Eulers likhet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Innen matematisk analyse, er Eulers likhet, oppkalt etter Leonhard Euler, betegnelsen på likningen

e^{i \pi} + 1 = 0, \,\!

der

e\,\! er Eulers konstant, grunntallet til den naturlige logaritmen,
i\,\! er den imaginære enheten, en av de to komplekse tallene som kvadrert blir -1 (det andre er -i\,\!), og
\pi\,\! er pi, forholdet mellom en sirkels omkrets og diameter.

Eulers likhet er også kjent som Eulers likning.

Likhetens natur[rediger | rediger kilde]

Eulers likhet er av mange sett på som spesiell grunnet dens matematiske skjønnhet. Tre grunnleggende aritmetiske operasjoner opptrer én gang hver: addisjon, multiplikasjon, og potenser. Likheten forbinder også fem matematiske konstanter:

  • Tallet 0.
  • Tallet 1.
  • Tallet π, som er å finne overalt innen trigonometri, geometrien til Euklidisk vektorrom, og matematisk analyse.
  • Tallet e, grunntallet til den naturlige logaritmen, som svært ofte forekommer i matematisk analyse (e ≈ 2.71828).
  • Tallet i, imaginære enheten til komplekse tall.

Videre, i matematisk analyse, er det vanlig å skrive likninger med null på en side.

Utledning[rediger | rediger kilde]

Eulers generelle formel.

Likheten er et spesialtilfelle av Eulers formel fra kompleks analyse, som sier at

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!

for alle reelle tall x. (Bemerk at argumentene til de trigonometriske funksjonene sin and cos oppgis i radianer.)

Hvis vi sier at

x = \pi,\,\!

da er

e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi.\,\!

Siden

\cos \pi = -1  \, \!

og

\sin \pi = 0,\,\!

betyr det at

e^{i \pi} = -1,\,\!

som gir likheten

e^{i \pi} +1 = 0.\,\!

Tilskrivelse[rediger | rediger kilde]

Selv om man vet at Euler med sin formel relaterte e til cos og sin begrepene, har man ikke noe materiale som tilsier at han faktisk utledet selve likheten. Derimot var formelen mest sannsynlig kjent før Euler. Spørsmålet om Euler burde tilskrives denne formelen er dermed ubesvart.