbelen, kan videre benyttes til å vise at de kan eksplisitt uttrykkes ved Eulers eksponensialfunksjon. Kalles argumentet nå for x, finner man da at

  • Hyperbolsk cosinus:
  • Hyperbolsk sinus:
  • Hyperbolsk tangens:

Dette kan også tas som definisjonene av disse tre funksjonene. Videre er det vanlig å definere i tillegg de følgene funksjonene

  • Hyperbolsk cotangens:
  • Hyperbolsk secans:
  • Hyperbolsk cosecans:

Algebraiske identiteter[rediger | rediger kilde]

Fra definisjonene kan man nå lett verifisere at den fundamentale identiteten

er oppfylt. Videre følger addisjonssetningene

De er analoge til relasjonene for de tilsvarende trigonometriske funksjonene med summen av to vinkler som argument. Setter man her x = y, følger det fra den første identiteten at

mens fra den siste følger det at

Derfor har man også at

På samme måte gjelder

slik at

Herav følger de tilsvarende relasjonene

Deriverte[rediger | rediger kilde]

Da den deriverte av eksponensialfunksjonen tilfredsstiller

er de deriverte av de hyperbolske funksjonene ganske enkelt gitt ved

Det kan så benyttes til å vise at

Taylor-utviklinger[rediger | rediger kilde]

Fra Taylor-rekken til eksponensialfunksjon følger direkte at

og viser tydelig at det er en odde funksjon, nemlig sinh(-x) = -sinhx. På samme måte er

i overensstemmelse med at den er en like funksjon, nemlig cosh(-x) = cosh(x). Taylor-rekken til tangens-funksjonene blir dermed

der Bn er n-te det Bernoulli-tallet.

Inverse hyperbolske funksjoner[rediger | rediger kilde]

Plot av invers hyperbolsk funksjon arsinhx.
Plot av invers hyperbolsk funksjon arcoshx.
Plot av invers hyperbolsk funksjon artanhx.

Da argumentet til de hyperbolske funksjonene har betydning av et areal, kalles de inverse funksjonene ofte for arealfunksjoner. For eksempel, den inverse funksjonen til sinh kalles derfor arsinh og den inverse til cosh er arcosh. De må alle oppfylle det basale kravet til inverse funksjoner, for eksempel må

Denne ligningen kan nå løses ved å skrive x = sinhu  slik at u = arsinhx. Ved å bruke definisjonen av hyperbolsk sinus, finner man direkte ligningen eu - e-u = 2x eller

som er en andregradsligning for eu. Da denne må være positiv, er det bare en løsning eu = x + √(x2 + 1) eller

Det er lett å sjekke at dette stemmer da x + √(x2 + 1) = sinhu + coshu = eu. På samme måte for de andre funksjonene finner man så tilsvarende at

Deriverte[rediger | rediger kilde]

Taylor-utviklinger[rediger | rediger kilde]

og hvorfra man også har arcothx = artanh(1/x).

Standardintegral[rediger | rediger kilde]

Fra de deriverte av de vanlige, hyperbolske funksjonene følger direkte integralene

hvor C  er en integrasjonskonstant. Andre integral kan uttrykkes ved de inverse funksjonene. For eksempel, i integral som involverer √(x2 + a2) kan man sette x = a sinhu slik at kvadratroten √(x2 + a2) = coshu. Sammen med dx = a coshu du gir det for eksempel integralet

Samme metode med x = a coshu gir likedan

mens substitusjonen x = a tanhu gjør det mulig å gjøre integralet

når |x| < |a|. Hvis ikke, er svaret gitt ved arcoth(x/a). Mer kompliserte integral kan finnes med de samme substitusjonene analogt med tilsvarende integral som kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner.

Komplekse hyperbolske funksjoner[rediger | rediger kilde]

Eksponensialfunksjon en ex kan utvides til å gjelde for alle komplekse argument z = x + iy. Den resulterende, komplekse funksjonen

er da definert i hele det komplekse planet med verdier som finnes fra Eulers likhet. Den samme utvidelsen kan benyttes til å definere de tilsvarende, komplekse utvidelsene sinhz og coshz av de hyperbolske funksjonene. De vil dermed bli periodiske med periode 2π i i den imaginære retningen. Her er i = √(-1) den imaginære enheten. Egenskapene til de deriverte funksjonene vil dermed være de samme som for de reelle funksjonene gitt tidligere og finnes ganske enkelt derav ved å la x → z.

Hyperboliske funksjoner i det kompleks planet. Fargene angir deres verdier som er komplekse tall:
Complex Sinh.jpg
Complex Cosh.jpg
Complex Tanh.jpg
Complex Coth.jpg

De tidligere addisjonsteoremene gjelder også for disse komplekse utvidelsene slik at man har

Herav følger de viktige sammenhengene

som også kan leses direkte ut av definisjonene for disse funksjonene.

Lorentz-transformasjonen[rediger | rediger kilde]

Hyperbolske funksjoner kan benyttes i spesiell relativitetsteori til å beskrive Lorentz-transformasjoner mellom forskjellige inertialsystem. For eksempel, en slik transformasjon mellom et system med koordinatene (x',t') som beveger seg med konstant hastighet v langs x - aksen i forhold til et annet system med koordinatene (x,t) kan skrives som

hvor c er lyshastigheten. Her er videre

den berømte Lorentz-faktoren og

slik at cosh2θ - sinh2θ = 1. Derfor er x2 - (ct)2 = x' 2 - (ct')2 slik at dette tidromintervallet er uforandret eller invariant under Lorentz-transformasjonen. Man kan betrakte den som en vanlig rotasjon i et rom hvor tidskoordinaten er it med i = √(-1), altså imaginær.

Rapiditet[rediger | rediger kilde]

Parameteren θ  i Lorentz-transformasjonen er i utgangspunktet et areal, men kalles i fysikken for rapiditet og benyttes til å uttrykke hastigheten til en partikkel. Sammenhengen mellom de to størrelsene er gitt ved

eller ved den inverse relasjonen θ = artanh(v/c). Mens den fysiske hastigheten til en partikkel aldri kan bli større en lyshastigheten, kan dens rapiditet bli vilkårlig stor. Derfor brukes rapiditet ofte for å skille mellom hastighetene til ekstremt relativistiske partikler, for eksempel i elementærpartikkelfysikken.

Betrakter man en partikkel med hastighet u'  langs x' - aksen i (x',t') - systemet, vil den ha en hastighet i (x,t) - systemet som er gitt ved den relativistiske formelen

for addisjon av hastigheter. Bare ved hastigheter mye mindre enn lyshastighetn forenkles denne til det vanlige resultatet u = u' + v. Med bruk av rapiditeter er u = c tanhφ  og u' = c tanhφ'  slik at denne formelen ikke er noe annet enn uttrykket for hyperbolsk tangens til en sum av to areal,

Det betyr at rapiditene ganske enkelt adderer seg som φ = φ' + θ selv ved meget store hastigheter.

Hvis en partikkel med masse m ligger i ro i (x',t') - systemet, vil den der ha energien E' = mc2 og impuls p' = 0. Sett fra (x,t) - systemet vil den bevege seg langs x -aksen med hastighet v. Energien og impulsen til den vil da være gitt ved den samme Lorentz-transformasjonen, det vil si

Rapiditeten til partikkelen kan nå skrives som

Dette uttrykket er også gyldig når partikkelen beveger seg i en vilkårlig retning med impulsen p. For en masseløs partikkel som fotonet har det liten mening å benytte rapiditet da det beveger seg med lyshastigheten i alle inertialsystemer.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Books, New York (1964). ISBN 0-486-61272-4.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]