Harmonisk oscillator

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Harmonisk pendel, der farten V og akselerasjonen A er illustrert med vektorer.

En harmonisk oscillator i fysikken karakteriseres av en størrelse som svinger (oscillerer) omkring sin likevektsposisjon, f.eks. et svingende lodd hengende i en fjær eller en pendel som går frem og tilbake. En ren, matematisk, harmonisk oscillator vil svinge med sinusform for all tid med en gitt frekvens og utslag (amplitude). I praksis er passive fysiske oscillatorer dempede, dvs. at utslagene blir mindre og mindre til de dør ut. Aktive oscillatorer (der energi tilføres) svinger til energitilførselen stopper. Se Resonator og Andreordens dynamisk system.

Teori[rediger | rediger kilde]

Harmoniske oscillatorer er ekstremt viktige siden de kan brukes til å beskrive de fleste typer svingninger omkring likevektsposisjoner, ikke bare mekaniske, men også f. eks. elektriske svingninger i elektroniske kretser, eller gittersvingningene til atomene i en krystall. Rene harmoniske oscillatorer finnes dog ikke, slik at den rene harmoniske oscillatoren alltid vil være en tilnærmelse. Svingningene for en ren oscillator er alltid sinusformede.

I kvantemekanikken er harmoniske oscillatorer også meget sentrale, se kvantemekanisk harmonisk oscillator.

Matematisk formulering[rediger | rediger kilde]

La oss tenke oss en punktpartikkel med tidsavhengig posisjon x(t) og masse m koplet på en fjær med fjærkonstant k. I følge Hookes lov føler partikkelen da en kraft

F=-kx(t) \,

dvs. kraften har alltid motsatt fortegn av x og prøver å trekke partikkelen mot origo. Newtons andre lov gir følgende differensialligning

m\frac{d^2 x(t)}{dt^2}=-kx(t)

Løsningen av denne likningen kan skrives på flere måter, f. eks.

x(t)=A~\cos(\omega t + \phi)

med vinkelfrekvens ω = √(k/m), amplitude A og fasefaktor φ. Fasefaktoren forteller i hvilken posisjon den starter i og amplituden er maksimalt utslag. For en fjær som trekkes og slippes ved tiden t = 0, er φ = 0 og A er posisjonen den slippes fra.

Vinkelfrekvensen ω sier at oscillatoren svinger fortere hvis massen blir mindre eller fjærkonstanten større.

Den kinetiske energien til systemet er

E_k=\frac{1}{2}m\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2
= \frac{1}{2}kA^2\sin^2(\omega t+\phi)

Tilsvarende for den potensielle energien

E_p=\frac{1}{2}kx^2(t)
= \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t+\phi)

Summen gir

 E=E_k + E_p = \frac{1}{2}kA^2 \,

og den totale mekaniske energien er bevart. Den totale energien avhenger av amplituden og fjærkonstanten k, men er uavhengig av massen og fasefaktoren.

Anvendelser[rediger | rediger kilde]

Den harmoniske oscillatoren er et viktig eksempel i fysikkundervisning, siden likningene er forholdsvis lett håndterlige, gir en forståelse for oscillasjoner og kan relateres til hverdagslige fenomener.

Spenningen i det norske strømnettet er ett eksempel på en størrelse som oscillerer harmonisk. Amplituden er på cirka 320 volt (med en effektivverdi av 230 volt), og frekvensen er 50 Hz. Gamle pendelur gjør seg bruk av det faktum at svingeperioden til pendelen er essensielt uavhengig av utslaget, så lenge utslaget er lite. Dette gjør at en klokke-eier slipper å tenke på hvor mye han eller hun trekker pendelen ut til sida.