Bevegelsesmengde

Bevarelse av impuls i en uelastisk kollisjon.

Bevegelsesmengde eller impuls er en størrelse av grunnleggende betydning i alle grener av moderne fysikk. Dens viktigste egenskap er at et system av én eller flere partikler som ikke er utsatt for ytre krefter, vil ha en total impuls som er konstant. Dette er en direkte konsekvens av Newtons andre lov, men gjelder mer generelt.

For en fri partikkel med masse m  som beveger seg med hastighet v, er impuls i klassisk mekanikk definert som

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

Det er denne definisjonen som ligger bak betegnelsen «bevegelsesmengde». Men impuls kan defineres mer generelt i Lagrange-mekanikk. På det viset kan også masseløse partikler som fotoner ha en impuls når de beskrives ved kvantemekanikk. Disse partiklene beveger seg med lyshastigheten og har derfor egenskaper som følger fra den spesielle relativitetsteorien. Det gjelder også for andre partikler med så store hastigheter. På samme måte som tid og rom da forenes i et firedimensjonalt tidrom, går også impuls og energi sammen i en større enhet som kalles fireimpuls. Det er den som benyttes ved utforskning av høyenergetiske kollisjoner mellom elementærpartikler.

Betegnelse

Begrepet «impuls» kan føres tilbake til Newton og hans verk Principia. Det ble da brukt både for det som her kalles impuls, men også for begrepet kraftimpuls. Disse to betegnelsene er tett forbundet da en viss kraftimpuls er det samme som en forandring av impulsen. I engelsk faglitteratur omtales nå kraftimpuls som impulse, mens den norske impulsen kalles momentum på engelsk.

Tidligere ble kraftimpuls på norsk vanligvis kalt for impuls. For å skille disse to begrepene ble det derfor innført nye navn som for eksempel bevegelsesmengde for denne størrelsen. I dag benyttes den fremdeles, men i mindre grad. Allerede i 1943 ble denne betegnelsen omtalt som gammeldags i en kjent lærebok i fysikk for gymnasiet. Også mer spesielle navn som «massefart» og «driv» har vært benyttet uten at det har fått noen utbredelse. Mest vanlig i dag er å bruke impuls som blant annet gjennomført i Hemmers lærebøker på universitetsnivå. Dette er også i overensstemmelse med navnet til den relaterte størrelsen dreieimpuls.

Ikke-relativistisk impuls

Bevegelsen til alle partikler med hastigheter langt under lyshastigheten er beskrevet ved Newtons lover. En partikkel med posisjon r = r(t ) som varierer med tiden, har en hastighet v = d r/dt som bestemt av Newtons andre kov F = m d v/dt når den er påvirket av en kraft F. Ved å innføre impulsen p = m v, kan den skrives på formen

$\mathbf {F} ={d\mathbf {p} \over dt}$

som er mest anvendelig. Den gjelder for eksempel også for fremdriften av raketter med masser som avtar under bevegelsen. Vanligvis er massen konstant som betyr at når F = 0 vil partikkelen bevege seg med konstant impuls og hastighet. Dette er innholdet av Newtons første lov.

Massesenteret til mann, båt og steiner ligger i ro fordi ingen ytre krefter virker. Den totale impulsen forblir null.

En gjenstand eller større legeme består av et stort antall mindre partikler. Hver av dem vil ha impulsen p_i  = m_i d r_i /dt  slik at den totale impulsen til legemet er

${\begin{aligned}\mathbf {P} &=\sum _{i}m_{i}{d\mathbf {r} _{i} \over dt}={d \over dt}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}\\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}$

Her er M = m₁ + m₂ + ... den totale massen til gjenstanden og V = d R/dt er hastighten til dens massesenter

$\mathbf {R} ={1 \over M}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

Den er igjen bestemt av Newtons andre lov som nå tar formen

${d\mathbf {P} \over dt}=M{d\mathbf {V} \over dt}=\mathbf {F}$

hvor nå kraften F er summen av alle kreftene som virker på gjenstanden. Når disse er null, vil derfor massesenteret bevege seg med konstant hastighet. Dette er en direkte konsekvens av impulssatsen.

Kollisjoner

Ved en kollisjon mellom to partikler eller gjenstander, er deres totale impuls den samme før og etter at de treffer hverandre hvis det ikke virker andre, ytre krefter på dem. Vanligvis vil én eller begge gjenstandene bli deformert i prosessen og noe av deres opprinnelige kinetiske energi vil gå tapt ved at den går over til friksjonsarbeid eller varme. Det er i så fall en «uelastisk» kollisjon eller støt. I motsatt fall vil prosessen være elastisk og den opprinnelige energien gjenfinnes som kinetisk energi etter kollisjonen.

Elastisk kollisjon mellom to ulike partikler.

Når ingen ytre krefter virker på partiklene, er deres totale impuls før og etter kollisjonen den samme,

$m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{1}\mathbf {v} '_{1}+m_{2}\mathbf {v} '_{2}$

Hvis i tillegg kollisjonen er elastisk, er også den kinetiske energien bevart

${1 \over 2}m_{1}\mathbf {v} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {v} _{2}^{2}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {v'} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {v'} _{2}^{2}$

I alt har man dermed fire ligninger for de seks ukjente komponentene til hastighetene v'₁ og v'₂ etter kollisjonen. De lar seg i allminnelighet ikke løse med mindre man har tilleggsinformasjon om prosessen. Hvis for eksempel den foregår langs en rett linje, har man bare to ukjente størrelser å bestemme fra to ligningene. Dette er illustrert for tilfellet m₁ = 2m, v₁ = v og m₂ = m, v₂ = -v. Da finner man v '₁ = -v/3 og v '₂ = 5v/3.

Elastisk kollisjon mellom to sirkulære mynter.

Ved en elastisk kollisjon mellom to større gjenstander, vil det være egenskaper ved materialene de består av eller deres utforming, som bestemmer deres retninger etter sammenstøtet. Er gjenstandene for eksempel helt sfæriske som biljardkuler, vil retningen til tangentplanet mellom dem når de møtes, bestemme retningen til kulene etter kollisjonen. Når denne er kjent, kan hastighetene finnes fra impulsbevarelse.

Alternativt kunne man kjenne kraften som virker mellom partiklene når de møtes. Et kjent eksempel er beregningen til Rutherford i 1911 da han fant spredningsvinkelen for kollisjon mellom en alfapartikkel og en elektrisk ladet atomkjerne ved å ta hensyn til Coulomb-kraften som frastøter dem ved korte avstander. Kollisjonen kan da beskrives som en ubunden Kepler-bevegelse der partiklene følger baner som er hyperbler.

Lagrange-mekanikk

Mekanikkens lover har utviklet seg mye siden Newtons tid på slutten av 1600-årstallet. En mer generell formulering ble funnet omtrent hundre år siden i form av forskjellige virkningsprinsipp. Det mest generelle av disse er Hamiltons virkningsprinsipp der virkningen til et vilkårlig system er bestemt av dets Lagrange-funksjon. I det enkleste tilfelle er denne en funksjon av en posisjonskoordinat q = q(t ) og dens variasjon med tiden t,

$L=L(q,{\dot {q}},t)$

Bevegelsesligningen har den generelle formen

${\partial L \over \partial q}={d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}}$

hvor

$p={\partial L \over \partial {\dot {q}}}$

er den konjugerte impulsen til koordinaten q. Herav kan man finne Hamilton-funksjonen til systemet fra

$H={\dot {q}}p-L$

Når Lagrange-funksjonen ikke avhenger eksplisitt av tiden t, er denne nye funksjonen en konstant under bevegelsen og kan identifiseres med systemets energi.

Sentralsymmetrisk potensial

Denne kanoniske ormuleringen av mekanikken gjelder uansett hvilke koordinater man velger for å beskrive bevegelsen. Når man har én partikkel som er påvirket av et sentralsymmetrisk potensial U (r ), er det mest naturlig å benytte polarkoordinater (r, φ) i planet hvor den bevger seg. Da kvadratet av hastigheten v = d r/dt nå er v² = (dr/dt)² + r²(dφ/dt)², blir Lagrange-funksjonen

$L={m \over 2}{\big (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}{\big )}-U(r)$

Den konjugerte impulsen i r-retning er dermed

$p_{r}={\partial L \over \partial {\dot {r}}}=m{\dot {r}}$

slik at den gir bevegelsesligningen

$m{\ddot {r}}=-{\partial U \over \partial r}$

Dette er Newtons andre lov i denne retningen da den radielle kraften fra potensialet opptrer på høyre side. I tillegg har man den konjugerte impulsen i den angulære retningen,

$p_{\phi }={\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}=mr^{2}{\dot {\phi }}$

som kan identifiseres med dreieimpulsen til partikkelen. Den er konstant da Lagrange-funksjonen er uavhengig av denne koordinaten. Dette er eksempel på et generelt prinsipp som gjør bruk av konjugerte impulser så viktig.

Elektrisk ladet partikkel i magnetfelt

Et godt eksempel på bruk av denne generelle definisjonen av impuls fremkommer for en partikkel med elektrisk ladning e  som befinner seg i et magnetfelt, Dette er gitt som B = ∇ × A da det alltid kan uttrykkes ved et magnetisk vektorpotensial A = A(r). Systemets Lagrange-funksjon tar dermed den enkle formen

$L={1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}+e\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$

hvor hastigheten til partikkelen er v = d r/dt = ${\dot {\mathbf {r} }}.$ Dens konjugerte impuls er derfor

$\mathbf {p} ={\partial L \over \partial {\dot {\mathbf {r} }}}=m\mathbf {v} +e\mathbf {A}$

Bevegelsesligningen blir på tilsvarende vis

$m{d\mathbf {v} \over dt}=e\mathbf {v} \times \mathbf {B} .$

hvor på høyre side opptrer som forventet den magnetiske Lorentz-kraften som virker på partikkelens ladning.

Den fysiske forklaringen på at vektorpotensialet bidrar så direkte til partikkelens impuls, kan sannsynliggjøres ved den kraftimpuls som tilføres når magnetfeltet blir skrudd på. Da varierer dette feltet med tiden, og det oppstår et samtidig, elektrisk felt E = - ∂A/∂t. Det resulterer i en kraft e E(t ) som gir impulsen e A til partikkelen. Likedan må man ta hensyn til at en ladet partikkel i bevegelse skaper sitt eget, elektromagnetiske felt som også har en impuls.

Elektromagnetisk impuls

Fra Maxwells ligninger for elektromagnetiske felt E og B følger at de kan tilskrives en impulstetthet

$\mathbf {G} =\mathbf {D} \times \mathbf {B}$

Her er D = ε₀E det elektriske polarisasjonsfeltet og ε₀ er den elektriske konstanten i vakuum. Denne tettheten kan også uttrykkes ved Poyntings vektor som G = S/c² hvor c  er lyshastigheten. Det er denne impulsen som blant annet kan forklare strålingstrykket som en elektromagnetisk bølge utøver på en gjenstand.

Det elektromagnetiske feltet kan også kvantiseres og beskrives ved fotoner. Når de tilsvarende feltene har frekvens ν, vil hvert foton ha energien E = hν  der h  er Plancks konstant. Men også deres impuls kan beregnes i denne utvidelsen av den klassiske teorien. Hvis feltene befinner seg i et volum V, vil de en total, elektromagnetisk impuls

$\mathbf {P} =\int _{V}d^{3}x\,\mathbf {D} \times \mathbf {B} =\sum _{\mathbf {k} }n_{\mathbf {k} }\hbar \mathbf {k}$

hvor n_k er antall fotoner med bølgetall k og ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten. Dette resultatet viser at hvert foton også har en impuls p = ħ k med størrelse p = h/λ  når den uttrykkes ved bølgelengden λ = c /ν. Nøyaktig av denne grunn er det riktig å omtale fotonet som en partikkel da det har både en energi og en impuls. Størrelsene av disse er slik at dets masse må være null.

Relativistisk impuls

En fri partikkel som beveger seg så raskt at dens hastighet nærmer seg lyshastigheten, må beskrives i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. For en bevegelse mellom to punkt 1 og 2 i det firedimensjonale tidrommet må dens virkning S  være gitt den lengden av verdenslinjen mellom disse to punktene,

$S=-mc\int _{1}^{2}ds$

hvor det invariante linjeelementet er gitt ved

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} ^{2}=c^{2}dt^{2}(1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2})$

Prefaktoren -mc  har denne verdien fordi at virkningen må ha den korrekte verdien i den ikke-relativistiske grensen.

Denne virkningen betyr at Lagrange-funksjonen for en partikkel med en vilkårlig hastighet er

$L=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

Herav følger nå den konjugerte impulsen p = ∂L/∂ v som blir

$\mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Dermed er partikkelens totale energi

$E=\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} -L={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

som inneholder restenergien E₀ = mc² når den er helt i ro. Det betyr at energi og impuls nå er knyttet sammen ved ligningen

$E^{2}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$

Sammen utgjør de komponentene til partikkelens 4-impuls. For et foton er E = hv og p = h/λ  som derfor betyr at dets relativistiske masse er lik null.

Se også

• Newtons lover
• Kraftimpuls
• Dreieimpuls