Asymptote

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Grafen til funksjonen , med x- og y-aksene som asymptoter

En asymptote til en funksjon er i analytisk geometri en rett linje som funksjonen nærmer seg når argumentet eller funksjonsverdien går mot pluss eller minus uendelig.[1] Noen forfattere krever at funksjonen ikke krysser asymptoten uendelig mange ganger, men dette er ikke et vanlig krav.[2] Alternativt kan en asymptote defineres som tangenten til grafen til funksjonen i uendelig.[3]

Når er en asymptote til funksjonen , så kan dette også uttrykkes som at nærmer seg asymptotisk, når går mot en gitt grenseverdi.

En asymptote kan være vertikal, horisontal eller skrå. Beskrivelse av eventuelle asymptoter er en viktig del av kartleging av egenskapene til en funksjon. En parabel har ingen asymptoter, eksponentialfunksjonen har én, hyperbelen har to og tangensfunksjonen har uendelig mange asymptoter.

En asymptote er vanligvis en rett linje, men begrepet kan generaliseres til å gjelde en vilkårlig kurve, en kurvelineær asymptote.

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

En funksjon har en asymptote når går mot uendelig dersom

Tilsvarende vil være en asymptote for funksjonen når går mot minus uendelig dersom

Uttrykket sier at avstanden mellom funksjonen og asymptoten stadig blir mindre når vokser mot pluss eller minus uendelig. For vil asymptoten være horisontal, for alle andre verdier vil asymptoten være skrå.

Funksjon har en loddrett asymptote dersom funksjonen går mot pluss eller minus uendelig når nærmer seg , enten ovenfra, nedenfra eller fra begge sider. Dette er oppfylt dersom minst ett av de følgende uttrykkene er sann:

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Eksponentialfunksjonen[rediger | rediger kilde]

Eksponentialfunksjonen har én asymptote: Når går mot minus uendelig vil funksjonen nærme seg den horisontale asymptoten .

Hyperbelen[rediger | rediger kilde]

En hyperbel har to asymptoter. Eksempelvis vil hyperbelen ha både - og -aksen som asymptoter.

En oscillerende funksjon[rediger | rediger kilde]

En oscillerende funksjon med x-aksen som asymptote

Funksjonen definert ved

oscillerer omkring -aksen og krysser aksen uendelig mange ganger. Denne aksen er en asymptote, så lenge en ikke stiller krav til antall skjæringspunkt mellom funksjonsgrafen og asymptoten.

Tangensfunksjonen[rediger | rediger kilde]

Tangensfunksjonen har uendelig mange vertikale asymptoter, definert for verdiene

Metoder for å bestemme asymptoter[rediger | rediger kilde]

Generell metode for å finne en skrå asymptote[rediger | rediger kilde]

For en gitt funksjon kan en undersøke om funksjonen har en asymptote ved først å undersøke grenseverdiene

Her må en undersøke både når går mot minus og pluss uendelig, det vi si at enten er lik eller . Dersom en grenseverdi er endelig, så har funksjonen en skrå asymptote. Da kan den andre koeffisienten bestemmes ved

Som illustrasjon kan en undersøke funksjonen gitt ved

Her eksisterer grenseverdier for både når går mot minus og pluss uendelig:

For den andre koeffisienten finner en

Det vil si at den rette linja er en skrå asymptote både når går mot minus og pluss uendelig.

Vertikale asymptoter[rediger | rediger kilde]

En funksjon som kan skrives som et kvotientuttrykk

vil ha vertikale asymptoter i nullpunkter til funksjonen , dersom er ulik null for disse verdiene. For en verdi av der både og har et nullpunkt, kan en bruke l'Hôpitals regel for å finne grenseverdien for når nærmer seg dette nullpunktet.

Rasjonale funksjoner[rediger | rediger kilde]

En rasjonal funksjon er en funksjon på formen

der både og er polynomer. Som beskrevet i forrige avsnitt vil funksjonen ha vertikale asymptoter i nullpunkt til funksjonen , dersom er ulik null for disse verdiene.

Dersom polynomene og er av samme grad, så vil funksjonen ha en horisontal asymptote , der er lik forholdet mellom koeffisientene til den høyeste potensen i teller og nevner. Den følgende funksjonen vil for eksempel ha en horisontal asymptote lik :

Grafen til den rasjonale funksjonen , med en skrå asymptote i rødt

En rasjonal funksjon der graden til er lik graden til pluss 1 kan ha en skrå asymptote. Denne kan en finne ved å utføre polynomdivisjon. Som eksempel kan se på funksjonen

Når går mot uendelig vil det siste leddet i det høyre uttrykket gå mot null. Funksjonen har derfor asymptoten når går mot uendelig. Funksjonen har også en vertikal asymptote i .

Dersom graden til er større enn graden til pluss 1, så vil funksjonen ikke ha rette linjer som asymptoter. Den kan imidlertid ha en kurvelineær asymptote.

Kurvelineære asymptoter[rediger | rediger kilde]

En kurvelineær asymptote til funksjonen

Vanligvis vil en asymptote være definert som en rett linje. Det er imidlertid mulig å generalisere begrepet til å omfatte en vilkårlig plan kurve. La A være en plan parametrisk kurve, definert ved koordinatene . Anta at avstanden mellom et punkt på kurven og origo går mot uendelig når parameteren går mot en gitt grense (som kan være uendelig). La B være en annen gitt kurve, og anta at den korteste avstanden mellom A og 'B går mot null når går mot . Kurven B sies da å være en kurvelineær asymptote til A, i motsetning til en vanlig definert lineær asymptote.[trenger referanse]

Som eksempel, så har funksjonen

en kurvelineær asymptote gitt ved

.

Denne omtales som en parabolsk asymptote, siden kurven B er en parabel.

Etymologi[rediger | rediger kilde]

Navnet «asymptote» kommer fra latin asymptota (linea), «(en linje som) ikke møtes».[4] Adjektivet asymptotus (fem. asymptota) kommer igjen fra gammelgresk ἀσύμπτωτος asýmptōtos («ikke-sammenfallende»), jfr. ἀ- («ikke-») + συν- («sammen», «med») + πτωτός perfektum partisipp m av «å falle»).

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.  s.390
  2. ^ L.A. Talman (2006). «Asymptotes» (PDF) (engelsk). 
  3. ^ J.D. Lawrence (1972). A Catalog of Special Plane Curves. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2.  s.31
  4. ^ S. Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. (engelsk). Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.  s.30

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Adams, Robert (2003). Calculus: A Complete Course (engelsk). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
  • Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. 
  • Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus. Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3.