Konstruksjon (geometri)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Konstruksjon av en regulær sekskant
Konstruksjon av en regulær femkant

I geometri er konstruksjon det å konstruere linjestykker og vinkler med passer og linjal. Linjalen antas å være uendelig lang, men har ingen merker som kan brukes til å måle lengder. Konstruksjoner utføres ved å bruke følgende operasjoner:

  • Lage linjen som går gjennom to eksisterende punkter.
  • Lage en sirkel som går gjennom et punkt og som har sentrum i et annet punkt.
  • Lage skjæringspunktet til to ikke-parallelle linjer.
  • Lage et eller to punkter som er skjæringspunkt mellom en linje og en sirkel.
  • Lage et eller to punkter som er skjæringspunkt mellom to sirkler.

Umulige konstruksjoner[rediger | rediger kilde]

Ikke alle vinkler er mulige å konstruere. Spesielt tre problemer som man i oldtiden prøvde å løse ble vist uløselige på 1800-tallet.

Sirkelens kvadratur[rediger | rediger kilde]

Gitt en sirkel, konstruer et kvadrat med samme areal. Dette er umulig siden det krever at man konstruerer et transcendentalt forhold, nemlig π-1/2, mens bare algebraiske forhold kan konstrueres.

Kubens fordobling[rediger | rediger kilde]

Gitt en kube, konstruer en annen kube med det dobbelte volumet. Hvis den opprinnelige kuben har sidelengde 1, så vil en kube med det dobbelte volumet ha sidelengde \sqrt[3]2. Siden dette ikke er et konstruerbart tall, er dette umulig.

Vinkelens tredeling[rediger | rediger kilde]

Gitt en vilkårlig vinkel, konstruer en vinkel som er en tredjedel av den opprinnelige vinkelen. Hvis det hadde vært mulig, ville man ha kunnet konstruere en vinkel med 60°, tredele denne så man får en vinkel på 20°, og deretter konstruere et linjestykke med lengde cos(20°). Dette er heller ikke et konstruerbart tall, så det følger at det ikke er mulig å tredele en vinkel.


Tredeling av et linjestykke[rediger | rediger kilde]

Tredeling av et linjestykke

Man kan dele et linjestykke i tre ved å bruke en hjelpelinje(se bildet). Trekk en stråle fra punktet A med valgfri vinkel og lengde. Del så denne strålen i tre like store linjestykker. De tre linjestykkene, AE, ED og DC utgjør da linjestykket AC. Trekk en linje mellom punktene C og B. Konstruer parallellen til CB fra punktet D, og trekk denne gjennom AB. Kall skjæringspunktet F. BF er en tredjedel av AB. Bruk lengden BF til å markere det siste punktet.




matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er dessverre kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)