Eulers formel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk

Eulers formel er oppkalt etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler, og sier at for alle reelle tall x, gjelder det at

.

der

er grunntallet til den naturlige logaritmen
er den imaginære enheten
og er trigonometriske funksjoner.

Setter man x=π inn i denne formelen får man også den bemerkelsesverdige Eulers likhet.

Bevis[rediger | rediger kilde]

Ved bruk av Taylorserier[rediger | rediger kilde]

Dette beviset av Eulers formel bruker Taylorrekker i tillegg til de grunnleggende egenskapene til potenser av i:

også videre. Funksjonene ex, cos(x) og sin(x) (forutsatt at x er reell) kan uttrykkes ved deres Taylorutvidelse:

For et komplekst tall z kan vi definere alle funksjonene med seriene ovenfor, ved å erstatte x med z. Dette er mulig fordi konvergensradiusen til alle seriene er uendelig. Vi ser da at

Denne formelen gjelder altså for alle komplekse tall, men setter man z lik et reelt tall x, får man formelen slik Euler oppdaget den.

Ved bruk av matematisk analyse[rediger | rediger kilde]

Vi definerer funksjonen f(x) der , som:

Funksjonen er kontunuerlig siden:


som betyr at:


Den deriverte av f(x) er ifølge kvotientregelen:


Dette betyr at f(x) er konstant og vi kan finne f(x) for alle verdier av x ved å regne ut f(0):


Av dette ser vi at

Q.E.D.