Cramers regel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2 × 2 system[rediger | rediger kilde]

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

På matriseform skrives ligninssystemet som

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

Cramers regel for et 3 × 3 system[rediger | rediger kilde]

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

Matriseforma er

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

Cramers regel for et generelt system[rediger | rediger kilde]

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren x = (x1, ..., xn)T inneholder de ukjente i ligningssystemet.

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

der Ak er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren b.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN ISBN 0-691-02391-3 . 
  • Fr Fabricius-Bjerre (1949, 1968, 1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 97-502-0440-8 .