Asymptote

Grafen til funksjonen $f(x)={\frac {1}{x}}$, med x- og y-aksene som asymptoter

En asymptote til en funksjon er i analytisk geometri en rett linje som funksjonen nærmer seg når argumentet eller funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig. Noen forfattere krever at funksjonen ikke krysser asymptoten uendelig mange ganger, men dette er ikke et vanlig krav. Alternativt kan en asymptote defineres som tangenten til grafen til funksjonen i uendelig.

Når $y(x)$ er en asymptote til funksjonen $f(x)$, så kan dette også uttrykkes som at $f(x)$ nærmer seg $y(x)$ asymptotisk, når $x$ går mot en gitt grenseverdi.

En asymptote kan være vertikal, horisontal eller skrå. Beskrivelse av eventuelle asymptoter er en viktig del av kartleging av egenskapene til en funksjon. En parabel har ingen asymptoter, eksponentialfunksjonen har én, hyperbelen har to og tangensfunksjonen har uendelig mange asymptoter.

En asymptote er vanligvis en rett linje, men begrepet kan generaliseres til å gjelde en vilkårlig kurve, en kurvelineær asymptote.

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».

Formell definisjon

En funksjon $f(x)$ har en asymptote $y(x)=ax+b$ når $x$ går mot uendelig dersom

$\lim _{x\to \infty }\left(f(x)-ax-b\right)=0$

Tilsvarende vil $y(x)$ være en asymptote for funksjonen når $x$ går mot minus uendelig dersom

$\lim _{x\to -\infty }\left(f(x)-ax-b\right)=0$

Uttrykket sier at avstanden mellom funksjonen og asymptoten stadig blir mindre når $x$ vokser mot pluss eller minus uendelig. For $a=0$ vil asymptoten være horisontal, for alle andre verdier vil asymptoten være skrå.

Funksjon har en loddrett asymptote $x=a$ dersom funksjonen går mot pluss eller minus uendelig når $x$ nærmer seg $a$, enten ovenfra, nedenfra eller fra begge sider. Dette er oppfylt dersom minst ett av de følgende uttrykkene er sann:

$\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}|f(x)|=\infty$

$\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}|f(x)|=\infty$

Eksempler

Eksponentialfunksjonen

Eksponentialfunksjonen $f(x)=e^{x}$ har én asymptote: Når $x$ går mot minus uendelig vil funksjonen nærme seg den horisontale asymptoten $y=0$.

Hyperbelen

En hyperbel har to asymptoter. Eksempelvis vil hyperbelen $xy=1$ ha både $x$- og $y$-aksen som asymptoter.

En oscillerende funksjon

En oscillerende funksjon med x-aksen som asymptote

Funksjonen definert ved

$f(x)={\frac {\sin x}{x}}$

oscillerer omkring $x$-aksen og krysser aksen uendelig mange ganger. Denne aksen er en asymptote, så lenge en ikke stiller krav til antall skjæringspunkt mellom funksjonsgrafen og asymptoten.

Tangensfunksjonen

Tangensfunksjonen $f(x)=\tan x$ har uendelig mange vertikale asymptoter, definert for verdiene

$x={\frac {\pi }{2}}+n\pi \qquad |n|\in N$

Metoder for å bestemme asymptoter

Generell metode for å finne en skrå asymptote

For en gitt funksjon $f(x)$ kan en undersøke om funksjonen har en asymptote $y(x)=ax+b$ ved først å undersøke grenseverdiene

$a=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{x}}$

Her må en undersøke både når $x$ går mot minus og pluss uendelig, det vi si at $c$ enten er lik $-\infty$ eller $+\infty$. Dersom en grenseverdi er endelig, så har funksjonen en skrå asymptote. Da kan den andre koeffisienten $b$ bestemmes ved

$b=\lim _{x\to c}\left(f(x)-ax\right)$

Som illustrasjon kan en undersøke funksjonen gitt ved

$f(x)={\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}$

Her eksisterer grenseverdier for $a$ både når $x$ går mot minus og pluss uendelig:

$a=\lim _{|x|\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{|x|\to \infty }{\frac {2x^{2}+3x+1}{x^{2}}}=2$

For den andre koeffisienten finner en

$b=\lim _{|x|\to \infty }(f(x)-2x)=\lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {2x^{2}+3x+1}{x}}-2x\right)=3$

Det vil si at den rette linja $y=2x+3$ er en skrå asymptote både når $x$ går mot minus og pluss uendelig.

Vertikale asymptoter

En funksjon som kan skrives som et kvotientuttrykk

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

vil ha vertikale asymptoter i nullpunkter til funksjonen $h(x)$, dersom $g(x)$ er ulik null for disse verdiene. For en verdi av $x$ der både $g$ og $h$ har et nullpunkt, kan en bruke l'Hôpitals regel for å finne grenseverdien for $f$ når $x$ nærmer seg dette nullpunktet.

Rasjonale funksjoner

En rasjonal funksjon er en funksjon på formen

$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$

der både $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer. Som beskrevet i forrige avsnitt vil funksjonen ha vertikale asymptoter i nullpunkt til funksjonen $Q(x)$, dersom $P(x)$ er ulik null for disse verdiene.

Dersom polynomene $P(x)$ og $Q(x)$ er av samme grad, så vil funksjonen ha en horisontal asymptote $y=b$, der $b$ er lik forholdet mellom koeffisientene til den høyeste potensen i teller og nevner. Den følgende funksjonen vil for eksempel ha en horisontal asymptote lik $y=3$:

Grafen til den rasjonale funksjonen ${\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}$, med en skrå asymptote i rødt

$f(x)={\frac {6x^{3}+2x^{2}+1}{3x^{3}+2x^{2}-x+2}}$

En rasjonal funksjon der graden til $P(x)$ er lik graden til $Q(x)$ pluss 1 kan ha en skrå asymptote. Denne kan en finne ved å utføre polynomdivisjon. Som eksempel kan se på funksjonen

$f(x)={\frac {x^{2}+x+1}{x+1}}=x+{\frac {1}{x+1}}$

Når $x$ går mot uendelig vil det siste leddet i det høyre uttrykket gå mot null. Funksjonen har derfor asymptoten $y=x$ når $x$ går mot uendelig. Funksjonen har også en vertikal asymptote i $x=-1$.

Dersom graden til $P(x)$ er større enn graden til $Q(x)$ pluss 1, så vil funksjonen ikke ha rette linjer som asymptoter. Den kan imidlertid ha en kurvelineær asymptote.

Kurvelineære asymptoter

En kurvelineær asymptote til funksjonen $(x^{3}+2x^{2}+3x+4)/x$

Vanligvis vil en asymptote være definert som en rett linje. Det er imidlertid mulig å generalisere begrepet til å omfatte en vilkårlig plan kurve. La A være en plan parametrisk kurve, definert ved koordinatene $x(t),y(t)$. Anta at avstanden mellom et punkt på kurven og origo går mot uendelig når parameteren $t$ går mot en gitt grense $t_{0}$ (som kan være uendelig). La B være en annen gitt kurve, og anta at den korteste avstanden mellom A og 'B går mot null når $t$ går mot $t_{0}$. Kurven B sies da å være en kurvelineær asymptote til A, i motsetning til en vanlig definert lineær asymptote.^{[trenger referanse]}

Som eksempel, så har funksjonen

$y={\frac {x^{3}+2x^{2}+3x+4}{x}}$

en kurvelineær asymptote gitt ved

$y=x^{2}+2x+3$.

Denne omtales som en parabolsk asymptote, siden kurven B er en parabel.

Etymologi

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes». Adjektivet asymptotus (fem. asymptota) kommer igjen fra gammelgresk ἀσύμπτωτος asýmptōtos («ikke-sammenfallende»), jfr. ἀ- («ikke-») + συν- («sammen», «med») + πτωτός perfektum partisipp m av «å falle»).

Litteratur

• Adams, Robert (2003). Calculus: A Complete Course (engelsk). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
• Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. 
• Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus. Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3.