Elektromagnetisk felt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Øyeblikksbilde av elektriske E og magnetiske B feltlinjer rundt en dipolantenne.

Et elektromagnetisk felt oppstår i alle situasjoner hvor det finnes elektrisk ladning. Er denne i ro, vil det bestå av et rent elektrisk felt. Så snart den beveger seg, vil ladningen også omgi seg med et magnetisk felt. Feltet et beskrevet ved Maxwells ligninger som viser at det utbrer seg i vakuum med lyshastigheten.

Egenskapene til det elektromagnetiske feltet lå til grunn for Einsteins utvikling av den spesielle relativitetsteorien i 1905. Den viser at komponentene til feltet utgjør en antisymmetrisk tensor i det firedimensjonale tidrommet. Om det skal ha hovedsakelig en elektrisk eller en magnetisk karakter, avhenger av hvordan det observeres. Feltet er invariant under gaugetransformasjoner slik at Maxwells ligninger definerer en gaugeteori. Siden 1983 har det vært kjent at det elektromagnetiske feltet inngår sammen med andre, tilsvarende felt for den svake kjernekraften i en enhetlig, elektrosvak gaugeteori.

Elektromagnetiske felt spiller en stadig større rolle i vårt moderne samfunn. All telekommunikasjon, radar, fiberoptikk, elektrisk motorer, strømforsyning og mye annet er basert på de samme matematiske ligninger som ble funnet av Maxwell for omtrent 150 år siden.

Maxwells ligninger[rediger | rediger kilde]

Grunnlaget for den moderne forståelse av det elektromagnetiske feltet ble lagt av Michael Faraday gjennom hans eksperimentelle undersøkelser av elektriske og magnetiske krefter. Disse forklarte han ved at de ble formidlet av et felt som han kunne beskrive ved hjelp av feltlinjer. Den matematiske beskrivelsen av dette elektromagnetiske feltet ble funnet av James Clerk Maxwell i 1862 uttrykt ved tyve partielle differensialligninger for de forskjellige komponentene til feltet. Et par tiår senere ble disse redusert til fire ligninger av Oliver Heaviside ved bruk av vektoranalyse.

I denne moderne formuleringen er det elektromagnetiske feltet beskrevet ved to vektorfelt som kalles det elektriske feltet E = E(r,t) og det magnetiske fluksfeltet B = B(r,t). Hvis bare det elektriske feltet er tilstede og det ikke varierer med tiden, kalles det for et elektrostatisk felt. Likedan, hvis kun det magnetiske feltet er tilstede og det ikke varierer med tiden, kalles det for et magnetostatisk felt. Men hvis bare et av disse to vektorfeltene har en tidsavhengighet, vil også det andre få det gjennom Maxwells ligninger.[1]

For å beskrive feltet i materialer og forskjellige medier er det hensiktsmessig å innføre et elektrisk forskyvningsfelt D = εE hvor ε er permittiviteten til materialet. På samme måte defineres et magnetisk felt H i et material med permeabilitet μ ved sammenhengen B = μH. I vakuum er disse to materialkonstantene gitt ved henholdsvis den elektriske konstanten ε0  og den magnetiske konstanten μ0.

Kilden til det elektromagnetiske feltet er elektrisk ladning beskrevet ved en ladningstetthet ρ = ρ(r,t) og elektriske strømmer beskrevet ved strømtettheten J = J(r,t) . Disse inngår i de to første Maxwell-ligningene som er

Den første er Gauss' lov for det elektriske feltet som har elektrisk ladning som kilde. Fra betydningen av divergens-operatoren følger at de tilsvarende feltlinjene går fra positive ladninger og ender opp på like store, negative ladninger. På samme vis viser den andre Maxwell-ligningen, hvor forskyvningsstrømmen D/∂t inngår, at elektriske strømmer er kilden til det magnetiske feltet. Ligningen omtales vanligvis som Maxwell-Ampères sirkulasjonslov da den er en generalisering av Ampères opprinnelige sirkulasjonslov for stasjonære strømmer til det generelle tilfellet hvor feltene varierer med tiden. Tar man divergensen av ligningen, fremkommer kontinuitetsligningen som et uttrykk for at elektrisk ladning er en bevart størrelse.[2]

De to siste Maxwell-ligningene kan skrives som

og er uten kilder. Den første betyr at magnetiske flukslinjer alltid vil være lukkete kurver da det er ingen ladninger hvor de kan starte eller ende opp på. At det ikke finnes slike magnetiske ladninger, betyr også at i denne klassiske, elektromagnetiske teorien finnes ikke magnetiske monopoler. Den siste ligningen her viser de hvordan elektriske og magnetiske felter er knyttet sammen i et elektromagnetisk felt slik at det ene kan gi opphav til det andre og representerer den matematiske formuleringen av Faradays induksjonslov.

Elektromagnetiske potensial[rediger | rediger kilde]

Den magnetiske Maxwell-ligningen B = 0 er automatisk oppfylt ved å skrive

hvor A = A(r,t) er det magnetiske vektorpotensialet. Det ble først innført av Franz Neumann og benyttet i stor grad av Maxwell i konstruksjon av sine ligninger.[2] Bruker man denne definisjonen i Faradays induksjonslov, ser man at E + ∂A/∂t  må være gradienten til en skalar funksjon. Den er gitt ved det elektriske potensialet Φ = Φ(r,t)  slik at man skrive det elektriske feltet generelt som

I det statiske tilfellet forenkles denne relasjonen til E = -  φ. Det viser at dette potensialet da er direkte relatert til den potensielle energien til en partikkel som befinner seg i et slikt elektrisk felt.

Derimot har det elektriske potensialet ingen slik direkte fysisk interpretasjon når feltet varierer med tiden da det alltid kan forandres ved en gaugetransformasjon. Det ser man ved å innføre en vilkårlig funkjon χ = χ(r,t) . Hvis man så definerer de transformerte potensialene, ved

vil de transformerte elektriske og magnetiske feltene forbli uforandret. Maxwell-teorien sies derfor å være gaugeinvariant, noe som på et vis definerer dens innhold.

Denne friheten kan også være av stor betydning ved bruk av teorien. Avhengig av hva man ønsker å oppnå kan man derfor anta at potensialene oppfyller en bestemt betingelse som medfører visse forenklinger. Så snart man tar en slik betingelse i bruk, sies man å arbeide innen en bestemt gauge. De mest vanlige gaugevalgene er Coulomb-gauge og Lorenz-gauge.

Bølgeligninger[rediger | rediger kilde]

En viktig fordel ved å benytte potensial til å formulere lovene for det elektromagnetiske feltet, er det gir enklere bølgeligninger som beskriver feltets utbredelse i tid og rom. For det magnetiske vektorpotensialet kan den utledes fra definisjonen B =  × A. Tar man curl av denne og bruker identiteten  × (∇ × A) =  (A) -  2A sammen med Maxwells to ligninger for  × B og  × E, får man

hvor c 2 = 1/εμ  er kvadratet av lyshastigheten. Likedan, ved å ta divergensen av Gauss' lov på differensiell form hvor man i allminnelighet har E = - Φ - ∂A/∂t, kan resultatet skrives som

Dette er ingen vanlig bølgeligning for det elektriske potensialet. I tillegg involverer både dette og det forrige uttrykket begge potensialene Φ og A slik at an ikke uten videre kan holde disse to fra hverandre under en beregning.

Ligningene forenkles betraktelig ved bruk av Lorenz-gaugen

Det resulterer i den inhomogene bølgeligningen

for det magnetiske vektorpotensialet. Samtidig vil det elektriske potensialet oppfylle den tilsvarende bølgeligningen

De to potensialene er dermed blitt koblet fra hverandre og deres bevegelsesligninger kan løses hver for seg. De er kun indirekte avhengig av hverandre gjennom gaugebetingelsen.

Retarderte løsninger[rediger | rediger kilde]

For gitt kilder ρ = ρ(r,t) og J = J(r,t) kan begge bølgeligningene løses ved bruk av Greens funksjon. Siden et signal som er skapt i et kildepunkt r', vil bruke en tid |r - r'|/c  for å nå frem til et feltpunkt r, vil feltet i dette punktet ved tiden t være avhengig av hva som forgikk i kilden ved det tidligere eller retarderte tidspunktet

De generelle løsningene av bølgeligningene kan da skrives som[3]

All elektromagnetisk stråling fra klassiske kilder kan beregnes fra disse to formlene. I enkleste approksimasjon beskrives kildene med sine dipolmoment som resultererer i elektrisk og magnetisk dipolstråling.

For statiske kilder forenkles disse løsningene. Ligningen for Φ gir det elektriske potensialet som skyldes en konstant ladningsfordeling, mens uttrykket for vektorpotensialet A er ekvivalent med Biot-Savarts lov for det magnetiske feltet frembrakt av en stasjonær strømfordeling.

Coulomb-gauge[rediger | rediger kilde]

Bølgeligningene kan også løses i Coulomb-gaugen A = 0. Selv om løsningene da ser annerledes ut, vil de gi samme resultat ved beregning av fysiske størrelser. Med dette gaugevalget, vil den siste ligningen for det skalare potensialet Φ forenkles til Poissons ligning

som ikke er en vanlig bølgeligning. Den kan løses på samme måte som i det elektrostatiske tilfellet slik at man har

Her opptrer samme tidspunkt både i kildepunktet og feltpunktet. Selv om det ikke er noen retardasjon i denne løsningen, vil likevel et fysisk signal fra kilden ta en viss tid å nå frem siden det er sammensatt med den delen som blir overført gjennom vektorpotensialet. Og det forplanter seg med retardasjon som kommer frem ved å skrive den resulterende bølgeligningen i denne gaugen som

etter å ha innført den transverse strømmen

Løsningen for det magnetiske vektorpotensialet ved bruk av Coulomb-gaugen kan derfor skrives på den retarderte formen[3]

Den avhenger av den transverse delen av strømtettheten som har sitt navn fra egenskapen

når man benytter ligningen for det skalare potensialet sammen med kontinuitetsligningen for den elektriske strømmen.

Poyntings teorem[rediger | rediger kilde]

Når det elektromagnetiske feltet har både en elektrisk E og en magnetisk komponent B, vil kun det elektriske feltet utføre et arbeid på partiklene i feltet. Er disse beskrevet ved hastighetsfeltet v = v(x,t), er Lorentz-kraften som virker på hvert volumelement av denne partikkelfordelingen med ladningstetthet ρ = ρ(x,t), gitt ved ligningen f = ρ(E + v × B). Arbeidet som den utfører i hvert volumelement og per tidsenhet er dermed

der J = ρv  er partiklenes strømtetthet. Denne kan nå uttrykkes ved feltene ved bruk av Maxwell-ligningen  × H = J + ∂D/∂t. Da vil produktet E⋅( × H)  oppstå. Dette kan omskrives ved bruk av identiten

fra vektoranalysen. På samme måte kan man her benytte at  × E = - ∂B/∂t. De leddene som på den måten oppstår, kan ordnes og skrives på formen

og uttrykker energibalansen i dette systemet. Dette matematiske resultatet omtales som Poyntings teorem. I det første leddet oppter den skalare størrelsen

som er den elektromagnetiske feltenergitettheten. Den består av uE = (1/2)E⋅D = ε0E 2/2 som er bidraget fra det elektriske feltet E, mens uB = (1/2)B⋅H = B 2/2μ0 er den delen som skyldes det magnetiske feltet B.

Poyntings vektor[rediger | rediger kilde]

Ved å sammenligne det matematiske resultatet for energibalansen med kontinuitetsligningen for elektrisk ladning, ser man samme struktur som denne på høyre siden av ligning. Mens venstre side beskriver hvor mye energi som overføres til partiklene i et lite volumelemnt, vil leddet ∂u/∂t  si hvor raskt denne energien tas fra selve feltet. Det resterende leddet S hvor vektoren

sier hvor mye energi som strømmer ut av volumelementet. Den blir omtalt som Poyntings vektor. Mens u  angir tettheten av elektromagnetiske feltenergi i hvert punkt, beskriver S  strømmen av denne energien.

Poyntings teorem sammenfatter bevarelse av elektromagnetisk energi på en kompakt form. Siden arbeidet fv som feltet utfører, går med til å øke den indre energitettheten w til partiklene, kan man skrive teoremet på den alternative formen

som gjør mer tydelig at den totale energien til både feltet og partiklene holder seg konstant. Øker den ene, vil den andre komponenten avta like mye - og omvendt.

Elektromagnetisk impulstetthet[rediger | rediger kilde]

Mens fv  angir hvor raskt energien til partiklene forandres gjennom deres vekselvirkning med feltet, vil selve volumkraften f = ρE + J × B si hvor raskt deres impuls forandres med tiden. Det følger fra Newtons andre lov f = ∂P/∂t hvor P angir impulstettheten til partiklene. Igjen kan man uttrykke ladningstettheten ρ  og strømtettheten J  ved feltene gjennom bruk av Maxwells ligninger. Etter noen vekoranalytiske omforminger, finner man da resultatet kan skrives på formen[1]

hvor vektoren G = D × B = S/c2  må forstås som impulstettheten til det elektromagnetiske feltet. På høyre side av ligningen står divergensen av Maxwells spenningstensor. Den kan skrives som

når man gjør bruk av Kronecker-deltaet δij. I denne ligningen for bevarelse av den totale impulsen til systemet, kan da tensoren σij forståes som fluks av elektromagnetisk impuls på samme måte som Poynting-vektoren uttrykker fluks av elektromagnetisk energi.

Plane bølger[rediger | rediger kilde]

I områder av rommet hvor det er hverken elektriske ladninger eller strømmer, vil det elektromagnetiske feltet bre seg utover som en fri bølge eller en superposisjon av slike. Den elektriske komponenten vil oppfylle bølgeligningen

og tilsvarende for det magnetiske feltet som opptrer samtidig via Maxwell-ligningen  × E = - ∂B/∂t. Har bølgen vinkelfrekvensen ω = c |k|  hvor k er bølgevektoren, vil den enkleste, plane bølge kunne skrives som

hvor den konstante vektoren E0  angir dens amplitude. Bølgen brer seg i retning k og fra E = 0 følger at kE = 0. Den elektriske feltvektoren står derfor vinkelrett på utbredelsesretningen, noe som karakteriserer en transvers bølge. Denne transvere egenskapen har også det magnetiske feltet som er gitt ved B = k × E/ω. I vakum er H = B/μ0 slik at forholdet mellom det elektriske og det magnetiske feltet til bølgen er E/H = μ0c. Denne størrelsen kalles vanligvis for «rommets bølgemotstand» eller vakuumimpedansen Z0. Settes inn størrelsene for den elektriske ε0  og den magnetiske konstanten μ0, finner man at den har en verdi

Energi og impuls[rediger | rediger kilde]

Den midlere energitetthet i en slik plan bølge med elektrisk amplitude E0 er

da faktoren cos2 i middel gir 1/2. På samme måte blir den midlere verdien av Poynting-vektoren

hvor enhetsvektoren er i samme retning som bølgevektoren . Dette er i overensstemmelse med at S beskriver en strøm av energi med tetthet <u> som transporteres med lyshastigheten c. Dette gir nå direkte impulstettheten i bølgen som

Når det elektromagnetiske feltet kvantiseres i kvanteelektrodynamikken, vil denne plane bølgen beskrives ved fotoner som hver har energien ħω uttrykt ved den reduserte Planck-konstanten ħ = h/2π. Hvis den romlige tettheten av fotoner er n, vil man da ha sammenhengene <u> = nħω og <G> = nħk  da ω/c = k. Det tilsvarer at hvert foton har impulsen p = ħk som ble først utledet av Einstein i hans forklaring av varmestrålingen.[4]

Polarisasjon[rediger | rediger kilde]

Denne plane bølgen har en elektrisk feltvektor som oscillerer langs en konstant retning gitt ved amplituden E0. Av denne grunn sies bølgen å være planpolarisert. Mer generelt vil retningen til denne feltvektoren ikke være konstant og bølgen sies å være elliptisk polarisert. Det kan enklest anskueliggjøres ved å betrakte en bølge som beveger seg langs z-aksen. Feltvektoren vil derfor ha en komponent Ex langs x-aksen og en komponent Ey langs y-aksen.[5] Hver komponent oppfyller den samme bølgeligningen, men løsningen av denne vil i allminnelighet inneholde en faseforskjell φ mellom disse to komponentene. Dermed vil det elektriske feltet for denne plane bølgen generelt skrives som

hvor ex  og ey  er basisvektorer i de to transverse retningene. Komponentene Ex  og Ey  til feltvektoren vil nå alltid oppfylle ligningen

som viser at de beveger seg på en ellipse med hovedakser som danner en viss vinkel med koordinataksene. I det generelle tilfellet sies derfor bølgen å være elliptisk polarisert. Ellipsen degenerer til en rett linje for det spesielle tilfellet φ = 0 som gir en planpolarisert bølge. Når φ = ± π /2 faller ellipseaksene sammen med koordinataksene. For denne faseforskyvningen går ellipsen over til å bli en sirkel når E0x = E0y og bølgen sies å være sirkulært polarisert.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
  2. ^ a b O. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.
  3. ^ a b C.A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics, Oxford University Press, Oxford (2004). ISBN 0-19-514665-4.
  4. ^ R.A. Serway, C.J. Moser and C.A. Moyer, Modern Physics, Saunders College Publishing, Philadelphia (1989). ISBN 0-03-029797-4.
  5. ^ O. Hunderi, J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 2, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-82-1500-006-0.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]