Rekke (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

En rekke er i matematikk en sum av ledd i en følge. En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.

Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være konvergent, ellers er den divergent.

Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

La \{ a_n \} være en følge. En rekke med n-te ledd lik a_n er definert som summen av alle N leddene i følgen, der N kan være endelig eller uendelig:

s = \sum_{n=1}^N a_n \,

Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.

Til en uendelig følge \{ a_n \} kan en definere en assosiert følge \{ s_n \} der

s_n = \sum_{i=1}^n a_i \,

Dersom følgen \{ s_n \} konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og

s = \sum_{n=1}^\infty a_n     \iff   s = \lim_{n \to \infty} s_n

Leddet s_n kalles den n-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.

Eksempler på rekker[rediger | rediger kilde]

Eksempel 1: Aritmetisk rekke[rediger | rediger kilde]

En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er x_0 og n-te leddet er x_n = x_0 + nd, så er

\sum_{n=0}^N x_n = \sum_{n=0}^N {(x_0 + nd)} = \frac{N+1}{2}(x_0 + x_N) = (N+1) x_0 + \frac{1}{2}N(N+1)d

En uendelig aritmetisk rekke er divergent.

Eksempel 2: Geometrisk rekke[rediger | rediger kilde]

En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har forma

\sum_{n=0}^\infty {x^n}

Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av x er strengt mindre enn 1, dvs dersom |x| < 1:

\sum_{n=0}^\infty {x^n} = {1 \over {1 - x}}

En partialsum er gitt ved

\sum_{n=0}^N {x^n} = {1 - x^{N+1} \over {1 - x}}

Eksempel 3: Harmonisk rekke[rediger | rediger kilde]

En harmonisk rekke er divergent

\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}

Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis p > 1:

\sum_{n=1}^\infty {1 \over {n^p}}

Eksempel 4[rediger | rediger kilde]

Den følgende rekken konvergerer for p > 1:

\sum_{n=2}^\infty {1 \over {n (\log n)^p}}

Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen[rediger | rediger kilde]

Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende konvergente rekken:

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over {n !}}

Uttrykket i nevneren i brøken er n-fakultet. Generelt kan eksponentialfunksjonen defineres ved

e^x = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^n}{n!}}

Eksempel 6: Endelige heltalsrekker[rediger | rediger kilde]

Summen av de N første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

\sum_{n=1}^{N} n = {N(N+1) \over 2}

Summen av de N første kvadrattallene og kubikktallene kan skrives tilsvarende

\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{1}{6}N(N+1)(1 + 2N)
\sum_{n=1}^{N} n^3 = ( \sum_{n=1}^N  n)^2

Summen av de N første potensene av tallet 2:

\sum_{n=0}^{N} 2^n = 2 \cdot 2^N - 1

Konvergens[rediger | rediger kilde]

En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.

En rekke \sum a_n sies å konvergere absolutt dersom rekken \sum | a_n | konvergerer. Dersom \sum a_n konvergerer, mens \sum | a_n | divergerer, sies rekken å konvergere betinget.

Dersom \sum a_n og \sum b_n er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å konvergere langsommere enn den første dersom

\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \infty

Konvergenskriterier[rediger | rediger kilde]

Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.

Forholdskriteriet[rediger | rediger kilde]

En rekke \sum a_n av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

\left | { a_{n+1} \over a_n } \right | \le q \ \mbox{for } n \ge N

Rotkriteriet[rediger | rediger kilde]

En rekke \sum a_n av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

\sqrt{ | a_n |}  \le q \ \mbox{for } n \ge N

Alternerende rekker[rediger | rediger kilde]

Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt.

Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n

er konvergent dersom \{a_n\} er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null. Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {1 \over n}

Potensrekker[rediger | rediger kilde]

Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n

Her er c kalt senter for rekken og a_n er koeffisientene. En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene x, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall. Til en hver potensrekke er det assosiert en konvergenssirkel i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom x ligger innenfor sirkelen. Konvergenssirkelen har sentrum i c. Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {x^n \over n}

Taylorrekker og maclaurinrekker[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Taylorrekke

En taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon f(x) er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi c på forma

p_n(x) = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} f^{(n)}(c)(x - c)^n

Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med f^{(n)}.

For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil

f(x) = p_n(x) \,

En taylorrekke med senter i null kalles en maclaurinrekke.

Se også[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Adams, Robert A. (2006). Calculus: A Complete Course. ,. ISBN 0-321-27000-2. 
  • Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: Gyldendals formelsamling i matematikk, 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6
  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.