Kronecker-delta

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

Det matematiske symbolet Kronecker-delta \delta_{ij}, som var innført av Leopold Kronecker, er en funksjon av to variabler. Kalles også Kronecker-symbol og delta-funksjon.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Kronecker-delta er definert som:

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix}
 1 & \mbox{for } i=j \\
 0 & \mbox{for } i \neq j
\end{matrix}\right.

hvor i og j er elementer i en mengde I.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Kronecker-delta er ofte skrevet som

\delta=\mathrm{1}_D:I\times I\to \{0,1\},

når den står for den karakteristisk funksjonen \mathrm{1}_D i en diagonalmengde.

D=\{(i,j)\in I\times I:\; i=j\}.

For kontinuerlige indekser går Kronecker-delta over i Diracs deltafunksjon.

Eksempel på bruk[rediger | rediger kilde]

Innen lineær algebra er symbolet brukt for å uttrykka enhetsmatrisen n\times n som (\delta_{ij}) med {1\leq i,j\leq n} . En 3x3 enhetsmatrise kan uttrykkes som:

(\delta_{ij}) = \begin{pmatrix} 1 & 0  & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Kronecker-delta kan brukes for å uttrykke skalarproduktet av to orthonormale vektorer:

e_1, \dots, e_n som \langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}.

Innen signalbehandling og reguleringsteknikk er symbolet brukt for å representere en impuls:


\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}