Materiebølger

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra De Broglie-bølgelengde)
Hopp til: navigasjon, søk
Louis de Broglie viste at en bølgepakke kan beskrive en materiell partikkel.

Med materiebølger forstår man vanligvis i dag en bølge som oppfyller Schrödinger-ligningen og som beskriver hvordan en kvantemekanisk partikkel beveger seg og vekselvirker med omgivelsene. Disse bølgene ble først foreslått i 1924 av den franske fysiker Louis de Broglie. Hans utgangspunkt var Einsteins beskrivelse av lysbølger som bestående av fotoner samt den spesielle relativitetsteorien for hvordan en partikkels energi og impuls henger sammmen.

Den østerrikske fysiker Erwin Schrödinger fant i 1926 den riktige bølgeligningen for ikke-relativistiske partikler. Amplituden Ψ(x,t) til bølgen er et kompleks tall. Kort tid etterpå viste den tyske fysiker Max Born at produktet Ψ*Ψ gir sannsynligheten for å finne partikkelen i punktet x ved tiden t. For den danske fysiker Niels Bohr var denne bølge-partikkel-dualiteten av stor betydning for hans forståelse av kvantemekaniske fenomen.

Allerede i 1927 ble bølgeegenskapene til elektronet ved en tilfeldighet bekreftet av de amerikanske fysikerne Clinton Davisson og Lester Germer i et berømt eksperiment. Uavhengig av dem ble dette også gjort av den engelske fysiker George Thomson. Han var sønn av J.J. Thomson som oppdaget elektronet i 1897. Louis de Broglie fikk Nobelprisen i fysikk i 1929 for sin idé om materiebølger som la grunnlaget for kvantemekanikken. Davisson og Thomson delte Nobel-prisen i fysikk i 1937 for å ha vist at elektronet hadde nøyaktig de bølgeegenskapene som var forutsagt av de Broglie. Siden er dette eksperimentelt verifisert for mange andre partikler, atomer og molekyler.

Denne beskrivelsen av materielle partikler som bølger er i dag en integrert del av moderne kvantemekanikk og omtales ofte som bølgemekanikk. Også relativistiske partikler kan beskrives slik. Massive partikler uten spinn er beskrevet ved Klein-Gordon-ligningen, mens elektronet og andre partikler med spinn S = 1/2 er beskrevet ved Dirac-ligningen.

Partikler som bølgepakker[rediger | rediger kilde]

Allerede i 1905 hadde Albert Einstein foreslått at energien i en lysbølge med frekvens ν er konsentrert i små kvant med energi E = hν hvor h er Plancks konstant. Dette forklarte egenskaper ved den fotoelektriske effekt, og han ble for dette belønnet med Nobelprisen i fysikk i 1921. På den tiden var det klart at disse kvantene måtte betraktes som vanlige partikler da de også hadde en veldefinert impuls p = h/λ hvor λ = c/ν er bølgelengden til lyset. Disse lyspartiklene kalles i dag for fotoner.

Inspirert av likheten mellom Fermats prinsipp for lysets gang i geometrisk optikk og Maupertuis' prinsipp for partiklers bevegelse, presenterte den franske fysiker Louis de Broglie i sitt doktorgradsarbeid i 1923 en ny teori for materielle partikler. De skulle kunne beskrives som bølger med en viss frekvens og bølgelengde avhengig av energi og impuls på samme måte som for fotonet, det vil si ν = E/h og λ = h/p. Dette begrunnet han også ut fra Einstein spesielle relativitetsteori som skulle gjelde for alle partikler.

Utfra disse to fundamentale postulatene for materiebølgene følger med en gang at deres fasehastighet er u = νλ = E/p. Dette tilsvarer lyshastigheten for fotonet og er hastigheten for hvor raskt en bølgefront brer seg utover. Har partikkelen en masse m og beveger seg med hastighet v, så vil den i allminnelighet ha energien E = γmc2 og impulsen p = γmv hvor γ = 1/√(1 - v2/c2) er den berømte Lorentz-faktoren. Fasehastigheten for materiebølgene blir dermed u = c2/v og er i allminnelighet større enn hastigheten v til selve partikkelen. Er denne lik null, er fasehastigheten uendelig stor. Noe lignende hadde Hamilton observert nesten hundre år tidligere i sine studier av sammenhengen mellom geometrisk optikk og klassisk mekanikk.

Gruppehastighet[rediger | rediger kilde]

Materiebølgene som de Broglie foreslo, skulle være like fysiske som elektromagnetiske bølger for fotonet. En materiell partikkel var i virkeligheten konsentret bølgeenergi i form av en bølgepakke som er en konsentret gruppe av harmoniske bølger. Denne pakken beveger seg med «gruppehastigheten» vg = dω/dk hvor ω = 2πν er vinkelfrekvensen og k = 2π/λ er bølgetallet. Uttrykt ved disse størrelsene er derfor energien til bølgepakken/partikkelen E = ħω og impulsen p = ħk hvor ħ = h/2π er den reduserte Planck-konstanten. Samtidig kan nå gruppehastigheten skrives som vg = dE/dp og er gitt ved partikkelens energi og impuls.

For en relativistisk partikkel kan man kombinere ligningene for energi og impuls til å gi at

Derfor er EdE = c2pdp slik at gruppehastigheten blir vg = dE/dp = c2p/E = v. Og det er akkurat partikkelens fysiske hastighet. Dette gjelder også for en ikke-relativistisk partikkel som har hastighet v << c. Den har energien

og dermed igjen samme gruppehastighet vg = p/m = v. Beskrivelsen til de Broglie skulle derfor være gyldig både for partikler med relativistiske og ikke-relativistiske hastigheter. Men han hadde ingen bølgeligning som kunne gi en beskrivelse av materielle partikler i overensstemmelse med disse idéene.

Bølgeligninger[rediger | rediger kilde]

Idéene til de Broglie vakte stor interesse. Den østerrikske fysiker Erwin Schrödinger var også opptatt av muligheten for at klassisk mekanikk kunne være en slags approksimasjon til en underliggende bølgemekanikk. En slik mulig sammenheng ble mer tydelig i Hamiltons reformulering av Lagrange-mekanikken. Men allerede Maupertuis hadde mer enn hundre år tidligere utledet sitt virkningsprinsipp for partikler inspirert av Fermats prinsipp for lys. Matematisk var nå dette sammenfattet i Hamilton-Jacobi-ligningen som Schrödinger gjorde bruk av.

Schrödinger-ligningen[rediger | rediger kilde]

I stedet for å benytte Hamilton-Jacobi-ligningen for partikler, kan Schrödingers utledning ta utgangspunkt i den vanlige

bølgeligningen for amplituden Ψ(x,t) hvor fasehastigheten u = E/p følger fra de Broglie sine betraktninger. Denne hastigheten opptrer også i vanlig Hamilton-mekanikk. En partikkel med en gitt energi E skal også ha en gitt frekvens ω = E/ħ som postulert av de Broglie. Bølgeamplituden vil derfor variere med tiden som

hvor i = √(-1) er den imaginær enhet og ψ(x) er den «stasjonære bølgefunksjonen». Innsatt i bølgeligningen, vil denne derfor måtte tilfredsstille differensialligningen  2ψ + (p/ħ)2ψ = 0. Så snart man kjenner impulsen p til partikkelen, kan denne løses på vanlig vis.

For en ikke-relativistisk partikkel som beveger seg i et statisk potensial V(x) er impulsen gitt ved p2 = 2m(E - V) slik at differensialligningen kan omskrives på formen

Dette er bølgeligningen til Schrödinger han kom frem til i 1926. Kort tid etterpå viste han at den ga de riktige energiene for energinivåene i hydrogenatomet.

Klein-Gordon-ligningen[rediger | rediger kilde]

For en relativistisk partikkel følger impulsen fra p2 = (E-V) 2/c2 - m2c2. Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

Denne ligningen fant også Schrödinger, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene i H-atomet. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene av spinnet til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen av Dirac-ligningen.

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialet V = 0. Da energien kan uttrykkes ved den tidsavhengige bølgefunksjonen som E = iħ∂ Ψ/∂ t, tar den relativistiske ligningen formen

Den ble etterhvert kalt for Klein-Gordon-ligningen etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengden λC = ħ/mc som er den reduserte Compton-bølgelengden for partikkelen. Ved bruk av kovariant notasjon, kan man skrive denne bølgeligningen som (∂ μμ + (mc/ħ)2)Ψ = 0 hvor den kovariante deriverte er μ = ∂ /∂ xμ = (∂ /∂ ct, ). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant under Lorentz-transformasjoner som alle relativistiske bølgeligninger må være.

Kvantefeltteori[rediger | rediger kilde]

Materiebølgene som de Broglie hadde forseslått, var opprinnelig ment å være fysiske bølger som skulle erstatte det gamle bildet av partikler som små, harde kuler. Schrödinger hadde også den første tiden et slikt håp. Hver partikkel skulle kunne beskrives med sin bølge. Kvadratet av bølgefunksjonen skulle være et uttrykk for tettheten av energi/masse i et punkt i rommet på samme måte som kvadratet av det elektriske feltet gir den elektriske energitettheten i rommet.

Men allerede på slutten av året 1926 var det klart at dette klassiske bølgebildet ikke kunne være riktig. Max Born foreslo at den komplekse bølgefunksjonen Ψ(x,t) er en sannsynlighetsamplitude hvor Ψ*Ψ er sannsynligheten for å finne partikkelen i punktet x ved tiden t. Med mange partikler finnes det tilsvarende en sannsynlighetsamplitude Ψ(x1, x2, x3, ...,t) som beskriver alle partiklene. Og denne ene funksjonen har i allminnelighet lite å gjøre med en vanlig bølgebeskrivelse i vårt 3-dimensjonale rom. Den oppfyller den generelle Schrödinger-ligningen og tar komplekse verdier i et multidimensjonalt Hilbert-rom. Moderne kvantemekanikk var blitt etablert.

Parallelt med denne økende innsikten, oppsto det langsomt en dypere forståelse av selve partikkelbegrepet som på mange måter er i tråd med materiebølgene til de Broglie og Schrödinger. Hver partikkel kan beskrives ved et klassisk felt Φ(x,t). Når dette kvantiseres ved bruk av kvantemekanikken, vil kvantene til feltet være den tilsvarende partikkelen. Dette er innholdet i moderne kvantefeltteori. Hvert felt oppfyller sin egen feltligning som er en bølgeligning. Maxwells ligninger er de klassiske feltligningene for fotonet, Dirac-ligningen er feltligningen for elektronet og andre fermioner med spinn S = 1/2, mens Klein-Gordon-ligningen beskriver Higgs-partikkelen og andre partikler uten spinn. De tilsvarende feltfunksjonene kan nå betraktes som en slags materiebølger. Men til forskjell fra de opprinnelige idéene til de Broglie og Schrödinger, så er det nå kun ett felt for alle partikler av samme sort. For eksempel beskriver Dirac-feltet alle elektroner - og deres antipartikler positronene - i hele Universet. Det er derfor alle elektroner er like, uansett hvor de finnes.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • M. Born, Atomic Physics, Blackie & Son, Glasgow (1935).
  • E. Hylleraas, Matematisk og Teoretisk Fysikk, Vol. IV: Atomteori, Grøndahl & Søns Forlag, Oslo (1952).
  • A. Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]