Linje

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Den røde og den blå linja i denne grafen har det samme stigningstallet, mens den røde og den grønne linja har det samme konstantleddet (krysser y-aksen i det samme punktet).
En representasjon av et linjestykke.
Se også linje (mål)

Begrepet linje ble introdusert av oltidens matematikere til å representere rette objekter med ubetydelig bredde og dybde. Linjer er en idealisering av et slike objekter. Vanligvis brukes ordet kun i betydningen rett linje, slik som her. En kurvet linje kalles gjerne bare en kurve.

En linje er en kontinuerlig rekke med punkter som kan være vannrett, loddrett eller diagonal. Den er entydig bestemt utifra enten to punkter eller et punkt og en vektor.

Per definisjon er en linje uendelig. Hvis den er begrenset av to punkter i hver ende, kalles det et linjestykke. Hvis den kun er begrenset av et punkt i den ene enden og går mot uendelig i den andre, kalles det en stråle.

Stråle[rediger | rediger kilde]

En stråle er en del av en linje som er avgrenset av et punkt i den ene enden og er uavgrenset i den andre. Gitt en linje og et vilkårlig punkt A på linja, kan vi se på det som at A deler opp linja i to stråler. Punktet A ses vanligvis på som en del av strålen.

En stråle kan bestemmes entydig av to punkter A og B, der strålen starter i A, går gjennom B og går så mot det uendelige.

Linjer i det kartesiske planet[rediger | rediger kilde]

Linjer i et kartesisk plan kan beskrives algebraisk med lineære likninger. Likningen for en ikke-vertikal linje i to dimensjoner er ofte gitt på denne formen:

y = mx + b,\,

der:

m er stigningstallet til linja
b er konstantleddet til linja, altså der linja skjærer y-aksen
x er den uavhengige variabelen i funksjonen y = f(x)

Stigningstallet til en linje som går gjennom punktene A(xa, ya) og B(xb, yb) der xaxb, er gitt som m = (yb − ya)/(xb − xa). Likningen for denne linja kan skrives y = m(xxa) + ya.

Linjer i rommet kan ikke oppgis med en enkelt likning. I stedet beskrives de ofte med parameterframstillinger, med likninger for x-, y- og z-verdiene til linja hver for seg med en t som variabel:

 x = x_0 + at \,
 y = y_0 + bt \,
 z = z_0 + ct \,

hvor:

x, y og z er alle funksjoner av den uavhengige variabelen t hvis definisjonsmengde er alle reelle tall.
(x0, y0, z0) er et vilkårlig punkt på linja.
a, b og c danner en retningsvektoren [a, b, c] som er parallell med linja.

Denne måten å definere en linje på kan også gjøres for linjer i planet.

Alternativ kan en linje i rommet defineres som skjæringslinja mellom to plan, og oppgis som et lineært ligningssystem med to likninger med tre variabler:

\begin{alignat}{2}
a_1 x & + b_1 y& \; + \; c_1 z & + d_1 = 0 \\
a_2 x& + b_2 y& \;+ \; c_2 z & + d_2 = 0 \\
\end{alignat}

hvor x, y og z er uavhengige variabler og hver likning definerer hvert sitt plan.

Se også[rediger | rediger kilde]