Partiell derivasjon

Tangenter parallelt med x og y-aksen

Partiell derivasjon er en operasjon i matematikk for å finne den partiellderiverte til en flervariabel funksjon, som er funksjonens deriverte med hensyn på en variabel, mens de andre blir holdt konstant.

Notasjonen for den partiellderiverte for en funksjon $f$ med variablene $x,y...$ med hensyn på $x$ skriver en som oftest på formen

${\partial \over \partial x}f\ eller\ {\partial f \over \partial x},$

men en kan også skrive han som $f_{1},f_{x},f'_{x},\partial _{x}f,D_{1}f\ eller\ D_{x}f$. En les "den partiellderiverte av $f$ med hensyn på $x$".

∂, en stilisert kursiv d, blir brukt for å vise til partiellderiverte og skiller det fra deriverte av envariable funksjoner, ${dy \over dx}$.

Den deriverte til en envariablet funksjon er stigningstallet til tangenten i punktet $x_{0}$. I en funksjon med to variabler er det uendelig mange tangenter i hvert punkt $(x_{0},y_{0})$, men som oftest er det tangentene parallelt til enten $x$ eller $y$-aksen som er av høyest interesse. Når en partiellderiverer finner vi stigningstallet til en av disse to tangentene.

Definisjon

R²

La $f:R^{2}\rightarrow R$ være en funksjon av to variabler, $x$ og $y$.

Den partiellderiverte til $f$ med hensyn på $x$ er definert som

${\partial f \over \partial x}(x,y)=\lim _{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x,y)-f(x,y) \over \Delta x}$,

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderende er den pariellderiverte med hensyn på $y$ definert slik:

${\partial f \over \partial y}(x,y)=\lim _{\Delta y\to 0}{f(x,y+\Delta y)-f(x,y) \over \Delta y}$

Rⁿ

Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjoner

La $f:R^{n}\rightarrow R$ vere en funksjon av $n$ variabler, $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Vi definerer den partiellderiverte til $f$ med hensyn på $x_{k}$ slik:

${\partial f \over \partial x_{k}}(x_{1},...,x_{n})=\lim _{\Delta x_{k}\to 0}{f(x_{1},...,x_{k}+\Delta x_{k},...,x_{n})-f(x_{1},...,x_{n}) \over \Delta x_{k}}$

Hver funksjon i $R^{n}$ har $n$ partiellderiverte; en til hver variabel.

Eksempel i R²

Vi har funksjonen $f:R^{2}\rightarrow R$

$f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}$

Når en partiellderiverer med hensyn på en variabel behandler vi den andre som konstant. De to partiellderiverte til $f$ er dermed

${\begin{aligned}&{\partial f \over \partial x}(x,y)=2x+y\\&{\partial f \over \partial y}(x,y)=x-2y\end{aligned}}$

Stigningstalet til tangenten parallelt med $x$-aksen i punkt (1,1) er

${\partial f \over \partial x}(1,1)=2\cdot 1+1=3$

Tilsvarende har vi stigingstalet til tangenten parallelt med $y$-aksen:

${\partial f \over \partial y}(1,1)=1-2\cdot 1=-1$

Partiellderiverte av høyere orden

Slik som for funksjoner med en variabel, kan vi definere partiellderiverte av høyere orden for funksjoner med flere variabler. Dersom en partiellderivert er deriverbar kan en fortsette å derivere med hensyn på samme eller en annen variabel så langt det lar seg gjøre.

Deriverer vi en førstepartiellderivert med samme variabel finner vi den andrepartiellderiverte, og skriver følgende notasjoner:

${\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}\quad eller\quad f_{11},f_{xx},\partial _{xx}f,\partial _{x}^{2}$

Deriverer vi med en annen variabel får vi en krysset andrepartiellderivert

${\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )},{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}\quad eller\quad f_{12},f_{xy},\partial _{xy}f,\partial _{x}\partial _{y}f\\\end{aligned}}$

Symmetrien eller likheten av andre partiellderiverte fastslår at rekkefølgen for å oppnå en krysset andrepartiellderivert er likegyldig

${\begin{aligned}&{\partial \over \partial x}{\bigg (}{\partial f \over \partial y}{\bigg )}={\partial \over \partial y}{\bigg (}{\partial f \over \partial x}{\bigg )}\\&{\partial ^{2}f \over \partial x\partial y}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}\end{aligned}}$

Deriverer vi en andrepartiellderivert får vi en tredjepartiellderivert, og så videre... Deriverer vi en funksjon $n$-ganger med samme variabel får vi n-te ordens partiellderivert

${\partial ^{n}f \over \partial x^{n}}$

Vi får en n-te ordens kryssene partiellderivert dersom vi deriverer en funksjon $n$ ganger med $m$ ulike variabler

${\begin{aligned}&{\partial ^{i+j+...+k}f \over \partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}\cdot ...\cdot \partial x_{m}^{k}}\\&n=i+j+...+k\end{aligned}}$

Se også

• Retningsderivert
• Gradient
• Hessematrisen