Logaritme

Logaritmefunksjonen med ulike grunntall. Rød bruker grunntall 2, grønn bruker grunntall e, blå grunntall 10 og cyan bruker grunntall ½.

Logaritmen med grunntall b til et tall a er den eksponenten c som grunntallet må opphøyes i for å gi tallet:

$b^c = a \ \iff \ c = \log_b a \,$

Grunntallet kalles også basis for logaritmen. Tallet a er antilogaritmen. Logaritmer med grunntall lik eulertallet e kalles naturlige logaritmer, mens briggske logaritmer bruker grunntallet 10. Også grunntallet 2 er vanlig brukt.

Desimaltallene i en logaritme blir betegnet mantissen, mens heltalsverdien kalles karakteristikken. For en logaritmeverdi lik 3,2727 er karakteristikken lik 3 og mantissen er 0,2727.

For et fast grunntall kan logaritmen betraktes som en funksjon av argumentet x og kalles da for logaritmefunksjonen:

$f(x) = \log_b x \,$.

Denne funksjonen er en av de såkalte elementære grunnfunksjonene og har stort bruksområde i mange deler av matematikk og fysikk. For reelle positive verdier defineres logaritmefunksjonen som den inverse funksjonen til eksponensialfunksjonen. Definisjonen av funksjonen kan utvides slik at den gjelder også for komplekse verdier av argumentet.

Før innføring av lommekalkulatoren var logaritmer viktige for å forenkle mange praktiske regnestykker: Beregningsuttrykk som bare inneholder multiplikasjon og divisjon kan ved hjelp av logaritmer forenkles til uttrykk som bare inneholder addisjon og subtraksjon. Trykte logaritmetabeller var i mange år et viktig hjelpemiddel for komplekse beregninger. Charles Babbage utviklet forløperen til dagens regnemaskiner nettopp for å kunne generere logaritmetabeller. Også regnestaven er basert på bruk av logaritmer.

Adjektivet logaritmisk brukes for å beskrive en tilknytning til logaritmer, for eksempel at det som omtales har en egenskap som varierer logaritmisk. I en logaritmisk skala er et avstand langs skalaen mellom tallet 1 og et tall a proporsjonal med logaritmen til a. En logaritmisk spiral er er kurve der vinkelen til et punkt er proporsjonal med logaritmen til radien til punktet.

Notasjon

Logaritmen med grunntall b til et tall a skrives normalt log_b a, men dersom grunntallet er underforstått kan dette forenkles til log a. Standarden ISO 31-11 anbefaler følgende notasjon:

For logaritmer med grunntall 2:

$\text{lb}\, a = \text{ld}\, a = \log_2 a \,$

For briggske logaritmer:

$\lg a = \log_{10} a \,$

For naturlige logaritmer:

$\ln a = \log_e a \,$

Logaritmen skrives som regel uten parentes rundt argumentet a, som vist i eksemplene over. Antilogaritmen skrives

$\text{antilog}_b c \,$

Definisjon av logaritmefunksjonen for reelle tall

Eksponensialfunksjonen er generelt definert ved

$g(y) = b^y \,$

der grunntallet b er et positivt reelt tall. Verdimengden til denne funksjonen er lik mengden av positive reelle tall. Siden funksjonen er injektiv har den definert en invers funksjon som har definisjonsmengde lik mengden av positive reelle tall og som blir betegnet logaritmefunksjonen:

$f(x) = g^{-1}(x) = \log_b x \,$.

Fra definisjonen følger identiten

$b^{\log_b x} = x = \log_b (b^x) \,$.

Den naturlige logaritmen kan også defineres ved det følgende bestemte integralet:

$\ln x = \int \limits_1^x \frac{dt}{t} \quad x > 0 \,$

Et annet alternativ er bruk av grenseverdien

$\ln x = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{x^\epsilon -1}{\epsilon} \quad x > 0 \,$

Egenskaper og regler for logaritmer

Utdypende artikkel Liste over logaritmeidentiteter

De følgende identitetene gjelder for logaritmer med et vilkårlig grunntall. For å forenkle notasjonen er derfor grunntallet b utelatt der det ikke er strengt nødvendig.

Grunnleggende egenskaper

For alle grunntall gjelder det at logaritmen til tallet 1 er lik null:

$\log 1 = 0 \,$

Logaritmen til grunntallet er lik 1:

$\log b = 1 \,$

Logaritmefunksjonen er strengt voksende for grunntall større enn 1 og strengt minkende for grunntall mindre enn 1.

Første logaritmesetning

$\log(xy) = \log x + \log y \,$

Beviset bygger på den følgende identiteten for eksponensialfunksjonen:

$b^u \cdot b^v = b^{(u+v)} \,$

Her er u og v vilkårlige tall, så ved å definere

$u = \log x \,$

$v = \log y \,$

og sette inn i identiten over, så er

$b^{\log x} \cdot b^{\log y} = b^{(\log x+\log y)} \,$

Fra definisjonen av logaritmen er

$b^{\log x} \cdot b^{\log y} = x y = b^{\log (xy)} \,$

Tilsammen gir dette

$x y = b^{\log (xy)} = b^{(\log x+\log y)} \,$

Andre logaritmesetning

$\log(\frac{a}{b}) = \log a - \log b \,$

Beviset følger samme form som for første logartimesetning, ved hjelp av identiteten

$\frac{b^u}{b^v} = b^{(u-v)} \,$

Tredje logaritmesetning

$\log(a^x) = x \log a \,$

Relasjon mellom logaritmer med ulike grunntall

Sammenhengen mellom to logaritmer med grunntall henholdsvis lik a og b er gitt ved

$\log_a x \log_b a = \log_b x \,$

Derivasjon av logaritmefunksjonen

Den deriverte av den naturlige logaritmen er gitt ved

$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \,$

For logaritmen med generelt grunntall b gjelder derivasjonsregelen

$\frac{d}{dx} \log_b x = \frac{1}{x \ln b} \,$

Logaritmisk derivasjon

Såkalt logaritmisk derivasjon utnyttest ofte for funksjoner som består av kompliserte produkt:

$f^\prime(x) = f(x) \frac{d}{dx}\ln f(x) \,$

Denne regelen følger av kjerneregelen for derivasjon brukt på funksjonen $\ln$ $f(x)$.

Antiderivert

Den antideriverte til den naturlige logaritmen er gitt ved uttrykket

$\int \ln x \,dx = x \ln x - x + C. \,$

For logaritmer med andre baser gjelder

$\int \log_b x \,dx = x \log_b x - \frac{x}{\ln b } + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C.$

Eksempel på bruk av logaritmer

Logaritmetabell i håndboka Abramowitz og Stegun.

Anta at en trenger å beregene det følgende talluttrykket for x, og bare har en logaritmetabell til hjelp:

$x = \sqrt[3]{\frac{60,27 \cdot 70,34}{0,27}}$

Siden en logaritmetabell typisk tabulerer logaritmene for tallverdiene mellom 1 og 10, kan en først utføre en liten omskriving av uttrykket:

$x = \left [ \frac{(6,027 \cdot 10) \cdot ( 7,034 \cdot 10) }{2,7 \cdot 0,1} \right ]^{\frac{1}{3}}$

Fra dette følger det ved hjelp av regneregler for briggske logaritmer

$\lg x = \frac{1}{3} \left [ ( \lg 6,027 + 1) + ( \lg 7,034 + 1) - (\lg 2,7 - 1) \right ]$

Fra en logaritmetabell kan en finne verdiene

$\begin{alignat}{2} \lg 6,027 &= 0,780101... \\ \lg 7,034 &= 0,847202... \\ \lg 2,700 &= 0,431363... \\ \end{alignat}$

Ved å utføre addisjonene og subtraksjonen i uttrykket over finner en

$\lg x = 1,398647... \,$

Fra en tabell over antilogaritmer finner en for mantissen

$\text{antilog}_{10} 0,398647 = 2,504071 \,$

Tilsammen gir dette

$x = (\text{antilog}_{10} 0,398647 ) \cdot 10 = 25,04071 \,$

Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen

Det eksisterer mange kjente rekkeutviklinger som involverer naturlige logaritmer:

$\begin{alignat}{3} \ln x &= \sum_{i=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n} &0 < x \le 2 \\ \ln x &=2 \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2n-1} \left ( \frac{x-1}{x+1} \right )^{2n-1} & x > 0 \\ \end{alignat}$

Den første rekka er taylorrekka til logaritmefunksjonen, og denne rekka kalles også Mercator-rekka eller Newton-Mercator-rekka, etter Gerhard Mercator og Isaac Newton.

Logaritmer med komplekse argument

Logaritmefunksjonen kan utvides til å være definert for komplekse verdier av argumentet z, gjennom definisjonen

$\log z = \ln|z| + i\arg(z) \,$

Her er z er komplekst tall, og logaritmen er også et komplekst tall. Funksjonen $\arg$ er argumentet til det komplekse tallet, og i er den imaginære enheten.

For komplekse argument er logaritmefunksjonen ikke entydig, fordi argumentet kan inneholde et vilkårlig multiplum av $2 \pi$. Skriver en det komplekse tallet på polarformen

$z = |z| e^{i \phi},\,$

så kan den komplekse logaritmen skrives som

$\log z = \ln |z| + i\left(\phi + 2 k \pi \right) \,$

Her er k et vilkårlig heltall. Den såkalte prinsipalverdien av logaritmefunksjonen er gitt for k = 0, når

$\text{Log} z = \ln|z| + i\text{Arg}(z) = \ln|z| + i \phi \quad \text{der} \quad \phi \in (-\pi,\ \pi] \,$

For relle positive argument er den komplekse logaritmen lik den naturlige logaritmen.

Den komplekse logaritmen oppfyller første og andre logaritmesetning, men ikke den tredje.

Historie

John Napier (1550-1617)

Begrepet logaritme ble innført av John Napier i boka Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio publisert i 1614. Napier var en skotsk landadelsmann med spesiell interesse for tall-beregninger og trigonometri. Ifølge eget utsagn hadde han arbeidet med logaritmene i over tjue år før han publiserte resultatene.

Litteratur

• O.F.Olden, S.K.Østratt: Matematiske og fysiske tabeller, Aschehoug, 1970.
• M.Abramowitz, I.Stegun (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4.
• C.B.Boyer (1968). A history of mathematics.. John Wiley & Sons, Inc, Princton, USA. ISBN ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker

• Tabell over briggske logaritmer

Forklaring av logaritmer i Encyclopædia Britannica fra 1797.