Topologi

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Områder i geometri
Algebraisk geometri
Differensialgeometri

Liegrupper
Riemannsk geometri

Euklidsk geometri

Pythagoras' læresetning

Ikke-euklidsk geometri

Elliptisk geometri
Sfærisk geometri
Hyperbolsk geometri
Projektiv geometri

Topologi

Algebraisk topologi
Generell topologi

Trigonometri

Topologi (fra gresk topos, 'sted' og logos, 'lære') er en gren av moderne geometri. Denne matematiske disiplinen har tidligere gått under navnet analysis situs.

I topologien behandles topologiske rom, det vil si figurer, legemer, rom, flater, kurver og så videre, og de egenskapene som avhenger av hvordan det topologiske rommet «henger sammen». Eksempelvis er dimensjoner en topologisk egenskap, mens størrelse og plassering er ikke slike egenskaper. Topologi kan derfor betegnes som «gummigeometri». Topologi deles gjerne i to deldisipliner: punktmengdetopologi og algebraisk topologi.

Eksempelvis er en kule og en kube det samme topologiske rommet, men begge er ulik en sirkel.

Begrepet topologi blir også brukt i forbindelse med retorikk og dialektikk.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Kontinuerlig deformasjon mellom en kaffekopp og smultering (torus) som viser at disse formene er topologisk ekvivalente eller homeomorfe. Homeomorfisme er en inverterbar avbildning av et topologisk rom på et annet, slik at både avbildningen og den inverse avbildningen er entydig og kontinuerlig.

En topologi på en mengde beskriver hvilke delmengder som skal betraktes som åpne. Mer presist er et par (X,T) et topologisk rom dersom X er en mengde og T er en mengde delmengder av X slik at

  • både den tomme mengden \emptyset og X er i T,
  • en vilkårlig union av mengder fra T er også i T og
  • et endelig snitt av mengder fra T er også i T.

Delmengdene i T kalles åpne, mens et komplement av en mengde i T kalles lukket.

Alternativt kan en topologi spesifiseres ved å angi en omegnsstruktur.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

  • I den trivielle topologien på en mengde X er kun \emptyset og X åpne mengder.
  • I den diskrete topologien på en mengde X er alle delmengder åpne.
  • I standardtopologien på de reelle tall, \mathbb{R}, er de åpne mengdene alle unioner av åpne intervall. Minnes at en åpne intervall er en mengde (a, b) = \{x \in \mathbb{R}: a < x < b\}, hvor a og b er i \mathbb{R}.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  • Seymour Lipschutz: General Topology. Schaum Publishing co., 1965.
  • Arlo W. Schurle: Topics in Topology. Elsevier North Holland, Inc., 1979.
  • Per Holm og Jon Reed: Topologi. Universitetsforlaget 1990.
matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er foreløpig kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)