e (matematikk)

Den matematiske konstanten e er det unike reelle tallet som er slik at funksjonen $e^x$ har samme verdi som stigningstallet til tangentlinjen for alle verdier av x. Mer generelt er de eneste funksjonene som er lik sin egen deriverte, av typen $Ke^x$ hvor K er en konstant. Funksjonen $e^x$ defineres som eksponentialfunksjonen, og den naturlige logaritmen er funksjonens inverse. Tallet e kan også defineres som grunntallet til den naturlige logaritmen, (i dette tilfellet defineres logaritmen ved hjelp av et integral,) som grensen til en bestemt følge eller som summen av en bestemt rekke.

e er en av de viktigste matematiske konstantene, sammen med tallene π, den imaginære enheten i, for ikke å glemme de additive og multiplikative enhetene 0 og 1. Tallet e kalles også Eulers konstant eller Eulertallet etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler og Napiers konstant etter den skotske matematikeren John Napier, som introduserte logaritmer. Merk at Eulers konstant kan forveksles med Euler-Mascheronis konstant (γ). Den tilnærmede verdien er

e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69996

Historie

Konstanten e ble først omtalt i 1618 i en tabell i tilleggsnotatet til et verk om logaritmer av John Napier. Selve konstanten var ikke inkludert, men en rekke naturlige logaritmer ble beregnet. Det antas at tabellen ble skrevet av William Oughtred. Oppdagelsen av konstanten i seg selv krediteres Jakob Bernoulli, som forsøkte å finne verdien til det følgende uttrykket, som kan brukes som en definisjon av e:

$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$

Den første kjente anvendelsen av konstanten, da representert med en b, var i en brevveksling mellom Gottfried Leibniz og Christiaan Huygens i 1690 og 1691. Leonhard Euler startet å bruke bokstaven e om konstanten i 1727, og den ble først brukt som e i Eulers Mechanica som ble publisert i 1736. På tross av at enkelte forskere i de påfølgende årene brukte bokstaven c, var det vanligste e og har nå blitt standard.

De faktiske årsakene til bruken av bokstaven e er ukjente, men det kan være fordi den er den første bokstaven i ordet eksponensiell. En annen mulighet er at e var den første ledige vokalen (a ble brukt til en annen konstant), men årsaken til denne vokalbruken er ukjent.

Definisjoner

Tallet e kan representeres på mange forskjellige måter, som en uendelig rekke, et uendelig produkt, en kjedebrøk eller som grenseverdien til en rekke.

Grenseverdi

Som en grenseverdi defineres e

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$.

Dette er den vanligste måten å representere konstanten på.

Uendelig rekke

Man kan også definere e som summen av følgende uendelige rekke

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

hvor n! er fakultetet av n.

Løsning av integralligning

e kan også defineres som det unike tallet x > 0 slik at

$\ln{x} = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}$.

Disse forskjellige definisjonene har blitt bevist å være ekvivalente.

Kjedebrøk

En litt mindre vanlig måte å representere e på er som kjedebrøken

$e=2+ \cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ {\mathbf 2}+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ 1+\cfrac{1}{ {\mathbf 4}+\cfrac{1}{ \ddots } } } } } }$

som kan skrives på den mer kompakte formen:

$e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots]]. \,$

Uendelig produkt

Denne måten å representere e på inkluderer Pippengers produkt

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

og Guilleras produkt

$e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,$

hvor den nte faktoren er nte-roten av produktet

$\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.$

Egenskaper

e er grunntallet for den naturlige logaritmen:

$y = \ln{x} \harr x = e^y$.

Videre er e irrasjonelt, og transcendentalt ifølge Lindermann-Weierstrass’ teorem. Dette ble først bevist av Charles Hermite i 1873.

Link til komplekse tall

I henhold til Eulers formel er

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x), \quad i=\sqrt{-1}$.

Spesialtilfellet hvor $x=\pi$ er kjent som Eulers likhet:

$e^{i\pi} +1 = 0 \,\!$

De harmoniske funksjonene kan representeres kun ved eksponensialfunksjoner.

$\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \quad \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Løsning av differensialligninger

Mange vekst- og nedbrytningsprosesser kan modelleres gjennom eksponentialfunksjoner. Eksponentialfunksjonen $e^{x}$ er viktig fordi det er den unike funksjonen som løser differensialligningen

$\frac{df}{dx}(x)=f(x), \quad f(0)=1$

$e^{x}$ er lik sin egen deriverte. Den mest generelle funksjonen som er sin egen deriverte er $Ce^x$, der C er en konstant.

En kuriositet

For x = e oppnås maksimum for funksjonen

$f(x) = x^{1/x}$

Mer generelt gir verdien x = ⁿ√e maksimum for funksjonen

$f(x)=x^{1/{x^n}}$

Huskeregel for desimaler

Tips for å huske de 16 første desimalene i e: 2,7 (disse må man huske selv) 1828 (Ibsens fødselsår) 1828 (Ibsens fødselsår igjen) 459045 (gradene i en rettvinklet, likebeint trekant er 45 grader, 90 grader og 45 grader) 2 (dette er den 16. desimalen, og er det samme sifret som vi begynte med: 2,71... – både π og e har 2 som 16. desimal).

Alternativt kan man se bort fra 16. desimal regelen over og fortsette reglen med: 235 (første ustabile uranisotop), 360 en hel sirkel, 28 (Ibsens fødselsår forkortet) og 747 (Boeing flytype "Jumbojet").