Kurve

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
En skrulinje eller helix

En kurve er i matematikk et endimensjonalt geometrisk objekt, en kontinuerlig samling av punkt i det reelle rommet Rn eller i det komplekse rommet Cn. Kurven kan betraktes som banen til et punkt som beveger seg. Kurven har lengde, men ikke bredde eller dybde. Ordet kurve stammer fra det latinske linea curva, med betydning krum linje.

Kurver har mange anvendelsesområder, både i matematikk og i andre fagområder. Studiet av kurver inngår i mange deler av matematikk, slik som i matematisk analyse, i geometri og i topologi. En lang rekke kurver har egne navn, og figuren til venstre viser en skrulinje, også kalt en helix.

En kurve i det tre-dimensjonale rommet kan lokalt karakteriseres ved en tangentretning, en krumning og en torsjon. Tangenten er en vektor som peker i retningen langs kurven. Krumningen indikerer hvor fort tangentretningen endrer seg. Torsjonen er et mål på om kurven er plan eller om den vrir seg ut av et plan. Sammenhengen mellom tangent, krumning og torsjon er gitt ved Frenets formler, også kalt Frenet-Serrets formler.

Bregrepet linje blir av og til brukt synonymt med en kurve (krum linje), av og til synonymt med en rett linje. En rett linje er et spesialtilfelle av en kurve.

For reelle funksjoner blir ordet kurve også brukt synonymt med grafen til funksjonen. Denne bruken er også reflektert i sammensetninger som «glemselskurve» og «feberkurve».

Definisjon av en kurve[rediger | rediger kilde]

En kurve i det tredimensjonale rommet R3 kan kalles en romkurve og kan beskrives ved hjelp av en parametrisering på forma

\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} \qquad  t \in T \,

Parameterområdet T er et intervall i R. En alternativ skriveform er

x = x(t) \qquad y = y(t) \qquad z = z(t) \qquad t \in T \,

En plan kurve oppstår når en av disse funksjonene er lik null.

Det eksisterer uendelig mange valg av parametriseringer for en gitt kurve. Parameteren t kan for eksempel representere tiden som går når et punkt beveger seg langs kurven eller representere avstanden langs kurven fra et gitt startpunkt.

Hvilke egenskaper funksjonene x(t) , y(t) og z(t) må oppfylle for å definere en kurve har historisk vært omstridt. Kontinuitet i funksjonene er et nødvendig vilkår, men ikke tilstrekkelig. Ofte vil en anta at de førstederiverte av funksjonene er kontinuerlige eller har et endelig antall diskontinuiteter. Punkt der alle de tre deriverte av x, y og z med hensyn på t samtidig er lik null kalles singulære punkt. Alle andre punkt er regulære punkt.

Kurver som representerer grafen til en funksjon, kan defineres enkelt ved y = f(x) og er derfor en plan kurve. Det er ekvivalent med parametriseringen

\mathbf{r}(x) = x \mathbf{i}+ f(x)\mathbf{j} \,

En romkurve kan også defineres implisitt ved hjelp av to ligninger

F_1(x,y,z) = 0 \qquad F_2(x,y,z) = 0.

Hver av ligningene definerer en flate i rommet, og kurven er dermed definert som samlingen av punkt som ligger på begge flatene, det vil si langs skjæringslinjen mellom flatene. I og med at to flater kan ha flere adskilte skjæringslinjer, trenger ikke en implisitt definisjon å være entydig.

En kurve i planet kan defineres implisitt ved en enkelt ligning av typen

F(x,y) = 0. \,

Parametrisk definisjon av heliks[rediger | rediger kilde]

En heliks kan defineres ved parametriseringen

x = a \cos t \qquad  y = a \sin t \qquad z = bt \,

Implisitt definisjon av kjeglesnitt[rediger | rediger kilde]

Kjeglesnitt er kurver som framkommer som skjæringslinjer når en kjegle snittes med et plan. Denne familien av plane kurver omfatter sirkel, ellipse, parabel og hyperbel. De to følgende ligningene definerer implisitt en ellipse i planet z = 4:

x^2 + 4 y^2 = z^2  \qquad  z = 4

Kurvetyper og egenskaper[rediger | rediger kilde]

En stykkevis glatt curve

En kurve er en plan kurve dersom hele kurven ligger i et plan. Alle kurver i R2 er plane kurver.

En kurve er lukket dersom startpunktet og endepunktet er det samme. En sirkel er eksempel på en lukket kurve.

En plan, lukket kurve som ikke krysser seg selv kalles en Jordan-kurve. Den deler et plan i en innside og en utside.

En algebraisk kurve er definert som skjæringskurven mellom to algebraiske flater. En algebraisk flate av grad n er definert ved en ligning p(x,y,z) = 0, der p er et polynom av grad.n. Dersom de to algebraiske flatene har grad henholdsvis m og n, så defineres graden til den algebraiske kurven å være lik (mn).

En geodetisk kurve er en kurve som følger den korteste vei mellom to punkt på en kurvet flate. På en kuleflate vil en geodetisk kurve ligge på en storsirkel. Kurver på en kuleflate kalles generelt sfæriske kurver. Geodetiske kurver er også definert for andre flater enn kuleflater.

En glatt kurve er en kurve der parameterfunksjonene x(t) , y(t) og z(t) alle har kontinuerlige deriverte. En glatt kurve har ingen spisse hjørner. Kurven er stykkevis glatt dersom den er glatt overalt, bortsett fra i et endelig antall punkt, der den kan ha knekkpunkt. En gren av kurven er en del mellom to påfølgende knekkpunkt. Det engelske ordet «cusp» blir brukt for å betegne et knekkpunkt der tangentretningene til kurven på hver side av knekkpunktet har sammenfallende retning i grenseverdien når en nærmer seg knekkpunktet.

Buelengde og tangentvektor[rediger | rediger kilde]

Sirkel med tangent

Buelengden til en kurve er avstanden langs kurven fra et gitt startpunkt. Dersom kurven er gitt ved en parametrisering r = r(t) og startpunktet er r(a), så er buelengden definert ved

s(t) = \int \limits_a^t  \sqrt { \mathbf{r}' \cdot  \mathbf{r}' } \; dt  = \int \limits_a^t \sqrt{ x'^2 + y'^2 +  z'^2} \; dt \,

Her betyr merket den deriverte med hensyn på parameteren t, det vil si r' = dr/dt.

Det er vanlig å bruke buelengden som parameter i beskrivelsen av en kurve. Mange matematiske formler får da en enklere form og kalles for en naturlig parametrisering.

Tangenten er en rett linje som berører kurven og er definert ved uttrykket

\mathbf{t} = \frac{d\mathbf{r}}{ds} \,

der parameteren s er buelengden. Dette er nå en enhets-tangentvektor tt = 1 da ds2 = dr⋅dr.

Normalvektor og krumning[rediger | rediger kilde]

Tar man den deriverte av tt = 1, resulterer t⋅dt/ds = 0. Vektoren dt/ds  er derfor normal eller vinkelrett til tangenten, og man kan skrive at

\frac{d\mathbf{t}}{ds} = \kappa \mathbf{n}. \,

hvor enhetsvektoren n kalles normalvektoren og κ  er krumningen. Den kan være positiv eller negativ, med størrelse |dt/ds | og sier noe om hvor raskt tangentvektoren skifter retning langs kurven. Det følger fra κ = n⋅(dt/ds) når man benytter definisjonen av den deriverte som grensen

 \kappa = \lim_{\Delta s\to 0} \mathbf{n}\cdot {\mathbf{t}(s + \Delta s) - \mathbf{t}(s)\over\Delta s} = \lim_{\Delta s\to 0} |\mathbf{t}| {\Delta\phi\over\Delta s} = {d\phi\over ds}

da tangentvektoren har lengde |t | = 1 og Δφ  er den lille vinkelen den dreier seg i planet normalt til n over et lite veistykke Δs.

Absoluttverdien av inversen til krumningen kalles krumningsradien,

R = \frac{1}{|\kappa|}  .

En sirkel har krumningsradius lik sirkelradien. En rett linje har krumningsradius lik uendelig.

Krumning av plan kurve[rediger | rediger kilde]

Med vilkårlig parametrisering av en plankurve r(t) = (x(t), y(t) er den deriverte dr/dt = (x'(t), y'(t) en tangent med lengde |r' | = (x' 2 + y' 2)1/2 som også er lik v = ds/dt. Den normaliserte tangentvektoren har derfor komponentene t = (x', y')/v og tilsvarende for normalvektoren n = (-y', x')/v. Fra definisjonen av krumningen finner man nå ved direkte utregning at

 \kappa = {1\over v} \mathbf{n}\cdot {d\mathbf{t}\over dt} = {x' y'' - x'' y'\over (x'^2 + y'^2)^{3/2}}

I det spesielle tilfellet at kurven er gitt som y = y(x), forenkles denne generelle formelen til

 \kappa = {y''\over  (1 + y'^2)^{3/2}}

Torsjon og binormalvektor[rediger | rediger kilde]

En kurve med tangent, normal og binormalvektor, samt oskulasjonsplanet.

Fra normalvektoren og tangenten kan en definere en tredje vektor kalt binormalvektoren til kurven:

\mathbf{b} = \mathbf{t} \times \mathbf{n} \,

De tre vektorene t, n og b er alle enhentsvektorer og står normalt på hverandre. Sammen er vektorene referert til som et trihedron. Planet gjennom tangentvektoren og normalvektoren kalles oskulasjonsplanet eller smygplanet. En kan betrakte oskulasjonsplanet som et plan gjennom tre påfølgende punkt på kurven.

Variasjonen av binormalen langs kurven er gitt ved den deriverte

 {d\mathbf{b}\over ds} = {d\mathbf{t}\over ds} \times \mathbf{n} + \mathbf{t} \times {d\mathbf{n}\over ds}

Her er første ledd null da dt/ds  er parallell til normalvektoren n. Videre er vektoren dn/ds  normal til n. Det følger fra nn = 1 som ved derivasjon gir n⋅dn/ds = 0. Derfor kan man skrive dn/ds = μt + τb hvor koeffisientene μ  og τ  foreløbig er ukjente. Det betyr at

\frac{d\mathbf{b}}{ds} = - \tau \mathbf{n} \,

da det fra definisjonen av binormalen følger at t×b = - n. Koeffisienten τ kalles torsjonen til kurven og er et mål for hvor fort kurven snor seg ut av oskulasjonsplanet. Torsjonen kan være både positiv og negativ.

Er torsjonen til en kurve null, er den en plan kurve. Da er binormalen en konstant vektor b0 slik at den deriverte d(rb0)/ds = tb0 = 0. Det betyr at kurven ligger i planet rb0 = konstant.

Frenets formler[rediger | rediger kilde]

Variasjonen av normalen n = b×t langs kurven følger fra den deriverte

 {d\mathbf{n}\over ds} = {d\mathbf{b}\over ds} \times \mathbf{t} + \mathbf{b} \times {d\mathbf{t}\over ds}

De to deriverte her er nå gitt ved krumningen og torsjonen. Sammen inngår disse tre ligningene i Frenets formler, også kalt Frenet-Serrets formler:


\begin{alignat}{2}
\frac{d\mathbf{t}}{ds} &= \kappa \mathbf{n} \\
\frac{d\mathbf{n}}{ds} &= - \kappa \mathbf{t} + \tau \mathbf{b} \\
\frac{d\mathbf{b}}{ds} &= - \tau \mathbf{n} 
\end{alignat}

Formlene er oppkalt etter de to franske matematikerene Jean Frédéric Frenet og Joseph Alfred Serret.

Eksempel: Heliks[rediger | rediger kilde]

Et punkt på heliksen er gitt ved posisjonsvektoren r = (a cost, a sint, bt) slik at r' = (- a sint, a cost, b). Dermed er tangentvektoren

 \mathbf{t} = {1\over v}\Big(-a\sin t\mathbf{i} + a\cos t\mathbf{j} + b\mathbf{k}\Big)

hvor v = ds/dt = √(a 2 + b 2) = |r' |. Normalen til kurven finnes fra dt/dt = -(a/v)(costi + sintj). Det betyr at normalen er

 \mathbf{n} = -(\cos t\mathbf{i} + \sin t\mathbf{j},

slik at krumningen κ = a/v2 blir

 \kappa = {a\over a^2 + b^2}

Binormalen følger nå direkte fra produktet b = t×nsom gir

 \mathbf{b} = {1\over v}\Big(b\sin t\mathbf{i} - b\cos t\mathbf{j} + a\mathbf{k}\Big)

Fra den deriverte db/dt = (b/v)(costi + sintj) finnes nå torsjonen τ = b/v2  som er

 \tau = {b\over a^2 + b^2}

Denne blir som ventet null når b = 0 som tilsvarer at heliksen ikke har noen stigning og ligger i et plan.

Fundamentalteoremet for romkurver[rediger | rediger kilde]

Gitt to vilkårlige kontinuerlige funksjoner κ = κ(s) og τ = τ(s) der s er positiv. Da eksisterer det én og kun én romkurve, entydig bestemt bortsett fra posisjon og orientering i rommet, som har buelengden s, krumningen κ og torsjon lik τ. En plan kurve som er definert å ha null torsjon, er derfor entydig gitt ved funksjonen κ = κ(s) alene.

Ligningene κ = κ(s) og τ = τ(s) kalles de naturlige ligningene til romkurven.

Liste over kurver[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • D.J.Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8.