Eulers formel

Eulers formel er oppkalt etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler, og sier at for alle reelle tall x, gjelder det at

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \!$.

der

$e \,$ er grunntallet til den naturlige logaritmen

$i \,$ er den imaginære enheten

$\cos(x) \!$ og $\sin(x) \!$ er trigonometriske funksjoner.

Setter man x=π inn i denne formelen får man også den bemerkelsesverdige Eulers likhet.

Bevis

Ved bruk av Taylorserier

Dette beviset av Eulers formel bruker Taylorserier i tillegg til de grunnleggende egenskapene til potenser av i:

$\begin{align} i^0 &{}= 1, \quad & i^1 &{}= i, \quad & i^2 &{}= -1, \quad & i^3 &{}= -i, \\ i^4 &={} 1, \quad & i^5 &={} i, \quad & i^6 &{}= -1, \quad & i^7 &{}= -i, \\ \end{align}$

også videre. Funksjonene e^x, cos(x) og sin(x) (forutsatt at x er reell) kan uttrykkes ved deres Taylorutvidelse:

$\begin{align} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \end{align}$

For et komplekst tall z kan vi definere alle funksjonene med seriene ovenfor, ved å erstatte x med z. Dette er mulig fordi konvergensradiusen til alle seriene er uendelig. Vi ser da at

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos (z) + i\sin (z) \end{align}$

Denne formelen gjelder altså for alle komplekse tall, men setter man z lik et reelt tall x, får man formelen slik Euler oppdaget den.

Ved bruk av matematisk analyse

Vi definerer funksjonen f(x) der $x \in \Bbb{R}$, som:

$f(x) = \frac{\cos x + i\sin x}{e^{ix}}. \$

Funksjonen er kontunuerlig siden:

$e^{ix} \cdot e^{-ix} = e^{ix \, + \, (-ix)} = e^0 = 1 \$

som betyr at: $e^{ix} \ne 0 \$

Den deriverte av f(x) er ifølge kvotientregelen:

$\begin{align} \frac{d}{dx}f(x) &{}= \frac{e^{ix} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x+i\sin x) - (\cos x+i\sin x) \cdot \frac{d}{dx}(e^{ix})}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{e^{ix} \cdot (-\sin x + i\cos x) - (\cos x+i\sin x) \cdot (i e^{ix})}{(e^{ix})^2} \\ &{}= \frac{-\sin x \cdot e^{ix} - i^2 \sin x \cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \quad \quad \quad (i^2=-1) \\ &{}= \frac{-\sin x \cdot e^{ix} + \sin x \cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ &{}= 0. \end{align}$

Dette betyr at f(x) er konstant og vi kan finne f(x) for alle verdier av x ved å regne ut f(0):

$\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}} = f(x) = f(0) = \frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0} = 1 .$

Av dette ser vi at

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \ .$

Q.E.D.