Konstruksjon (geometri)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Halvering av en vinkel ved bruk av passer og linjal.

Konstruksjon i euklidsk geometri består i å konstruere nye punkt, linjestykker eller vinkler med gitte egenskaper kun ved bruk av passer og linjal. Det er vanlig å anta at linjalen er uendelig lang og har ingen merker som kan brukes til å måle lengder. En typisk slik konstruksjon ville være å konstruere en rett linje som halverer en gitt vinkel. En mulig fremgangsmåte er vist i figuren.

Slike konstruksjonsoppgaver har sin opprinnelse i Euklids store verk Elementene hvor grunnlaget for geometri ble systematisk presentert. De fundamentale byggestenene skulle være punkter som ved bruk av linjal og passer kunne forbindes til å gi linjer og sirkler. Ut fra definisjonene var følgende konstruksjoner tillatte:

  • Lage linjen som går gjennom to eksisterende punkter.
  • Lage en sirkel som går gjennom et punkt og som har sentrum i et annet punkt.
  • Lage skjæringspunktet til to ikke-parallelle linjer.
  • Lage et eller to punkter som er skjæringspunkt mellom en linje og en sirkel.
  • Lage et eller to punkter som er skjæringspunkt mellom to sirkler.

Fremdeles er det disse grunnreglene som sier om en slik geometrisk konstruksjon er tillatt eller ikke.

Med fremveksten av analytisk geometri fikk disse konstruksjonene ny aktualitet. De kunne nå oversettes til algebraiske ligninger. Om en konstruksjon var mulig eller ikke, ble på den måten et spørsmål som slike ligninger hadde løsninger eller ikke. Disse sammenhengene ble først fullstendig forstått i begynnelsen av 1800-tallet gjennom arbeidene til Niels Henrik Abel og Evariste Galois.

Umulige konstruksjoner[rediger | rediger kilde]

Det er umulig å konstruere et kvadrat med samme areal som innenfor en sirkel.

I antikkens Hellas ble det tidlig klart at ikke alle konstruksjoner kunne la seg gjør med disse reglene. En full forståelse for hva som var mulig og hva som var umulig ved slike konstruksjoner, kom først nesten to tusen år senere med etableringen av analytisk geometri. De forskjellige geometriske oppgavene kunne da oversettes til algebraiske ligninger. Dette åpnet opp helt nye muligheter til å analysere hva som gjør noen slike geometriske konstruksjoner praktisk umulig.

De mest berømte, uløselige problem fra oldtiden var:

Selv om det finnes personer i dag som fremdeles forsøker å løse et etter flere av disse probleme, vet vi i dag med sikkerhet at dette er matematisk og praktisk umulig.

Analytisk geometri[rediger | rediger kilde]

Ved anvendelse av et kartesisk koordinatsystem vil vært punkt i planet kunne angis ved to koordinater (x,y) som kan antas å være vanlige, reelle tall. En linje kan dermed beskrives ved den lineære ligningen ax + by + c = 0  hvor a, b og c er konstanter som angir dens retning og posisjon i rommet. De kan bestemmes ut fra to punkter som den skal gå gjennom. På samme måte vil punktene på en sirkel oppfylle den kvadratiske ligningen (x - x0)2 + (y - y0)2 = r 2 når den har radius r og sentrum i punktet (x0,y0).

To linjer a1x + b1y + c1 = 0  og a2x + b2y + c2 = 0  vil skjære hverandre når de ikke er parallelle med hverandre. Det skjer når helningskoeffisientene k1 = - a1/b1 og k2 = - a2/b2 er forskjellige. Det betyr at betingelsen a1b2 - a2b1 ≠ 0  må være oppfylt. Da kan skjæringspunktet beregnes, og man finner dets koordinater å være

  x = {b_1c_2 - b_2c_1\over a_1b_2 - a_2b_1}, \;\;     y =  {a_1c_2 - a_2c_1\over a_1b_2 - a_2b_1}

Dette er brøker som mer generelt omtales som rasjonelle uttrykk. Ved en tilsvarende, men mer komplisert beregning av skjæringspunktene mellom en sirkel og en linje, vil man komme fremme til uttrykk som inneholder kvadratrøtter av konstantene som beskriver disse kurvene. Det vil også gjelde for skjæringspunktene mellom to sirkler.

Når man så går videre i konstruksjonen, vil man benytte disse skjæringspunktene som utgangspunkt for nye linjer og sirkler. Det vil igjen gi opphav til nye skjæringspunkt som i allminnelighet vil være rasjonelle uttrykk og kvadratrøtter av de forrige skjæringspunktene. Men det betyr at de vil generelt inneholde kvadratrøtter av kvadratrøtter av de opprinnelige, gitte punktene. Og slik vil det fortsette videre i konstruksjonen inntil den er avsluttet etter et endelig antall slike stepp.

På denne måten kan man konkludere at ved en geometrisk konstruksjon kan det kun fremkomme størrelser eller konstruerbare tall som er rasjonelle uttrykk og som i allminnelighet involverer kvadratrøtter av rasjonelle uttrykk med kvadratrøtter som igjen inneholder kvadratrøtter og så videre et endelig antall ganger. På den måten vil et tall som for eksempel

 {2\over 3}\sqrt{ {1 + 3\sqrt{5}\over 2}}

være konstruerbart, mens \sqrt[3]2 ikke er der da det inneholder en kubikkrot. Dette er også grunnen for at kubens fordobling er umulig ved en geometrisk konstruksjon.

Andregradsligningen[rediger | rediger kilde]

Descartes' geometriske konstruksjon av røttene i en andregradsligning. Avstanden OS = s med s > 0. Radius i halvsirkelen er s/2.

Analytisk geometri ble etablert av Descartes og publisert 1637 under navnet La Géométrie som en del av hans store verk Discours de la Méthode. Her viste han også hvordan man kunne løse en andregradsligning ved en geometrisk konstruksjon. Når ligningen skrives på formen x2 - sx + p = 0, tegner man i et kartesisk koordinatsystem (x,y) en sirkel med radius s/2 og sentrum C = (s/2,0)x-aksen. Den vil derfor gå gjennom origo O og punktet S = (s,0) i figuren til høyre.

Hvis nå konstanten p > 0, trekker man linjen y = √p parallell med x-aksen. Såfremt p < s2/4, vil denne skjære sirkelen i to punkter. Dette er røttene x1 og x2 til ligningen og kan leses av fra konstruksjonen.

Forklaringen følger lett fra en analytisk beskrivelse. Sirkelen er beskrevet ved ligningen

  \Big(x - {s\over 2}\Big)^2 + y^2 =   \Big({s\over 2}\Big)^2

Setter man her y2 = p, får man (x - s/2)2 = s2/4 - p som gir de to røttene

 x_{2,1} = {s\over 2} \pm \sqrt{{s^2\over 4} - p}

Begge røttene har alltid samme fortegn som tilsvarer at de ligger på samme side av origo. Det skyldes at denne konstruksjonen kun er gyldig for p > 0.

Carlyle-sirkelen[rediger | rediger kilde]

Røttene til andregradsligningen er gitt ved skjæringspunktene til Carlyle-sirkelen med x-aksen.

Det skulle gå omtrent to hundre år før en generell, geometrisk konstruksjon av røttene til andregradsligningen ble funnet av Thomas Carlyle. Man angir i et kartestisk koordinatsystem de to punktene A = (0,1) og B = (s,p). Når en sirkel så blir konstruert med linjestykket AB som diameter, vil dens skjæringspunkt med x-aksen være røttene x1 og x2.

Denne Carlyle-sirkelen kan finnes både for p > 0 og p < 0. For det siste tilfellet er konstruksjonen vist i figuren til venstre. Punktet B ligger da under x-aksen, og skjæringspunktene med x-aksen ligger på hver sin side av origo. Røttene i ligningen har derfor i dette tilfellet forskjellige fortegn som de skal ha.

En analytisk forklaring av konstruksjonen er denne gangen noe mer omstendelig. Radius r til sirkelen er halve diameteren AB, det vil si 4r2 = (s2 + (p - 1)2). Dens sentrum ligger i midtpunktet av linjestykket AB med koordinatene M = (s/2, (1 + p)/2). Sirkelen er nå gitt ved ligningen

 (x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2

Setter man her y = 0, følger så de korrekte uttrykkene for begge røttene. Når p > 0, gir denne konstruksjonen derfor selvsagt samme resultat som konstruksjonen til Descartes.

Regulære mangekanter[rediger | rediger kilde]

Konstruksjon av en regulær sekskant.

En likesidet trekant og et kvadrat er de enkleste eksempel på regulære mangekanter og har vært kjent i flere tusen år tilbake. Er denne trekanten innskrevet i en sirkel og hver av vinklene halveres, vil en regulær heksagon fremkomme fra skjæringspunktene til halveringslinjene. Hver sidekant har her en sentralvinkel på 360°/6 = 60° som er lett å konstruere. Det tilsvarer at cos 60° = 1/2 er et konstruerbart tall.

Konstruksjon av en regulær femkant.

Men allerede i Euklids stor verk Elementene ble det vist at også en regulær 5-kant eller pentagon kan la seg konstruere geometrisk. Her er sentralvinkelen 360°/5 = 72° som tilsvarer 2π/5 radianer. Det skyldes at

 \cos {2\pi\over 5} = {-1 + \sqrt{5}\over 4}

bare inneholder kvadratrøtter og derfor er et konstruerbart tall. Ved å halvere hver vinkel i 5-kanten, man man så lage en regulær 10-kant og så videre.

Mens man på samme måte fra et kvadrat kunne konstruere en regulær 8-kant, viste det seg umulig å konstruere hverken en regulær 7-kant eller en regulær 9-kant. Man hadde derfor i stor grad akseptert at det ikke ville la seg gjøre å konstruere andre regulære mangekanter enn 3- og 5-kanten med et odde antall kanter. Dette var situasjonen frem til 1796 da Carl Friedrich Gauss som 19-årig student ved Universitetet i Göttingen viste at den regulære 17-kanten kan konstrueres med passer og linjal. Grunnen er at 17 er et Fermat-primtall som tilsvarer at

\cos\frac{2\pi}{17} = -\frac{1}{16} \; + \; \frac{1}{16} \sqrt{17} \;+\; \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \;+\; \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} }

kan konstrueres. Hvordan selve konstruksjonen i praksis skulle gjøres, viste ikke Gauss selv og ble først demonstrert noen år senere.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid, Universitetsforlaget, Oslo (1967).