Hyperbel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Hyperbelens to grener er de røde kurvene, F_1 og F_2 er brennpunktene, F_1F_2 er hyperbelens reelle akse, de blå linjestykkene er brennpunktradiene, S_1 og S_2 er toppunktene. a er avstanden fra sentrum til et toppunkt og de heltrukne, sorte linjene er asymptotene

En hyperbel er i matematikken en kurve og et av de fire kjeglesnitt. Hyperbelen kan defineres som det geometriske sted som er slik at differensen mellom avstanden fra to faste punkter er konstant. Hyperbelen har to grener. De to faste punktene kalles brennpunkter, linjesegmentet mellom brennpunktene kalles hyperbelens reelle akse, midtpunktet på den reelle akse kalles hyperbelens sentrum, og hyperbelgrenenes skjæringspunkter med den reelle aksen kalles toppunkter. Velges x-aksen langs den reelle akse og y-aksen gjennom hyperbelens sentrum, med topp-punkter i (\pm a, 0) og brennpunkter i (\pm c, 0), får hyperbelen ligning


\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

Her er c^2 = a^2 + b^2. Størrelsen 2b kalles hyperbelens imaginære akse. Er a = b, er hyperbelen likesidet. Sammenfaller istedenfor hyperbelens reelle akse med y-aksen, får hyperbelen ligning


\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1.

Disse hyperbelene kalles konjugerte. Eksentrisiteten e til hyperbelen er gitt ved forholdet mellom halvparten av den reelle aksen og avstanden fra sentrum til et topp-punkt. For hyperbelen er e > 1. Hyperbelens asymptoter har ligning


y = \pm\frac{b}{a}x

Eksempler[rediger | rediger kilde]

En likesidet hyperbel med asymptoter langs koordinataksene, har ligning


y = \frac{k}{x}

Referanser[rediger | rediger kilde]