Sirkelinversjon

Ved sirkelinversjon om O går punktet P  til P'  og omvendt.

Sirkelinversjon er en transformasjon av hvert punkt i planet fra innsiden av en sirkel til et punkt på utsiden og omvendt. Det transformerte punktet har en avstand fra sirkelens sentrum som er omvendt proporsjonal med avstanden til det opprinnelige punktet fra dette senteret. Hvis sirkelen har radius r og sentrum i O, vil et punkt P bli transformert til et nytt punkt P'  som dermed er gitt ved

$OP\cdot OP'=r^{2}$

hvor OP og OP'  er avstandene til disse punktene fra sirkelens senter. Punktet P'  sies å være invers til P  og omvendt. Når linjen gjennom O og P skjærer sirkelen i punktene Q  og Q' , vil P og P'  være harmonisk konjugerte med disse to punktene.

For punkter nær sirkelen vil denne se tilnærmet ut som en rett linje. Sirkelinversjonen går da over til å bli en refleksjon eller speiling i denne linjen. Noen ganger kan geometriske problem som omhandler gjensidige forhold mellom linjer og sirkler, løses enklere etter en sirkelinversjon.

Transformasjonen forandrer linjer og sirkler til nye linjer eller sirkler. Det kan bevises rent geometrisk eller ved analytiske metoder. Ved å benytte koordinater i planet som tilsvarer komplekse tall, kan sirkelinversjon beskrives som en spesiell Möbius-transformasjon. Som alle komplekse transformasjoner i to dimensjoner gir denne en konform avbildning.

Transformasjonen kan også utvides til tre dimensjoner hvor den da vil tilsvare inversjon i en kuleflate. I motsetning til de fleste andre koordinattransformasjoner i høyere dimensjoner, gir en inversjon alltid en konform avbildning.

Noen egenskaper

Sirkler som ikke går gjennom origo, blir transformert til nye sirkler på den andre siden av inversjonssirkelen.

De fire karakteristiske egenskapene til en sirkelinversjon er:

1. Linjer gjennom O transformeres til linjer gjennom O.
2. Linjer som ikke går gjennom O, blir transformert til sirkler som går gjennom O.
3. Sirkler gjennom O transformeres til linjer som ikke går gjennom O.
4. Sirkler som ikke går gjennom O, transformeres til sirkler som ikke går gjennom O.

Med enkle, geometriske betraktninger kan de forholdsvis lett bevises. At et punkt på en linje gjennom origo O blir transformert til et annet punkt på samme linje, følger direkte fra definisjonen.

Den andre egenskapen følger ved å betrakte punkter på en linje ℓ som man først kan anta ligger utenfor sirkelen. En ny linje gjennom origo vinkelrett på denne, har et et skjæringspunkt A med denne og et invers punkt A'  innenfor sirkelen. Et annet punkt P på linjen ℓ har likedan et invers punkt P' . Nå er OA⋅OA'  = OP⋅OP'  = r². Derfor er trekantene OAP og OA'P'  likedannede. Da de i tillegg er rettvinklete, vil punktet P'  ligge på en sirkel gjennom O med linjestykket OA'  som hypotenus. Dette er uavhengig av hvor på linjen ℓ punktet P er.

Mens denne betraktningen også beviser den tredje egenskapen, kan den siste egenskapen forklares ved å la en rett linje gjennom O skjære en annen sirkel med sentrum i M. De to skjæringspunktene A og B har inverse punkt A'  og B' . På linjen OM kan nå et nytt punkt C bestemmes som skjæringspunktet med en linje gjennom A'  og parallell med BM. Da blir linjestykkene A'C og B'C like store og uavhengig av den nøyaktige posisjonen til skjæringspunktene A og B. Det viser at alle punkt på sirkelen om M blir avbildet på en ny sirkel.

Harmonisk konjugasjon

Det inverse punktet P'  ligger på en linje gjennom sentrum O og punktet P. Linjen skjærer inversjonssirkelen i to punkt Q og Q'  som vil være harmonisk konjugerte med P og P' . Hvis man ser bort fra retningene til de forskjellige linjestykkene, betyr det at QP/PQ'  = QP' /Q'P' .

Denne egenskapen følger fra å anta at P ligger innfor sirkelen i avstand x fra dens sentrum. Da er OP = x og OP'  = r²/x  fra definisjonen. Langs denne linjen er nå QP'  = QO + OP'  og Q'P'  = OP'  - OQ' . Dermed blir forholdet

${QP' \over Q'P'}={r+r^{2}/x \over r^{2}/x-r}={r+x \over r-x}$

som er akkurat likt med forholdet QP/PQ' . For tilfellet at punktet P ligger utenfor sirkelen, gjennomføres beviset på samme måte.

Disse sammenhengene betyr at inversjonssirkelen kan identifiseres med Apollonios-sirkelen for de to punktene P og P' . For hvert punkt X på sirkelen er forholdet XP/XP'  mellom de tilsvarende avstandene alltid det samme.

Ortogonale sirkler

En sirkel som skjærer inversjonssirkelen med sentrum i O under en rett vinkel, sies å være en ortogonal sirkel til denne. Den har sitt sentrum i et punkt C og skjærer linjen OC  i to punkt P og P'  og inversjonssirkelen i to punkt T og T' . Da linjen gjennom O og T står vinkelrett på radius CT, er den en tangent til sirkelen om C. Potensen til punktet O med hensyn til denne sirkelen er derfor OP⋅OP'  = OT⋅OT = r². Det betyr at de to punktene P og P'  er inverse til. hverandre. Omvendt betyr det også at hvis man for to inverse punkt P og P'  konstruerer en sirkel med PP'  som diameter, vil denne stå vinkelrett på inversjonssirkelen.

Punktene T og T'  ligger på inversjonssirkelen og vil derfor forbli uforandret under en slik transformasjon. Andre punkt på sirkelen om C  vil derimot transformeres, men til nye punkt på den samme sirkelen. Hele denne ortogonale sirkelen vil derfor bli liggende i ro under en inversjon.

Konform avbildning

Det inverse bildet av en rette linje er en sirkel som går gjennom inversjonssenteret O. Ved å betrakte likedannede trekanter kan det vises at tangenten til bildesirkelen i dette punktet er parallell med linjen som avbildes. To sirkler som tangerer hverandre i O, vil derfor transformeres til to parallelle linjer ved inversjon.

To rette linjer som skjærer hverandre under en viss vinkel, vil dermed avbildes på to sirkler som skjærer hverandre i inversjonssenteret O. Hvis skjæringsvinkelen mellom sirklene defineres som vinkelen mellom deres tangenter i skjæringspunktet, vil denne derfor være den samme som vinkelen mellom de opprinnelige linjene. Samme egenskap kan vises å gjelde for skjæringsvinklene mellom to sirkler som transformeres til to andre sirkler. Den inverse transformasjonen er derfor et eksempel på en konform avbildning da skjæringsvinkler forblir uforandret.

Geometrisk konstruksjon

Konstruksjon av inverse punkt P og P'  relativt til sirkelen med senter i O. Linjen NN'  er polaren til P.

Ved bruk av en passer og linjal kan det inverse punktet relativt til en gitt sirkel finnes ved en geometrisk konstruksjon. Det gitte punktet P kan ligge innenfor eller utenfor denne sirkelen med senter i O og radius r. I det spesielle tilfellet at det ligger på sirkelen, forblir P  uforandret.

Når P ligger utenfor sirkelen, konstruerer man en ny sirkel med linjestykket OP som diameter. Den skjærer inversjonssirkelen i to punkt N og N' . Linjen gjennom disse to punktene skjærer linjen langs OP  i et punkt P'  som er det inverse punktet til P.

Grunnen til dette er at de to rettvinklete trekantene OPN and ONP' er similære da de har to like store vinkler. Derfor er OP/r = r /OP'  som viser at betingelsen for inversjon er oppfylt.

Da punktet P'  er harmonisk konjugert med P, vil den rette linjen gjennom N og N'  være polaren til punktet P med hensyn til inversjonssirkelen.

I det motsatte tilfellet ligger P innenfor sirkelen. Hvis nå en linje blir trukket gjennom dette punktet og vinkelrett på OP, vil den skjære sirkelen i to punkt N og N' . Det inverse punktet finnes nå ved å konstruere en ny sirkel som går gjennom de tre punktene O, N og N' . Der denne skjærer forlengelsen av linjen OP, ligger det inverse punktet P' . Det bevises på samme måte som i det første tilfellet.

Eksempel på bruk

Den sykliske firkanten ABCD  inverteres i den blå sirkelen med sentrum i firkantens hjørne D.

En firkant med alle sine hjørner på en sirkel, sies å være syklisk. For den gjelder Ptolemaios' sats som sier at produktet av lengdene til dens to diagonaler er lik med summen av produktene av lengdene til motstående sider. Hvis de fire hjørnene er A, B, C og D, vil derfor

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA$

Denne setningen kan bevises på flere måter, men spesielt enkelt er det å benytte sirkelinversjon. Man tenker seg da en sirkel med radius r og senter på et av hjørnene i firkanten slik at de tre andre hjørnene vil avbildes på en rett linje. Hvis for eksempel senteret er i D, vil A avbildes på et punkt A'  med en slik avstand fra senteret at DA'⋅DA = r² og tilsvarende for de andre bildepunktene B'  og C'  på samme linje.

Trekantene DAB og DB'A'  er nå likeformede da de har en felles vinkel D med tilstøtende sider som står i samme forhold til hverandre. Det betyr at A'B' /AB = DA' /DB. Ved samme betraktning av trekantene DBC og DAC  får man B'C' /BC = DB' /DC og A'C' /AC = DC' /DA. Siden A'B'  + B'C'  = A'C' , har man dermed at

${AB \over DA}+{BC \over CD}={AC \over DA}\cdot {DC' \over DB'}$

Dette er nå beviset for Ptolemaios' sats da DC' /DB'  = DB/DC.

Analytisk beskrivelse

Inversjon i den røde sirkelen. Til venstre trans-formeres to sirkler over i hverandre, mens på høyre side transformeres to sirkler gjennom origo til linjer.

Ved bruk av kartesiske koordinater i planet vil hvert punkt P = (x,y) bli avbildet på et invers punkt P'  = (X,Y). Settes radius til inversjonssirkelen til å være r = 1, vil dermed koordinatene til disse to punktene være forbundet ved (x² + y²)⋅(X² + Y²) = 1. Samtidig ligger punktene P og P'  på samme linje fra origo O. Det betyr at x/y = X/Y. Inversjon i sirkelen r = 1 har derfor den analytiske formen

$(X,Y)={(x,y) \over x^{2}+y^{2}}$

Den inverse transformasjonen har samme form der (x,y) og (X,Y) byttes om.

Betrakter man en rett linje ax + by + c = 0, vil den etter en sirkelinversjon gå over til

$aX+bY+c(X^{2}+Y^{2})=0$

Dette beskriver i alminnelighet en sirkel. Men i det spesielle tilfellet at c = 0, går linjen gjennom origo og den transformeres som forventet over i seg selv.

Når c ≠ 0, kan ligningen for den transformerte linjen skrives som

$\left(X+{\frac {a}{2c}}\right)^{2}+\left(Y+{\frac {b}{2c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}+b^{2}}{4c^{2}}}$

Denne analytiske beskrivelsen gir derfor både koordinatene for senteret til den resulterende sirkel samt dens radius uttrykt ved retningen til den gitte linjen.

Inversjon av en sirkel

En sirkel med radius r og sentrum i (x₀,y₀) er gitt ved ligningen (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Den transformeres på samme måte til

$(X^{2}+Y^{2})(x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-r^{2})-2Xx_{0}-2Yy_{0}+1=0$

Når k = x₀² + y₀² - r² ≠ 0, er resultatet derfor en ny sirkel. Ligningen som beskriver den, kan omformes til

${\Big (}X-{x_{0} \over k}{\Big )}^{2}+{\Big (}Y-{y_{0} \over k}{\Big )}^{2}={r^{2} \over k^{2}}$

som gir dens sentrum og radius.

I det spesielle tilfellet at k = 0 går den opprinnelige sirkelen gjennom origo (0,0), det vil si sentrum til inversjonssirkelen. Den transformeres da til en rett linje med ligningen $2Xx_{0}+2Y\!y_{0}=1$ i overenstemmelse med hva man også kan vise ved rene, geometriske betraktninger.

Inversjon av kurver

En symmetrisk hyperbel med sentrum i origo transformeres til en lemniskate. Deler av kurvene med samme farge går over i hverandre.

En generell kurve kan angis på den implisitte formen f(x,y) = 0. Under sirkelinversjonen (x,y) → (X,Y) vil ligningen dermed fremstille en ny kurve.

Som et eksempel kan man betrakte den symmetriske hyperbelen x² - y² = s² som skjærer x-aksen i punktene ±s. Ved inversjon i enhetssirkelen går den over til

$X^{2}-Y^{2}=s^{2}(X^{2}+Y^{2})^{2}$

Dette fremstiller en lemniskate som skjærer x-aksen i punktene ±1/s.

Inversjon av parabelen i en sirkel i dens brennpunkt gir en kardioide.

Parabelen y² = 4a(x + a) har sitt brennpunkt i origo. Den skjærer x-aksen i punktet (-a,0) og og y-aksen i punktene (0,±2a). Når denne kurven inverteres i en sirkel med sentrum i origo og med radius r = 2a, tar dens ligning i de nye koordinatene formen

$4a^{2}Y^{2}=(X^{2}+Y^{2})^{2}+4aX(X^{2}+Y^{2})$

Den beskriver en kardioide med spiss i origo og skjærer x-aksen i punktet (-4a,0).

Ved å uttrykke parabelen i polarkoordinater (r,θ) med sentrum i dens brennpunkt, blir denne transformasjonen bedre klarlagt. Ligningen for parabelen er da $r=2a/(1-\cos \theta )$. Inversjon i sirkelen r = 2a gir dermed en ny, polar koordinat $r\rightarrow R=(2a)^{2}/r$ som ganske enkelt blir

$R=2a(1-\cos \theta )$

Dette er ligningen for kardioiden i polarkoordinater.

To påfølgende inversjoner av et punkt fører tilbake til det samme punktet. Det betyr derfor at den inverse kurven til en lemniskate er en hyperbel på samme måte som at den inverse av en kardioide er en parabel.

Punkt i det uendelige

Fra definisjonen av sirkelinversjon vil hvert punkt P utenom origo O med koordinatene (0,0) transformeres entydig til et nytt punkt P' . For at transformasjonen skal være gyldig for alle punkt, er det mulig å utvide det euklidske planet med et nytt punkt i uendelig ($\infty$) avstand fra origo. Dette kan kalles P_∞ og kan tas med i den analytiske beskrivelsen ved regnereglene $1/\infty =0$ og $1/0=\infty$.

Med denne utvidelsen har det euklidske planet gått over til å ble et inversivt plan. I motsetning til det projektive planet som inneholder en linje med punkt i det uendelige, har dette planet kun ett slikt punkt. Man kan forstille seg det euklidske planet som veldig stort, men endelig. Hvis nå omkretsen av dette planet blir «sydd» sammen på et slikt vis at det blir en lukket flate, vil det kan det være et mentalt bilde av det inversive planet. Punktet P_∞ tilsvarer projeksjonspunktet i en stereografisk projeksjon av en kuleflate på et euklidsk plan.

I det inversive planet kan nå en rett linje sies å være en sirkel som har uendelig stor radius og derfor går gjennom P_∞. To sirkler som tangerer hverandre i O, transformeres til parallelle linjer som nå kan betegnes som sirkler som tangerer hverandre i P_∞. Alle egenskapene til en sirkelinversjon kan da sammenfattes i den ene setningen at den transformerer sirkler over i sirkler. Den definerer derfor det som ofte blir kalt for en sirkelgeometri.

Komplekse koordinater

Med kartesiske koordinater kan hvert punkt i planet angis som $(x,y)$. Det kan identifiseres med det komplekse tallet $z=x+iy$. Ved bruk av polarkoordinater kan det alternativt skrives som $z=\rho e^{i\theta }$. Her angir $\rho =|z|$ punktets avstand fra origo og er gitt ved $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}=zz^{*}$ der $z^{*}=x-iy=\rho e^{-i\theta }$ er den konjugerte til $z$.

En rett linje $ux+vy+w=0$ kan nå uttrykkes ved komplekse koordinater som $a^{*}z+az^{*}+2w=0$ der $a=u+iv$. Når linjen går gjennom origo, er w = 0. Likedan kan ligningen $(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}$ for en sirkel med radius r  og sentrum i det komplekse punktet $c=p+iq$ omformes til $|z-c|=r$ som betyr at $(z^{*}-c^{*})(z-c)=r^{2}$ eller $z^{*}z-c^{*}z-cz^{*}+c^{*}c-r^{2}=0$. Her kan alle ledd bli multiplisert med en konstant uten at ligningen forandrer sitt geometriske innhold. Den er derfor ekvivalent med uttrykket $kz^{*}z-a^{*}z-az^{*}+s=0$ hvor k og s er reelle tall. Hvis s = 0, vil sirkelen gå gjennom origo. Tilsvarende vil k = 0 gi ligningen for en linje. Når k > 0, beskriver den en sirkel med sentrum i $a/k$ og radius gitt ved $r^{2}=a^{*}a/k^{2}-s/k$. Denne ene ligningen sammenfatter dermed begge kurvene.

Ved en inversjon av punktet $z=\rho e^{i\theta }$ i en sirkel om origo (0,0) og radius r  vil det flyttes til

$z\rightarrow {r^{2} \over \rho }e^{i\theta }={r^{2} \over z^{*}}$

da det transformerte punktet må ligge på samme, radielle linje fra origo. Settes radius til inversjonssirkelen r = 1, vil den generelle sirkelligningen på formen $kz^{*}z-a^{*}z-az^{*}+s=0$ transformeres til $sz^{*}z-a^{*}z-az^{*}+k=0$. Avhengig av verdiene på de to reelle parametrene k og s inneholder denne alle egenskapene ved en sirkelinversjon.

Uekte Möbius-transformasjon

Hvis inversjonssirkelen ikke har sitt sentrum i origo, vil formen til transformasjonen bli mer komplisert. Men den kan finnes ved å først foreta en translasjon slik at senteret blir liggende i origo. Inversjonen kan da foretas som før og til slutt translateres det resulterende punktet tilbake like langt som i første stepp.

Hvis senteret er i det komplekse punktet $c$, forandrer den første translasjonen koordinatene til alle punkt som $z\rightarrow z-c$. En inversjon om origo gir som før $z-c\rightarrow r^{2}/(z^{*}-c^{*})$. Da den avsluttende translasjonen nå er $z\rightarrow z+c$, er denne mer generelle sirkelinversjonen gitt ved

$z\rightarrow c+{r^{2} \over z^{*}-c^{*}}={cz^{*}-s \over z^{*}-c^{*}}$

der $s=c^{*}c-r^{2}$ er et reelt tall.

Dette har samme form som en Möbius-transformasjon bortsett fra at den komplekskonjugerte $z^{*}$ opptrer på høyre side i stedet for $z$. Transformasjonen sies derfor å være uekte og skyldes at den gir motsatt orientering av punkt. For eksempel vil tre punkt $z_{1},z_{2},z_{3}$ definere en trekant og en omdreiningsretning hvis man går rundt den i punktenes rekkefølge. Etter en sirkelinversjon vil denne retningen bli den motsatte. I samme klasse av uekte transformasjoner er speilinger eller refleksjoner. For eksempel vil en speiling i x-aksen der $y\rightarrow -y$ forandre det komplekse tallet $x+iy$ til $x-iy$, det vil si $z\rightarrow z^{*}$ i kompleks notasjon.

En sirkelinversjon etterfulgt av den samme, gir et netto resultat som tilsvarer ingen transformasjon av det opprinnelige punktet. Derimot vil to forskjellige inversjoner etter hverandre resultere i en ekte Möbius-transformasjon. Den avbilder linjer og sirkler på andre linjer eller sirkler uten å gi en forandring av orienteringen.

Tre dimensjoner

Ved inversjon i den røde kulen, går kulen til venstre over i den til høyre.

Sirkelinversjon kan generaliseres til euklidske rom med høyere dimensjoner. Med et inversjonssentrum i punktet O, vil et vilkårlig punkt P bli transformert til et nytt punkt P'  slik at avstandene OP og OP'  oppfyller betingelsen at produktet OP⋅OP'  er en konstant.

For det tredimensjonale rommet R³ med koordinater (x,y,z) gjennomføres inversjonen i en kuleflate. Har denne sentrum i origo, er transformasjonen dermed definert som

$(x,y,z)\rightarrow {r^{2}(x,y,z) \over x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

hvor r er radius i kulen. I det mer generelle tilfellet der inversjonssenteret ligger i et punkt x₀ utenfor origo, kan transformasjonen skrives som

$\mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} _{0}+r^{2}{\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|^{2}}$

ut fra samme argumentasjon som i to dimensjoner. Ved analytiske eller rent geometriske betraktninger kan man vise at dette gir en konform avbildning av rommet på seg selv.

Det er mulig å inkludere også origo (0,0,0) i denne avbildningen ved å utvide rommet med et punkt $\infty$ i det uendelige. Dermed får det euklidske rommet R³ samme topologi som den kompakte, tredimensjonale kuleflaten S³. Dette tilsvarer at R² avbildes på S² ved en slik kompaktifisering av planet.

På tilsvarende måte som i to dimensjoner vil en inversjon i tre dimensjoner transformere plan og kuleflater over til geometriske objekt av samme sort. Et plan går generelt over til en kuleflate bortsett fra når det går gjennom origo. Da blir det avbildet på samme plan. Tilsvarende vil en kuleflate gjennom origo bli avbildet på et plan, men generelt vil den transformeres til en annen kuleflate.

Historie

Bruk av inversjon i sirkler eller kuleflater har i lang tid vært kjent og benyttet i geometriske sammenhenger og kan føres helt tilbake til Pappos. Men det var først på 1800-tallet med utviklingen av moderne, analytisk geometri at denne metoden ble mer systematisk undersøkt og utviklet.

I Frankrike kunne Poncelet vise hvordan sirkelinversjon naturlig opptrer i teorien for pol og polare, mens Steiner i Tyskland gjorde bruk av samme metode ved løsning av forskjellige problem i syntetisk geometri. Dette ble spesielt klart etter hans død. I mellomtiden hadde Plücker gjort utstrakt bruk av denne fremgangsmåten i sin mer analytiske beskrivelse av geometriske forhold. Det at han hadde et vanskelig forhold til Steiner, kan forklare det inntrykk han etterlot at han ikke var kjent med Steiners bidrag.

Men den person som i størst grad har fått sitt navn knyttet til geometriske inversjoner, er Möbius. I sitt verk Theorie der Kreisverwandschaft brukes denne metoden ikke så mye for å belyse andre problem, men er en detaljert undersøkelse av hva som skjer med linjer og sirkler under slike transformasjoner. Her viser han også betydningen av dobbeltforholdet og dets invarians i denne sammenhengen.

Når sirkelinversjon kombineres med translasjoner, kan den foretas om vilkårlige senter. I to dimensjoner kalles slike operasjoner i dag for Möbius-transformasjoner. De spiller en viktig rolle spesielt i beskrivelsen av det hyperbolske planet. Men også i rom med mer enn to dimensjoner benyttes vanligvis dette navnet nå for de samme operasjonene.

Eksterne lenker

• Cut-the-Knot, Inversion: Reflection in a Circle?
• Pamfilos, Inversion Transformation, Geometrikon, geometriske websider.