Ligning (matematikk)

Områder i algebra

Abstrakt algebra

Grupper Ringer Kropper

Algebraisk geometri

Elementær algebra

Ligninger Funksjoner

Kombinatorikk

Lineær algebra

Vektorrom Matriser

Tallære

En ligning eller likning er i matematikk et utsagn som uttrykker at to størrelser er like. Ligningen består av en venstreside og en høyreside, samt et likhetstegn som viser at de to sidene er like:

${\begin{alignedat}{2}2+2&=4\\x+7&=10\\(x+1)(x-1)&=x^{2}-1\\\end{alignedat}}$.

En ligning kan være sann eller usann. Ofte inneholder en ligning én eller flere variable størrelser, symbolisert med bokstaver, og ligningen setter da føringer for hvilke verdier eller hvilken form disse variablene kan ta, for at ligningen skal være sann. Ligninger kan ofte opptre sammen med andre ligninger, i såkalte ligningssystem.

Å løse en ligning innebærer å finne verdier for de variablene som medfører at ligningen er sann. Variablene kalles da for de ukjente i ligningene. I ligninger med én ukjent betegnes denne ofte med x. En ligning kan ha ingen, én eller mange løsninger, og en løsning som tilfredsstiller ligningen kalles en rot i ligningen. Løsningen til en ligning kan være et tall, som i en algebraisk ligning, men løsningen kan også være en funksjon, som i en differensialligning og i en integralligning. Andre typer matematiske objekt kan også opptre som løsning til ligninger, for eksempel vektorer eller matriser.

En ligning som alltid er oppfylt, uansett valg av den ukjente, kalles en identitet. Det tredje og siste eksempelet over er en identitet.

En ligning med flere variable vil definere en relasjon mellom variablene, og begrepet formel brukes ofte synonymt med ligning. Formler og ligninger brukes for å beskrive sammenhenger mellom størrelser i et matematisk språk, som for eksempel i Einsteins berømte ligning E = mc².

Studiet av ligninger har vært sentralt for utviklingen av algebra, og ligningsteori er en sentral del av dette fagfeltet. Med utgangspunkt i praktiske problemstillinger har en gjennom historien forsøkte å finne aksepterbare løsninger på ligninger. Hva som har vært akseptert som en løsning har endret seg etter som fagfeltet matematikk har utviklet seg. I tilfeller der løsningen ikke lar seg uttrykke eksplisitt kan en ofte likevel si noe om egenskaper til løsningen, for eksempel at denne eksisterer og er entydig. I numerisk matematikk forsøker en å finne tilnærmede løsninger til ligninger som ikke lar seg løse eksakt.

Løsning av ligninger

Løsning av en ligning med én eller flere ukjente kan formelt skrives på forma

$f(x)=0\,$

I tilfellet av flere ukjente vil x være definert som en vektor. Også f kan oppfattes som en vektor, dersom en har et ligningssystem med flere ligninger. Et system av ligninger med like mange ukjente som ligninger kalles ofte for et simultant sett av ligninger, fordi alle ligningene må løses simultant.

I praktisk regning og også i teoretisk matematikk krever en ofte at løsningen skal være av en bestemt type, eller mer presist: være inneholdt i en bestemt mengde. Kravet kan for eksempel være at løsningen skal være et reelt tall eller et reelt, positivt tall. I en såkalt diofantisk ligning krever en for eksempel at løsningen skal være et helt tall. Dersom en ønsker å presisere mengden der løsningen skal finnes, skriver en gjerne problemet som

$f(x)=0\qquad x\in V\,$

Om det eksisterer en eller flere røtter i ligningen vil avhenge av definisjonen av mengden V.

Løsningsmengde og løsningsrom

Mengden av løsninger til en gitt ligning kaller en for løsningsmengden til ligningen. Ligningen

$x^{2}=1\,$

har for eksempel løsningsmengden {-1,1}.

Dersom ligningen er lineær, så vil summen av to løsninger også være en løsning for ligningen. Løsningsmengden er da et vektorrom og kalles løsningsrommet.

Lukket form for løsningen

Dersom en er i stand til å finne løsningen av en ligning og uttrykke denne ved hjelp av et endelig antall ledd av velkjente funksjoner, så sier en at ligningen har en analytisk løsning eller også en løsning på lukket form.

Studiet av ligninger og jakten på løsninger har i mange tilfeller ført til definisjon av nye funksjoner, slik at en har fått utvidet oppfatningen av hva en mener med velkjente funksjoner.

Eksistens og entydighet

Mange matematiske teorem inneholder utsagn om eksistens og entydighet av løsningen til en ligning, Selv om en ikke kan finne løsningen på lukket form kan en likevel i mange tilfeller vise hva som er tilstrekkelige vilkår for at en løsning eksisterer.

En løsning til en ligning er entydig viss og bare viss det eksisterer kun én løsning til ligningen.

Eksistens-og-entydighetsteorem er spesielt viktige for differensialligninger.

Løsningsmetoder

Det eksisterer svært mange løsningsmetoder for ligninger, og en komplett løsning vil ofte involvere en rekke forskjellige teknikker. En presis beskrivelse av stegene som skal til for å løse en ligning eller et annet problem kalles en algoritme.

En iterativ løsningsmetode lager en følge av løsningsforslag som suksessivt utgjør en bedre og bedre tilnærming til den eksakte løsningen. Hver iterasjon bruker de foregående til å lage en bedre tilnærming, og iterative metoder trenger et første gjett på løsningen for å komme i gang. En konvergent iterativ metode vil etter uendelig mange iterasjoner kunne gi den eksakte løsningen. I noen tilfeller vil iterasjonen bare gi den «best mulig» tilnærmede løsningen, i den mengden der en søker etter løsningen. Fikspunkt-iterasjon og Newton-Raphsons metode er eksempel på iterative metoder.

En løsningsmetode som ikke er iterativ kalles en direkte metode. Direkte metoder kan brukes for å finne både eksakte og tilnærmede løsninger. Rayleigh-Ritz’ metode er et eksempel på en direkte tilnærmingsmetode.

Et første steg i en løsningsprosess vil ofte forsøke å omforme ligningen til en alternativ eller enklere form der løsningen er kjent, og mange kreative metoder er i bruk. Substitusjon er en teknikk der en variabel eller en annen del av ligningen blir skiftet ut med en ny variabel, for eksempel vil substitusjonen u = x² overføre den følgende ligningen til en andregradsligning i u der løsningen er kjent:

$x^{4}+2x^{2}+5=0\,$

Eliminasjon innebærer å gjennomføre operasjoner som fjerner en variabel eller en annen del av et ligningssett. I det følgende eksempelet vil summasjon av ligningene eliminere den ene ukjente y og gi en enkel ligning å løse for den andre ukjente x:

${\begin{alignedat}{2}2x+2y&=4\\3x-2y&=11\\\end{alignedat}}$.

Inverse funksjoner

Løsningen av en ligning kan formelt skrives ved hjelp av definisjonen av en invers funksjon. Gitt problemet

$f(x)=y\qquad x\in V\,$

der y er en kjent størrelse. Dersom den inverse funksjonen til f eksisterer, så kan løsningen skrives som

$x=f^{-1}(y)\,$

Inversen vil eksistere dersom f er bijektiv, og løsningen av ligningen er da entydig.

Grunnleggende behandling av ligninger

Gyldigheten av en ligning, om den er sann eller usann, vil ikke bli endret dersom en utfører en av de følgende operasjonene på ligningen:

1. Addisjon av en vilkårlig størrelse på begge sider av likhetstegnet,
2. Subtraksjon av en vilkårlig størrelse på begge sider av likhetstegnet,
3. Multiplikasjon med en vilkårlig størrelse ulik null på begge sider av likhetstegnet,
4. Divisjon med en vilkårlig størrelse ulik null på begge sider av likhetstegnet,
5. Bruk av vilkårlig injektiv funksjon på begge sider av likhetstegnet.

De algebraiske egenskapene (1-4) medfører at likhetsrelasjonen er en kongruensrelasjon for en kropp. Et eksempel på en kropp som tillater disse operasjonen er mengden av reelle tall R. Dersom løsningsrommet er lik mengden av naturlige tall, så vil divisjon generelt ikke være en lovlig operasjon.

Identiteter

En identitet er en ligning som alltid er sann, uansett valg av variable i ligningen. For å markere at en ligning er en identitet brukes ofte identitetstegnet ≡, som i det følgende eksempelet

$(x+1)(x-1)\equiv x^{2}-1\,$

Kvadratsetningene og kuberingssetningene er eksempel på identiteter. Velkjent er også den trigonometriske identiteten

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \equiv 1\,$

Lineære ligninger

En lineær ligning har forma

$Ax+b=0\,$

der A er en skalar, en matrise eller en lineær funksjon. En lineær ligning sies å være homogen dersom b er lik null, ellers er den inhomogen.

Et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger kan løses ved hjelp av Cramers regel eller ved Gausseliminasjon. Dersom antallet ligninger er flere enn antallet ukjente, sies ligningssystemet å være overbestemt. Slike system har som regel ingen løsninger. I et underbestemt system er tallet på ligninger mindre enn antall ukjente.

Algebraiske ligninger

En algebraisk ligning over en gitt kropp er en polynomligning der koeffisientene er inneholdt i den definerte kroppen. En algebraisk ligning i én variabel over mengden av reelle tall har den generelle forma

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0\,$

der koeffisientene a_i (i = 1,….,n) er reelle tall.

Andregradsligningen er en av de enkleste algebraiske ligningene. Et velkjent eksempel på en algebraisk ligning i to variabler er ligningen for en sirkel med radius lik 1:

$x^{2}+y^{2}=1\,$

Generaliseringer av slike ligninger ligger til grunn for algebraisk geometri.

Algebraens fundamentalteorem

Ifølge algebraens fundamentalteorem har en kompleks n-te-grads polynomligning av én variabel eksakt n røtter, når multiplisiteten til rota er tatt i betraktning. Dersom røttene x_i (i = 1,…,n) er kjente, så kan polynomligningen skrivest på den faktoriserte forma

$a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\dots (x-x_{n})=0\,$

Røttene trenger ikke være reelle, selv om koeffisientene i polynomet er reelle.

Galois-teori

I Galois-teori, oppkalt etter matematikeren Évariste Galois, studerer en relasjoner mellom røttene i algebraiske ligninger.

På samme måte som andregradsligninger kan også løsning av tredjegradsligninger og fjerdegradsligninger uttrykkes på lukket form ved hjelp av aritmetiske operasjoner og rotutdraginger. Cardanos metode gir løsningen av den generelle tredjegradsligningen, mens Ferraris metode kan brukes for fjerdegradsligninger.

I 1824 viste Niels Henrik Abel at dette ikke er mulig for løsningen av den generelle polynomligningen av grad større eller lik fem, og dette resultatet er kjent som Abel-Ruffini-teoremet. Merk at fundamentalteoremet viser at også femtegradsligninger alltid har løsninger, – en kan bare ikke alltid uttrykke disse på sluttet form.

Transcendente ligninger

En transcendent ligning er en ligning som inneholder en transcendent funksjon. Eksempel på transcendente funksjoner er trigonometriske funksjoner, logaritmefunksjoner og eksponentialfunksjoner. De følgende ligningene er eksempel på transcendente ligninger:

${\begin{alignedat}{2}\sin x+\cos x&=1\\xe^{x}+2e^{x}+x&=0\\\end{alignedat}}$

Svært få transcendente ligninger har analytiske løsninger.

Funksjonalligninger

Funksjonalligninger er ligninger der den ukjente er en funksjon. Alternativt kan en si at en funksjonalligning er en ligning som definerer én eller flere funksjoner implisitt. Et eksempel på en funksjonalligning er gitt ved d’Alemberts ligning:

$f(y+x)+f(y-x)=2f(x)f(y)\,$

som har løsningene

$f(x)=\cos(cx)\qquad f(x)=\cosh(cx)\qquad f(x)\equiv 0\,$

der c er en vilkårlig konstant.

Differanseligninger

En differanseligning er en ligning der den ukjente er en funksjon og som inneholder differanser mellom funksjonsverdier. En differanseligning kan være i form av en rekursjonsformel:

$f(x+h)=2f(x)-f(x-h)\,$

Differenseligninger opptrer ofte i forbindelse med numerisk løsning av differensialligninger.

Differensialligninger

Svært mange problemstillinger i fysikk krever at en løser en eller flere differensialligninger.

Ordinære differensialligninger

En differensialligning er en ligning der den ukjente er en funksjon i én variabel, og der ligningen inneholder den deriverte av denne funksjonen. Ordenen til ligningen er lik ordenen til den høyeste deriverte. Riccatiligningen er en første-ordens ordinær differensialligning:

$f'=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,f+q_{2}(x)\,f^{2}$

Her er f den ukjente funksjonen, mens funksjonene q_i (i = 0,1,2) er kjente.

Partielle differensialligninger

En partiell differensialligning er en ligning der den ukjente er en funksjon i flere variabler, og der ligningen inneholder den partiell deriverte av denne funksjonen. Ordenen til ligningen er lik ordenen til den høyeste deriverte. Et eksempel er Laplaceligningen i tre frie variable:

${\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.$

Ligningen er en andre-ordens partiell differensialligning.

Integralligninger

En integralligning er en funksjonalligning som inneholder et eller flere integral av den ukjente funksjonen. Et eksempel er gitt ved Volterras integralligning av første slag:

$\int _{a}^{x}K(x,t)f(t)dt=g(x)\,$

Her er K(x,t) og g(x) kjente funksjoner, mens f er funksjonen som skal bestemmes.

Integro-differensialligninger

Integro-differensialligninger er funksjonalligninger som inneholder både deriverte og integral av den ukjente funksjonen.

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 

• Thomas L. Saaty (1967,1981). Moder nonlinear equations. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-64232-1. 

Eksterne lenker

• EqWorld liste over eksakte løsninger av ligninger (engelsk) Besøkt 11. april 2010
• WinSolve webside for numerisk løsning av algebraiske ligninger (engelsk) Besøkt 11. april 2010