Imaginær enhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

I matematikk er den imaginære enhet et komplekst tall med egenskapen . Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall kan skrives på formen , der og er reelle tall. Dersom er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen .

i og −i[rediger | rediger kilde]

Likningen har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning av likningen er fastslått, er også en løsning.

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra , identiteten og automorfismen som sender til . (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til ; men de er de eneste feltautomorfismene til hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som reelle 2 × 2-matriser, fordi både er løsninger av likningen . I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsninger[rediger | rediger kilde]

Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som . Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle , eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

Beregningsreglen

er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall og .

Potenser av i[rediger | rediger kilde]

Potensene av gjentas i en syklus:

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor er et vilkårlig heltall:

i og Eulers formel[rediger | rediger kilde]

Hvis en tar Eulers formel , og setter inn , får en

Hvis begge sider opphøyes i potensen , idet en husker at , får en følgende identitet:

Det er lett å fastslå at har et uendelig antall løsninger på formen

hvor er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol[rediger | rediger kilde]

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk strøm.