Eulers formel

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

Eulers formel er oppkalt etter den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler, og sier at for alle reelle tall x, gjelder det at

.

der

er grunntallet til den naturlige logaritmen
er den imaginære enheten
og er trigonometriske funksjoner.

Setter man x=π inn i denne formelen får man også den bemerkelsesverdige Eulers likhet.

Bevis[rediger | rediger kilde]

Ved bruk av Taylorserier[rediger | rediger kilde]

Dette beviset av Eulers formel bruker Taylorrekker i tillegg til de grunnleggende egenskapene til potenser av i:

også videre. Funksjonene ex, cos(x) og sin(x) (forutsatt at x er reell) kan uttrykkes ved deres Taylorutvidelse:

For et komplekst tall z kan vi definere alle funksjonene med seriene ovenfor, ved å erstatte x med z. Dette er mulig fordi konvergensradiusen til alle seriene er uendelig. Vi ser da at

Denne formelen gjelder altså for alle komplekse tall, men setter man z lik et reelt tall x, får man formelen slik Euler oppdaget den.

Ved bruk av matematisk analyse[rediger | rediger kilde]

Vi definerer funksjonen f(x) der , som:

Funksjonen er kontunuerlig siden:


som betyr at:


Den deriverte av f(x) er ifølge kvotientregelen:


Dette betyr at f(x) er konstant og vi kan finne f(x) for alle verdier av x ved å regne ut f(0):


Av dette ser vi at

Q.E.D.