Integral (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Integrasjon)
Gå til: navigasjon, søk
Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner
Det bestemte integralet av f(x) i intervallet [a,b] er lik arealet S mellom kurva og x-aksen.

Integralet av en funksjon har i matematikk to ulike, men relaterte betydninger:

Det ubestemte integralet til en reell funksjon er en ny funksjon med egenskapen at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen. Et slik integral kalles også en antiderivert og en primitiv til den den opprinnelige funksjonen. En gitt funksjon kan ha en hel familie av primitiver, der differansen mellom to primitiver er en konstant.

Det bestemte integralet til en funksjon f(x) er en generalisert sum av elementer f(x)\deltax, der summasjonen foregår mellom to funksjonsargument a og b. Definisjonen bygger på en grenseprosess der antall ledd i summasjonen går mot uendelig, mens størrelsen av hvert element \deltax går mot null. For reelle funksjoner av en variabel representerer det bestemte integralet arealet mellom funksjonsgrafen og x-aksen, regnet med fortegn.

For relle funksjoner er sammenhengen mellom det ubestemte og det bestemte integralet gitt ved den såkalte fundamentalsatsen for matematisk analyse.

For funksjoner som avhenger av flere variable kan en ha mange forskjellige typer bestemte integral, avhenging av blant annet formen på elementet \deltax som det summeres over, f.eks kurveintegral, flateintegral og volumintegral.

Sammen med derivasjon studeres integrasjon i den greinen av matematikk som kalles differensial- og integralregning. Integrasjon er også viktig for målteori. Ligninger som inneholder integral kalles for integralligninger.

Formell definisjon av ubestemt integral[rediger | rediger kilde]

La f(x): R \rightarrow R være en reell funksjon av en relle variabel, og la F(x) være en ny funksjon med egenskapen at den deriverte av F er lik f

\frac{dF}{dx} = f(x) \, .

Det ubestemte integralet av f skrives med en langstrakt «s» som i ordet «sum» og er definert ved

\int f(x) dx = F(x) + C \, .

Her er C en vilkårlig konstant. Funksjonen f(x) kalles integranden i integralet. Dersom funksjonen F eksisterer sies funksjonen f å være integrerbar.

Eksempler på ubestemte integral[rediger | rediger kilde]

\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ hvis }n \ne -1
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln{\left|x\right|} + C

Formell definisjon av bestemt integral[rediger | rediger kilde]

Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av en partisjon (oppdeling) av det lukkede intervallet [a,b].

Det eksisterer flere ulike definisjoner at et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av et Riemannintegral, som igjen er ekvivalent med et Darbouxintegral. For en videre klasse av funksjoner kan en også definere Riemann-Stieltjesintegral og Lebesguesintegral.

Partisjoner[rediger | rediger kilde]

En partisjon er en endelig mengde

P = { x_0, x_1, x_2, ...  ,x_n} \,

slik at

a = x_0 < x_1 < x_2 < ...  < n_n = b \,

Bredden til partisjonen \mu(P) er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

\mu(P) = \max_i  \Delta x_i  \ \text{ der }  \ \Delta x_i = x_i - x_{i-1}  \,

Videre sier en at partisjonen er merket dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjonen (i -1) og i er definert en verdi ti slik at

x_{i-1} \le t_i \le x_i  \,

Riemannintegral[rediger | rediger kilde]

En Riemannsum for en gitt merket partisjon er definert ved

\sum_{i=1}^{n} f(t_i)  \Delta x_i  \,

Det bestemte integralet av funksjonen f(x) over intervallet [a,b] er definert lik S dersom det for et hver positivt tall \epsilon eksisterer en verdi \delta slik at for alle partisjoner med bredde mindre enn \delta, så er

\left| S - \sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i \right| < \epsilon.

Notasjon for verdien av integralet S er på forma

S = \int \limits_{a}^{b} f(x) dx \, .

Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slik grenseverdi eksisterer. Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.

Riemansumma 1.gif Riemansumma 2.gif

Integrerbare funksjoner[rediger | rediger kilde]

En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være (Riemann-)integrerbar.

  • Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare.
  • Hvis f er begrenset i [a,b] og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er f integrerbar i intervallet.

Eksempel på bestemt integral[rediger | rediger kilde]

Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

\int \limits_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \left[ \; \ln{\left|x\right|} \; \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2

Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

\left[ \; f(x) \; \right]_a^b  = f(b) - f(a) \,

Egenskaper til integral[rediger | rediger kilde]

Linearitet[rediger | rediger kilde]

Integralet er en lineær funksjon med hensyn på integranden:

 \int \limits_a^b (\alpha f + \beta g)(x) \, dx = \alpha \int \limits_a^b f(x) \,dx + \beta \int \limits_a^b g(x) \, dx. \,

Additivitet[rediger | rediger kilde]

Integral av samme funksjon over to nabointervall kan summeres:

\int \limits_a^b f dx + \int \limits_b^c f dx = \int \limits_a^c f  dx

Monotonisitet[rediger | rediger kilde]

Hvis f og g er to funksjoner som begge er integrerbare på intervallet [a,b], og der f \le g, så er

\int \limits_a^b f dx \le \int \limits_a^b g dx

Absoluttverdi-integrasjon[rediger | rediger kilde]

Dersom f er integrerbar på intervallet [a,b], så er absoluttverdi-funksjonen |f| integrerbar, og

| \int \limits_a^b f dx  | \le \int \limits_a^b |f| dx

Uekte integral[rediger | rediger kilde]

Et uekte integral er et integral der integranden f går mot uendelig når argumentet nærmer seg en verdi i integrasjonsområdet, eller der integrasjonsområdet er uendelig. I begge tilfeller må verdien av integralet defineres ved en grenseprosess. For eksempel kan en definere

\int \limits_a^\infty f dx = \lim_{b \to \infty}  \int \limits_a^b f dx .

Et eksempel på et uekte integral av denne typen er

\int \limits_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to \infty} [- \frac{1}{x}]_1^b = 1

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

For funksjoner av flere variable eksisterer det en rekke generaliseringer av integralet, som i hovedsak skiller seg fra hverandre i elementet som funksjonen summeres over.

Multippelintegral[rediger | rediger kilde]

Volumet begrenset av en kurve gitt som dobbeltintegral.

For en funksjon av én variabel utføres integrasjonen over et intervall. Tilsvarende kan funksjoner av flere variable integreres over en region D i definisjonsområdet til funksjonen, og resultatet av slik integrasjon kalles et multippelintegral:

\int \cdots \int_D\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \; dx_1 \!\cdots dx_n

For funksjoner i to variable kalles integralet et dobbeltintegral. Verdien av et dobbeltintegral til en positiv funksjon svarer til volumet av legemet mellom kurva og planet definert ved z = 0 innenfor intehgrasjonsområdet. Fubinis teorem gir vilkår for når et dobbeltintegral kan beregnes ved suksessivt å integrere over en og en variabel.

Et multippelintegral over et tredimensjonalt område kalles et trippelintegral eller et volumintegral. Et volumintegral over området D kan skrives med både ett og tre integraltegn:

S = \int \limits_D f \; dV = \iiint \limits_D f  \; dx dy dz

Kurveintegral[rediger | rediger kilde]

I et kurveintegral utføres integrasjonen av et vektorfelt over lengde-elementer langs en kurve. Også navnet linjeintegral er vanlig brukt. La C være en kurve i et flerdimensjonalt rom og anta at kurva er definert med en parametrisering r = r(t), der parameteren t er inneholdt i intervallet [a,b]. La f være et vektorfelt definert i et område som inneholder C og med komponenter i det samme rommet (f1,f2,... ,fn). Da er kurveintegralet S langs C definert ved

S = \int_C \mathbf{f}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{f}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Alternativt skrives kurveintegralet også som

S = \int_C f_1 dr_1 + f_2 dr_2 + \cdots + f_n dr_n

når r = (r1,r2,... ,rn).

Flateintegral[rediger | rediger kilde]

I et flateintegral utføres integrasjon av et skalarfelt over et elementer av en parametriserbar flate. La S = r = r(u,v) være en flate definert for en region T i (u,v)-planet. La f være en skalar funksjon definert og begrenset på S. Flateintegralet av f over S er da definert ved

\int_{S} f \,dS 
= \iint_{T} f(\mathbf{r}(u, v)) 
\begin{Vmatrix}{\partial \mathbf{r} \over \partial u}\times {\partial \mathbf{r} \over \partial v}
\end{Vmatrix} \, du\, dv

Historie[rediger | rediger kilde]

Den moderne notasjonen for et ubestemt integral ble innført av Gottfried Leibniz i 1675. Han innførte integrasjonssymbolet som en forlenget «s».

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]