Magnetisk dipol

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Magnetisk dipol og tilhørende magnetfelt B skapt av en sirkulær sløyfe som fører strømmen I  og har magnetisk moment m.

En magnetisk dipol er den enkleste magnet. Den består av et magnetisk moment samt det magnetiske feltet som det skaper. Den dannes av en elektrisk strøm eller ladning som går rundt i en lukket bane. All magnetisme skyldes mikroskopiske, magnetiske dipoler som har sitt opphav i elektronenes rundgang om atomene eller deres intrinsikke, kvantemekaniske spinn.

Ethvert system med lokaliserte, elektriske strømmer vil i store avstander se ut som en magnetisk dipol.

Magnetisk felt[rediger | rediger kilde]

Da det ikke finnes magnetisk monopoler, finnes det heller ikke noe magnetisk felt som tilsvarer Coulomb-feltet fra en elektrisk punktladning. Det mest elementære, magnetiske felt skyldes en magnetisk dipol og kan utledes fra Biot-Savarts lov.[1] For en stasjonær strømfordeling J(r) lar den det magnetiske vektorpotensialet beregnes fra integralet

Dette tilsvarer integralet for det elektriske potensialet fra en statisk ladningsfordeling ρ(r). Langt borte fra disse ladningene vil potensialet bli likt med Coulomb-potensialet. På samme måte kan det vises i magnetostatikken ved en multipolutvikling at når strømfordelingen er lokalisert innen et begrenset område rundt origo, kan det magnetiske vektorpotensialet i store avstander skrives som

hvor r = |r|  og

er det magnetiske momentet til strømfordelingen. I stedet for å betrakte dette resultatet som gyldig langt unna en makroskopisk, lokalisert strømfordeling, gir det like godt feltet i vilkårlig avstand fra en «punktdipol» uten utstrekning plassert i origo.

Hvis strømfordelingen skyldes en strøm I  som går rundt i en lukket sløyfe C, kan det magnetiske momentet for strømsløyfen finnes fra samme formel ved å erstatte faktoren d 3r ' J(r')  med Ids'  hvor det differensielle linjeelementet ds'  ligger langs sløyfen. Det gir

Herav følger det enkle resultatet m = IS hvor komponentene til vektoren S er arealene til projeksjonene av sløyfen C på de tre koordinatflatene.[2]

Dipolfeltet[rediger | rediger kilde]

Fra vektorpotensialet A følger det magnetiske induksjonsfeltet fra B =  × A. Det kan utregnes ved å bruke formelen fra vektoranalysen for curl til et kryssprodukt av to vektorer. Men for den magnetiske dipolen er m en konstant vektor og ⋅(r/r3) = 0 når r > 0. Derfor kommer det eneste bidraget fra derivasjonen

som gir det magnetiske dipolfeltet

hvor = r/r  er en enhetsvektor i radiell retning. Det er symmetrisk om retningen til dipolen gitt ved momentet m og avtar med avstanden i tredje potens.

De forskjellige komponentene til dipolfeltet kommer klarere frem i kulekoordinater med basisvektorer , og . Når m er plassert langs z-aksen i retning θ = 0, tar vektorpotensialet formen

og er konstant langs sirkler om z-aksen parallelle med xy-planet. Magnetfeltet utenfor dipolen tar da den tilsvarende formen

som viser mer tydelig at feltet er symmetrisk om z-aksen.[1] Det er også doppelt så sterkt langs denne aksen enn i et punkt i xy-planet og i samme avstand fra origo.

Indre magnetfelt[rediger | rediger kilde]

Magnetfeltet i sentrum r = 0 av dipolen kan beregnes ved å ta med ledd fra derivasjonen som

Det komplette feltet blir da[3]

Dette ekstra leddet karakteriserer dipolfeltet fra et magnetisk moment dannet av en mikroskopisk strømsløyfe. Hadde man i stedet tenkt seg dipolmomentet dannet av to motsatte, magnetiske ladninger på samme måte som for en elektrisk dipol, ville det resulterende magnetfeltet bli

Disse to resultatene er forbundet gjennom den vanlige relasjonen B = μ0(H + M) hvor M = mδ(r) er magnetiseringen til dipolen.

Atomkjerner har kvantemekanisk spinn og derfor også et magnetisk moment. Det tilhørende magnetfeltet gir en hyperfinsplitting av energinivåene til atomet som kan beregnes. Sammenligning med eksperimentelle målinger viser at det er feltet fra et dipolmoment beskrevet som en strømsløyfe, som gir den beste forklaring av denne effekten.[4]

Dipol i ytre felt[rediger | rediger kilde]

En magnetisk dipol i et ytre magnetfelt B = B(r)  vil virke på de elektriske strømmene som finnes i dipolen og beskrevet ved strømtettheten J = J(r). Under stasjonære forhold kan denne påvirkningen uttrykkes ved den magnetiske kraften

Hvis B-feltet er konstant og dipolstrømmene er lokaliserte, vil kraften bli null som kan vises ved å bruke B = 0.[3] Når feltet derimot varierer i rommet, kan man til laveste orden skrive B(r) = B + (r)B. Det resulterende integralet er av samme type som ofte opptrer i magnetostatikken og gir resultatet

hvor det magnetiske momentet m er lokalisert i origo. Dette resultatet tilsvarer kraften som virker på en elektrisk dipol i et inhomogent, elektrisk felt.

Mens denne kraften vil prøve å flytte dipolen, vil et konstant magnetfelt kunne dreie den. Det tilsvarende dreiemomentet kan beregnes fra det definerende integralet

som lar seg utregne ved de samme metodene. Man finner da

igjen i overensstemmelse med dette tilsvarende resultat for en elektrisk dipol. Dette betyr at formlene for både kraften og dreiemomentet for en magnetisk dipol er de samme uavhengig av om man beskriver dipolen som en elektrisk strømsløyfe eller sammensatt av to magnetike ladninger av motsatt fortegn.[1]

Potensiell energi[rediger | rediger kilde]

Størrelsen på dreiemomentet er T = mB sin θ når vinkelen som m danner med B, er θ. Det er derfor null i retningene θ = 0 og θ = π. For å dreie dipolen en vinkel θ, må man utføre arbeidet  ∫Tdθ = - mB cos θ. Dette kan identifiseres med den potensielle energien

Den er minimal når m peker i samme retning som B, og maksimal når de er motsatt rettet. I dette siste tilfellet er dreiemomentet null, men den minste forstyrrelse i denne posisjonen vil få dipolen til å dreie seg. Retningen θ = π er derfor en ustabil likevektsposisjon.

Hvis B = B(r), kan man fremdeles skrive

som den potensielle energien til dipolen i hvert punkt r  i det ytre feltet. Da vil den påvirkes av kraften F = - U som kan skrives som

når man benytter at m  er en konstant vektor og det ytre feltet oppfyller  × B = 0. Resultatet for kraften stemmer derfor overens med den tidligere utledningen.[3]

Kraften på en magnet med endelig utstrekning kan beregnes med utgangspunkt i samme formel. Har den en magnetisering M, vil et lite volumelement dV ha et magnetisk moment dm = MdV. I et ytre magnetfelt vil dette volumelementet bli påvirket av kraften dF = (dm)B. Den totale kraften som virker på magneten finnes så ved integrasjon,

Dette uttrykket kan også benyttes hvis man skal beregne kraften på et magnetisk materiale i et ytre felt B = μ0H. Er materialets respons til feltet lineær, vil det det få en magnetisering M = χH der χ er dets magnetiske susceptibilitet. For et ferromagnetisk materiale er denne sammenhengen i alminnelighet ikke så enkel.

Dipol-dipol vekselvirkning[rediger | rediger kilde]

Feltlinjer rundt to magnetiske dipoler som frastøter hverandre.

Vekselvirkningsenergien U12  mellom to punktdipoler m1 og m2 kan finnes ved å betrakte den ene i det ytre feltet skapt av den andre. Det gir med en gang

hvor nå r = r1 - r2  er vektoren som forbinder de to dipolene. Dette uttrykket er av praktisk betydning i atom- og molekylfysikk hvor de magnetiske momentene er proporsjonale med dreieimpulsen eller spinnet til partiklene.[5]

Den tilsvarende kraften mellom dipolene følger fra F12 = - U12. En detaljert utregning gir resultatet

som viser at kraften avtar med fjerde potens av avstanden mellom dipolene. Dens størrelse avhenger av deres relative orientering, og den er rettet langs r. Snus denne retningen, vil derfor kraften forandre fortegn slik at man har F12 = - F21. Newtons tredje lov om kraft og motkraft er derfor oppfylt i dette tilfellet.

Denne kraftloven er strengt tatt bare gyldig for punktdipoler. Har de endelig utstrekning, kan den resulterende kraften mellom dem alltid finnes fra den magnetiske delen av Maxwells spenningstensor. Den vil avhenge av det totale magnetfeltet skapt av begge dipolene. Det endelige resultatet for kraften må i dette tilfellet da vanligvis finnes ved numerisk integrasjon.

Geomagnetisk dipolfelt[rediger | rediger kilde]

Den jordmagnetiske dipolen peker bort fra magnetisk nord Nm som er litt forskjellig fra geografisk nord Ng.
SitatMagnus magnes ipse est globus terrestris. (Jordkloden self er en stor magnet.)Sitat
William Gilbert, De Magnete (1600)

Jordens magnetfelt ble tidlig utnyttet til navigasjon. Ved bruk av kompassnåler som kunne bevege seg både i det horisontale og vertikale planet, kartla man retningen til magnetfeltet i hvert punkt. Denne retningen blir angitt ved to vinkler som angir den horisontale, magnetiske deklinasjon og den vertikale, magnetiske inklinasjon. Det ble tidlig klart at disse verdiene varierte langsomt med tiden.

Resultatene av de første, vitenskapelige undersøkelsene av det geomagnetiske feltet ble samlet sammen i det store verket De Magnete av den engelske naturforskeren William Gilbert i 1600. Han viste at Jorden selv er en stor magnet med den magnetiske sydpolen i nærheten av den geografiske nordpolen og omvendt for den magnetiske nordpolen. Senere arbeid av Edmond Halley, Alexander Humboldt og Carl Friedrich Gauss gjorde det klart at magnetfeltet kunne med god tilnærmelse beskrives som forårsaket av en magnetisk dipol i Jordens sentrum.[6] Vinkelen mellom dipolens akse og Jordens rotasjonsakse er for tiden rundt 11°. Styrken av dette magnetfelt på Jordens overflate på våre breddegrader er omtrent |B| = 0.5 gauss som tilsvarer et magnetisk moment med størrelse |m| = 8×1022  A·m2.[3]

Antar man at magnetfeltet B er et rent dipolfelt, kan dets inklinasjon eller «dippevinkel» β finnes direkte fra

hvor nå θ er observatørens polarvinkel eller elevasjon målt fra den magnetiske aksen. Denne kan også uttrykkes ved observatørens breddegrad φ som θ = π /2 - φ - α der α er vinkelen mellom de to aksene. Dermed er dippevinkelen gitt som

i denne forenklete beskrivelsen av Jordens magnetfelt. Vinkelen blir da 90° ved den magnetiske nordpolen. En kompassnål der vil peke rett nedover mot Jordens sentrum.

Magnetisk dipolstråling[rediger | rediger kilde]

Når det magnetiske dipolmomentet varierer med tiden, er dets magnetfelt ikke lenger konstant. Fra Faradays induksjonslov vil dermed et elektrisk felt bli skapt med det resultat at elektromagnetisk stråling blir utsendt. Dette kalles for magnetisk dipolstråling og tilsvarer elektrisk dipolstråling fra et elektrisk dipolmoment som varierer med tiden.

Utstråling fra en strømfordeling J = J(r,t)  som varierer med tiden, kan beregnes i klassisk elektrodynamikk ved bruk av «retarderte potensial» som tar hensyn til at enhver elektromagnetiske vekselvirkning forplanter seg med lyshastigheten c. Ved å bruke Lorenz-gauge, er da det magnetiske vektorpotensialet gitt ved integralet

hvor nå t'  = t - |r - r'|/c  er den retarderte tiden. Hvis man betrakter en liten, sirkulær strømsløyfe med radius a som ligger i xy-planet og som fører strømmen , vil den ha et magnetisk moment med . Dens bidrag til vektorpotensialet kan finnes ved å forandre integranden som hvor det infinitesemale linjeelementet ds'  ligger langs ledningen som utgjør strømsløyfen. I et feltpunkt r  som ligger så langt fra sløyfen at r >> λ >> a hvor λ = 2πc/ω er bølgelengden til den utsendte strålingen, blir da vektorpotensialet[1]

som beskriver en utgående, sfærisk bølge. Det tilsvarende elektriske feltet E = - A/∂t  blir

mens det magnetiske feltet B =  × A  tar formen

Den utstrålte energien i romvinkelelementet dΩ  definert ved vinklene (θ, φ)  følger fra Poyntings vektor som gir

etter å ha midlet over tiden. Strålingen er sterkest i retninger normalt på z-aksen som følger fra faktoren sin2θ og er typisk både for elektrisk og magnetisk dipolstråling.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b c d D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
  2. ^ J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).
  3. ^ a b c d A. Zangwill, Modern Electrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.
  4. ^ D.J. Griffiths, Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen, American Journal of Physics, 50 (8), 698 - 703 (1982).
  5. ^ R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, John Wiley & Sons, New York (1985). ISBN 0-471-87373-X.
  6. ^ R.T. Merrill and M.W. McElhinny, The Earth's Magnetic Field – Its History, Origin and Planetary Perspective, Academic Press Inc., London (1983). ISBN 0-12-491240-0.