Pi

«Pi» har flere betydninger.

En sirkel med diameter lik 1 har en omkrets lik π.

Den matematiske konstanten π er definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel: Omkrets = π × diameter. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til pi for hverdagens bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange desimaler som er ikke-sykliske, dermed er pi et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall. Den foreløpig mest nøyaktige beregningen av pi ble utført av Fabrice Bellard i 2009, som kalkulerte π som 3 etterfulgt av 2,7 billioner (2 699 999 990 000) desimaler.

Man bruker tallet pi, som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. Pi brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er pi en grunnleggende konstant.

Historie

Pi har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Babylonerne	ca. 2000 f. Kr.	3,125
Egypterne	ca. 2000 f. Kr.	3,160 45
Salomo	ca. 950 f. Kr.	3,141 4
Arkimedes	ca. 250 f. Kr.	3,141 8 (223/71 < π < 22/7)
Liu Xin	5	3.125 (25/8)
Zu Chongzhi	ca. 480 e. Kr.	3,141 592 920 (355/113)
Otho	1573	3,141 592 9
Viete	1593	3,141 592 653 6
Ludolph van Ceulen	ca. 1600	3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 - 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes
William Shanks	1873	Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil.
John von Neumann m.fl.	1949	2037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen ENIAC, kjøringen tok 70 timer
Guilloud og Bouyer	1973	1 001 250 desimaler
Kanada og Tamura	1989	1 073 741 799 desimaler
Yasumasa Kanada	2004	1 241 100 000 000 desimaler ved hjelp av en PC
Fabrice Bellard	2009	2 699 999 990 000 desimaler

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.

I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at π er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.

Beregning

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt og som ofte er kalt Leibniz' formel er

${\pi \over 4} = \sum_{k = 0}^{\infty}{{(-1)^k} \over {2 k + 1}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots$

Eller som en tilnærming

$\pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406$

I det ovenstående er pi angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Ramanujan fra India mange nye formler for π. Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn. Spesielt denne er berømt:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!$

Der k! er fakultet av k. Dvs 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2*1, 3! = 3*2*1, 4! = 4*3*2*1 osv.

Første iterasjon med k=0 gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler...

Formler der π opptrer

Geometri

π forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.

	Geometrisk form	Formel
	Omkretsen av en sirkel med radius r og diameter d	$O = \pi d = 2 \pi r \,\!$
	Areal av en sirkel med radien r	$A = \pi r^2 \,\!$
	Areal av en ellipse med halvaksene a og b	$A = \pi a b \,\!$
	Volum av en sfære med radius r og diameter d	$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!$
	Areal av en sfære med radius r	$A = 4 \pi r^2 \,\!$
	Volum av en sylinder med høyde h og radius r	$V = \pi r^2 h \,\!$
	Areal av en sylinder med høyde h og radius r	$A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!$
	Volum av en kjegle med høyde h og radius r	$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!$
	Areal av en kjegle med høyde h og radius r	$A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!$

Analyse

Tallet π er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

$e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta.\,$

Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

$e^{i \pi} + 1 = 0,\,$

som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: 0, 1, e som er basisen for den naturlige logaritmen, den imaginære enheten i som de komplekse tallene defineres ut fra, og π. Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

$\oint\frac{dz}{z}=2\pi i.$

Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

$\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = {\pi \over 4}$

Øvrig matematikk

• En integralformel, (se normalfordeling):

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}$

• Baselproblemet, først løst av Euler (se også Riemanns zeta-funksjon):

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$

Generelt er $\zeta(2n)$ et rasjonelt multiplum av $\pi^{2n}$ for det positive heltallet n

• Gammafunksjonen utregnet ved 1/2:

$\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}$

• Stirlings formel:

$n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

• Egenskapen av Eulers phi-funktion (se også Fareysekvens):

$\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim 3 n^2 / \pi^2$

Pi på avveier

I 1897 var kongressen i delstaten Indiana i ferd med å vedta en lov som bla. kunne tolkes som en avrunding av pi til 4 i stedet for 3,14. Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var tilstede før det endelige vedtaket. Med pi omgjort til 4 ville ingen broer bli stående, og klokker konstruert ut fra denne formelen ville saktne ca. et kvarter for hver hele time.

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk pi, som var nøyaktig 3.125.

Diverse

• David Blatner: The Joy of Pi, Walker & Company (1997), ISBN 0-8027-1332-7.
• I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet pi.

Eksterne lenker

• (no) Norsk side om Pi
• (en) Pi med fire millioner desimaler
• (en) Pi-memory