Pi

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Pi
En sirkel med diameter lik 1 har en omkrets lik π.

Den matematiske konstanten π er definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel: Omkrets = π × diameter. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til pi for hverdagens bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange desimaler som er ikke-sykliske, dermed er pi et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall. Den foreløpig mest nøyaktige beregningen av pi ble utført av Fabrice Bellard i 2009, som kalkulerte π som 3 etterfulgt av 2,7 billioner (2 699 999 990 000) desimaler.[1][2]

Man bruker tallet pi, som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. Pi brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er pi en grunnleggende konstant.

Historie[rediger | rediger kilde]

Pi har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Babylonerne ca. 2000 f. Kr. 3,125
Egypterne ca. 2000 f. Kr. 3,160 45
Salomo ca. 950 f. Kr. 3,141 4
Arkimedes ca. 250 f. Kr. 3,141 8 (223/71 < π < 22/7)
Liu Xin 5 3.125 (25/8)
Zu Chongzhi ca. 480 e. Kr. 3,141 592 920 (355/113)
Otho 1573 3,141 592 9
Viete 1593 3,141 592 653 6
Ludolph van Ceulen ca. 1600 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 - 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes
William Shanks 1873 Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil.
John von Neumann m.fl. 1949 2037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen ENIAC, kjøringen tok 70 timer
Guilloud og Bouyer 1973 1 001 250 desimaler
Kanada og Tamura 1989 1 073 741 799 desimaler
Yasumasa Kanada 2004 1 241 100 000 000 desimaler ved hjelp av en PC
Fabrice Bellard 2009 2 699 999 990 000 desimaler

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.

I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at π er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.

Beregning[rediger | rediger kilde]

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt og som ofte er kalt Leibniz' formel er

{\pi \over 4} = \sum_{k = 0}^{\infty}{{(-1)^k} \over {2 k + 1}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots

Eller som en tilnærming

\pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406

I det ovenstående er pi angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Ramanujan fra India mange nye formler for π. Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn.[3] Spesielt denne er berømt:

\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!

Der k! er fakultet av k. Dvs 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1, 4! = 4*3*2*1 osv.

Første iterasjon med k=0 gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler...

Formler der π opptrer[rediger | rediger kilde]

Geometri[rediger | rediger kilde]

π forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.

Geometrisk form Formel
Sirkel Omkretsen av en sirkel med radius r og diameter d O = \pi d = 2 \pi r \,\!
Areal av en sirkel med radien r A = \pi r^2 \,\!
Ellipse Areal av en ellipse med halvaksene a og b A = \pi a b \,\!
Sfære Volum av en sfære med radius r og diameter d V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!
Areal av en sfære med radius r A = 4 \pi r^2 \,\!
Sylinder
Volum av en sylinder med høyde h og radius r V = \pi r^2 h \,\!
Areal av en sylinder med høyde h og radius r A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!
Kon Volum av en kjegle med høyde h og radius r V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!
Areal av en kjegle med høyde h og radius r A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 =  \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!

Analyse[rediger | rediger kilde]

Tallet π er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta.\,

Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

e^{i \pi} + 1 = 0,\,

som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: 0, 1, e som er basisen for den naturlige logaritmen, den imaginære enheten i som de komplekse tallene defineres ut fra, og π. Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

\oint\frac{dz}{z}=2\pi i.

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}

Øvrig matematikk[rediger | rediger kilde]

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}
\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}
\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}
Generelt er \zeta(2n) et rasjonelt multiplum av \pi^{2n} for det positive heltallet n
\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}
n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n
\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2

Pi på avveier[rediger | rediger kilde]

I 1897 var kongressen i delstaten Indiana i ferd med å vedta en lov som bla. kunne tolkes som en avrunding av pi til 4 i stedet for 3,14. Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket. Med pi omgjort til 4 ville ingen broer bli stående, og klokker konstruert ut fra denne formelen ville saktne ca. et kvarter for hver hele time.[4]

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk pi, som var nøyaktig 3.125.[5]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Bellard, Francis: Pi Computation Record, 31. desember 2009
  2. ^ Palmer, Jason: Pi calculated to 'record number' of digits, BBC News 6. januar 2010
  3. ^ The constant π: Ramanujan type formulas. Besøkt 4. november 2007.
  4. ^ Peter Englund: Brev fra nullpunktet, Universitetsforlaget, Oslo 1997, ISBN 82-00-22840-1
  5. ^ Forskning.no

Diverse[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]