Imaginær enhet

I matematikk er den imaginære enhet i et komplekst tall med egenskapen $i^2 = -1$. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall z kan skrives på formen z = a + ib, der a og b er reelle tall. Dersom a er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen $x^2 = -1$.

i og −i

Likningen $x^2 = -1$ har to distinkte løsninger som er additive inverse. Eller bedre: Når en løsning i av likningen er fastslått, så er også −i ≠ i en løsning. Siden likningen er den eneste definisjonen av i, betyr det at definisjonen er tvetydig. Men dette løser seg ved at vi velger alltid å bruke den positive i som løsning.

Dette er en spissfindig betraktning. Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved R[X]/(X² + 1) er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra R[X]/(X² + 1), identiteten og automorfismen som sender X til −X. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til C; men de er de eneste feltautomorfismene til C hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem får vi hvis de komplekse tall fortolkes som 2 × 2 reelle matriser, fordi både $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & \;\; 0 \end{pmatrix} \mbox{ og } \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \;\; 0 \end{pmatrix}$ er løsninger av likningen x² = −1. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken "retning" rundt enhetssirkeelen som er "positiv". En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen SO(2, R) har nøyaktig 2 elementer — identiteten og automorfismen som bytter om "med klokken"- og "mot klokken"-rotasjoner.

Advarsel

Den imaginære enhet må ikke noteres eller behandles som √(−1). Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle x ≥ 0, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

$-1 = i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \cdot -1} = \sqrt{1} = 1$

Beregningsreglen

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall a og b.

Potenser av i

Potensene av i gjentas i en syklus:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

$i^5 = i$

$i^6 = -1$

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor n er et vilkårlig heltall:

$i^{4n} = 1$

$i^{4n+1} = i$

$i^{4n+2} = -1$

$i^{4n+3} = -i$

i og Eulers formel

Hvis en tar Eulers formel $e^{ix} = \cos\mbox{ }x + i\mbox{ }\sin\mbox{ }x$, og setter inn $\pi/2$ for $x$, får en

$e^{i\pi /2} = i$

Hvis begge sider opphøyes i potensen $i$, idet en husker at $i^2 = -1$, får en følgende bemerkelsesverdige identitet:

$i^i = e^{-\pi /2} = 0.2078795763\dots$

Det er faktisk lett å fastslå at $i^i$ har et uendelig antall løsninger på formen

$i^{i} = e^{-\pi / 2 + 2 \pi N}$

hvor N er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som j for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk strøm.