Linje

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Den røde og den blå linja i denne grafen har det samme stigningstallet, mens den røde og den grønne linja har det samme konstantleddet (krysser y-aksen i det samme punktet).
En representasjon av et linjestykke.
Se også linje (mål)

Begrepet linje ble introdusert av oltidens matematikere til å representere rette objekter med ubetydelig bredde og dybde. Linjer er en idealisering av et slike objekter og ble klart definert i Euklids Elementer. Vanligvis brukes ordet kun i betydningen rett linje, slik som her. En kurvet linje kalles gjerne bare en kurve.

En linje er en kontinuerlig rekke med punkter som kan være vannrett, loddrett eller diagonal. Den er entydig bestemt utifra enten to punkter eller et punkt og en vektor. Linjer finnes i alle geometrier som i Euklidsk rom eller i Minkowski-rom for relativitetsteorien. Generelt kan de beskrives i affine rom. I ikke-euklidsk rom erstattes de av geodetiske kurver.

Per definisjon er en linje uendelig. Hvis den er begrenset av to punkter i hver ende, kalles det et linjestykke. Hvis den kun er begrenset av et punkt i den ene enden og går mot uendelig i den andre, kalles det en stråle.

Stråle[rediger | rediger kilde]

En stråle er en del av en linje som er avgrenset av et punkt i den ene enden og er uavgrenset i den andre. Gitt en linje og et vilkårlig punkt A på linja, kan vi se på det som at A deler opp linja i to stråler. Punktet A ses vanligvis på som en del av strålen.

En stråle kan bestemmes entydig av to punkter A og B der strålen starter i A og går gjennom B. Et punkt P på linjen i et generelt, affint rom kan da skrives som

 P = (1 - t)A + tB

hvor t er en kontinuerlig parameter. For t = 0  blir P = A  og for t = 1  er P = B. Ved å la t > 1  finner man da punkter på strålen utenfor B, mens for t < 0  fremkommer punkt utenfor A.

Velger man et punkt O som origo i dette rommet, blir ligningen for denne strålen

 \mathbf{r} = (1 - t) \mathbf{r}_A  + t \mathbf{r}_B

hvor r = P - O er posisjonsvektoren til punktet P på samme måte som rA = A - O  og rB = B - O  er posisjonsvektorene til de to, gitte punktene.

Innfører man vektoren v = B - A  som forbinder punktene A og B, kan ligningen skrives på den mer vanlige formen r = rA + v t. Den beskriver en stråle som starter i punktet A  og peker i retning v. Den er gyldig uansett hva dimensjonen til rommet er.

Linjer i det kartesiske planet[rediger | rediger kilde]

Linjer i et kartesisk plan kan beskrives algebraisk som en lineær ligning,

 ax + by + c = 0

hvor konstantene a, b og c inneholder informasjon om dens retning og beliggenhet i planet. Hvis b ≠ 0, er linjen ikke parallell med y-aksen og den kan da forenkles til

 y = kx + l

Her er k = - a/b  stigningstallet til linjen, mens l = - c/b  angir hvor den skjærer y-aksen og kalles for konstantleddet.

For en linje som går gjennom to punkt A = (xA,yA) og B = (xB,yB), er stigningstallet

 k = {y_B - y_A\over x_B - x_A}

Ligningen for denne linjen er da gitt ved koordinatene til disse to punktene og kan skrives som y = k(x − xA) + yA. Setter man her inn uttrykket for k, kan ligningen uttrykkes ved en determinant som

 \det\begin{pmatrix}x & x_A & x_B \\ y & y_A & y_B \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}  = 0.

På denne formen kan man lett finne ut om tre punkter i planet ligger på en rett linje.

Linjer i rommet[rediger | rediger kilde]

Linjer i rommet med kartesiske koordinater (x,y,z) kan ikke beskrives like enkelt. Men man kan alltid benytte den generelle parameterfremstillingen r = r0 + vt hvor vektoren v er parallell til linjen, r0 angir et vilkårlig punkt på den og t er en parameter. Skal den gå gjennom to gitte punkt A = (xA,yA,zA) og B = (xB,yB,zB), er koordinatene til punktene på linjen gitt ved ligningene

 x = x_A + (x_B - x_A)t \,
 y = y_A + (y_B - y_A)t \,
 z = z_A + (z_B - z_A)t\,

Man kan her eventuelt bestemme parameteren t  fra en ligning, og man står da igjen med to ligninger mellom de tre ukjente koordinatene.

Alternativ kan en linje i rommet defineres som skjæringslinjen mellom to plan i rommet. Hvert plan er gitt ved en lineær ligning med den generelle formen ax + by + cz + d = 0  hvor de tre koeffisientene a, b og c angir komponentene til vektoren n = (a,b,c) som står normalt på planet.

To slike plan med normaler n1 og n2 er da beskrevet ved det lineære ligningssystemet

\begin{alignat}{2}
a_1 x & + b_1 y& \; + \; c_1 z & + d_1 = 0 \\
a_2 x& + b_2 y& \;+ \; c_2 z & + d_2 = 0 \\
\end{alignat}

Løses dette ligningsettet med hensyn på de uavhengige variable x, y og z, finnes koordinatene til punktene som de to planene har felles, det vil si for punkter på skjæringslinjen mellom planene såfremt disse ikke er parallelle med hverandre. Vektoren v = n1 × n2 er da parallell til skjæringslinjen og kan så benyttes til å beregne denne.

Geodetiske linjer[rediger | rediger kilde]

En linje i det euklidiske rommet er den kurven som gir den korteste avstand mellom to punkter. Dette definerer en geodetisk kurve. I rom med ikke-euklidsk geometri kan man også snakke om linjer når disse er definert som geodetiske kurver. For eksempel, i sfærisk geometri på en kuleflate er disse storsirkler som går gjennom to diametralt motsatte punkt på kuleflaten. Alternativt kan man si at disse geodetiske kurvene fremstår som skjæringspunktet mellom kuleflaten og et plan gjennom kulens sentrum.

Ifølge Einsteins generelle relativitetsteori vil masse og energi gi tidrommet en ikke-euklidsk geometri slik at lyset ikke lenger vil bevege seg langs rette linjer. I stedet følger det geodetisk kurver som har krumning slik at lyset blir avbøyet. Dette ble først eksperimentelt verifisert av den engelske astrofysiker Eddington ved en total solformørkelse i 1919 og benyttes i dag til å utforske gravitasjonslinser som dannes av store galakser og mørk materie i Universet.

Se også[rediger | rediger kilde]