Eksponentialfunksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Eksponensialfunksjon)
Hopp til navigering Hopp til søk
Grafisk fremstilling av eksponentialfunksjonen med grunntall a > 1.

Eksponentialfunksjonen er i matematikk en elementær funksjon som er proporsjonal med en potens hvor argumentet inngår i eksponenten. Den kan skrives på formen

hvor grunntallet eller basis a er et positivt, reelt tall. Eksponentialfunksjonen må ikke forveksles med potensfunksjonen x p der argumentet inngår som grunntallet til potensen. Den er i utgangspunktet definert for reelle verdier av argumentet x, men den kan utvides til å eksistere også når dette er et komplekst tall.

Funksjonen kan også defineres som den inverse av logaritmefunksjonen med grunntall a. Den deriverte av eksponentialfunksjonen er da gitt som

hvor lna = logea  er den naturlige logaritmen til grunntallet. At den deriverte er proporsjonal med funksjonen selv, viser at den beskriver eksponentiell vekst som opptrer i mange sammenhenger i naturen. Den vokser når ln a > 0, det vil si når a > 1 og vil avta for økende x når a < 1

For det spesielle tilfellet at grunntallet er lik med Eulers tall e = 2.718 281... , er den deriverte av eksponentialfunksjonen lik funksjonen selv da ln e = 1. Den kalles da den naturlige eksponentialfunksjonen ex og er kanskje den viktigste funksjonen i all matematikk. I praktisk bruk er det nesten alltid denne man mener når det er snakk om eksponentialfunksjonen. Det skyldes at grunntallet kan skrives som a = e ln a slik at den kan alltid omformes til en naturlig eksponentialfunksjon,

Alle egenskapene til den generelle eksponentialfunksjonen vil derfor kunne beskrives innenfor rammen av den naturlige eksponentialfunksjonen. Den kan dermed også lett utvides til å gjelde for komplekse verdier av argumentet slik at den er kontinuerlig og analytisk i hele det komplekse planet. De fleste av eksponentialfunksjonens egenskaper ble utarbeidet av Leonhard Euler på 1700-tallet.[1]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Ekponentialfunkjoner med grunntall a =1/2 og a = 2.

Fra definisjonen av eksponentialfunksjonen og egenskaper til potenser, følger at

Derfor vil f(x)⋅f(x) = f(2x) som kan utvides til [f(x)]n = f(nx). Man kan derfor beregne verdier av funksjonen for store argument ved å multiplisere sammen et tilsvarende antall av mindre verdier,

På den måten kan man komme frem til alle verdier ved å ta utgangspunkt i en funksjonsverdi som er litt større enn 1 for et argument som ligger tett opp til 0. Samme metode blir spesielt benyttet til genere vilkårlige element i Lie-grupper.[2]

Da a 0 = 1, er derfor axa-x = 1 eller

Når a > 1, vil funksjonsverdien vokse med økende x. Den vil derfor avta tilsvarende når x tar mer negative verdier. I det motsatte tilfellet a < 1 , vil den oppføre seg omvendt. Funksjonen er konstant når a = 1.

Naturlig eksponentialfunksjon[rediger | rediger kilde]

Det finnes mange alternative, men ekvivalente måter å definere den naturlige eksponentialfunksjon.[3] Man kommer raskest frem til dens viktigste egenskaper ved å ta utgangspunkt i den deriverte av den generelle eksponentialfunksjonen. Den er

når man benytter definisjonen av den naturlige logaritmen ln a til grunntallet. Den deriverte av funksjonen er derfor proporsjonal med funksjonen selv. Da funksjonen vokser når den deriverte er positiv, vil det skje når ln a > 0 som gjelder som forventet for a > 1. På samme måte vil den avta når a < 1 der ln a < 0.

Den deriverte av eksponentialfunksjonen f(x ) = a x er den samme som funksjonen selv i det spesielle tilfellet at ln a = 1. Da må a = e = 2.718 281... som er Eulers tall. Slik kommer man frem til den naturlige eksponentialfunksjon

For x = 0 har den verdien f(0) = 1.

Ekspontenialfunksjonen y = ex og to spesielle punkt (x,y).

Da e > 1 vil den øke mer og mer for stadig større verdier av argumentet x, men på en slik måte at den deriverte f'  = df /dx = f(x ). Det betyr at også de høyere deriverte som f ", f "' og så videre, alle vil være like med funksjonen selv. Foretar man derfor en Taylor-utvikling av funksjonen om punktet x = 0, vil man ha

Denne uendelige rekken konvergerer for alle verdier av x. Det er fullt mulig å definere den naturlige eksponentialfunksjonen ved dette uttrykket som også gjør det mulig å beregne den generelle funksjonen for vilkårlig grunntall a.[4]

Definisjon ved Eulers tall[rediger | rediger kilde]

Den mest direkte definisjon av den naturlige eksponentialfunksjonen følger ikke uventet fra definisjonen av Eulers tall som grensen av en potens. Basert på den kan man skrive

når m = nx. Denne potensen kan her beregnes ved hjelp av binomialformelen som gir

som igjen er dens karakteristiske Taylor-rekke. Deriverer man funksjonen ved å derivere hvert ledd i rekken, ser man at

Denne fundamentale egenskapen kan også benyttes som en definisjon av den naturlige eksponentialfunksjonen. Da vil funksjonen y = f(x) tilfredsstille den enkle differensialligningen dy/dx = y. Skrives den som dy/y = dx, vil integrasjon av venstresiden gi ln y = x når man benytter definisjonen av logaritmefunksjonen. En mulig integrasjonskonstant settes lik null med grensebetingelsen f(0) = 1. Resultatet ln y = x kan skrives som y = ex og viser at eksponentialfunksjonen er den inverse av logaritmefunksjonen.

Noen anvendelser[rediger | rediger kilde]

Den naturlige eksponentialfunksjonen har svært mange praktiske og teoretiske anvendelser i nesten alle grener av matematikk, fysikk og moderne teknologi.[5]

Fra kjerneregelen for derivasjon og definisjonen av den naturlige ekspontialfunksjonen, følger det at

hvor k er en konstant. Av samme grunn følger det mer generelt at

der f' (x) er den førstederiverte av funksjonen f(x ). Normalfordelingen har denne formen hvor f(x) er kvadratisk polynom i x.

Da den antideriverte eller integralet av ex er den samme funksjonen pluss en konstant C, er integralet

av samme grunn. Andre funksjoner kan defineres ut fra eksponentialfunksjonen. For eksempel er gammafunksjonen gitt ved et integral over denne multiplisert med en potens.

Hyperbolske funksjoner[rediger | rediger kilde]

I rekkeutviklingen av eksponentialfunksjonene kan man isolere de leddene som har partall i eksponenten og de som er oddetall. Det fører til de to hyperbolske funksjonene

slik at man har

Det betyr at disse to funksjonene

kan brukes som erstatning for eksponentialfunksjonen ex og e-x. De er knyttet sammen ved den viktige relasjonen

og ved derivasjon går den ene over i den andre.[6]

Kompleks utvidelse[rediger | rediger kilde]

Grafisk fremstilling av verdiene til eksponential-funksjonen ez i det komplekse planet med koordinater z = x + iy. I det mørke området til venstre er x negativ slik at verdiene blir små, mens de fargete stripene i den vertikale retningen viser at den er periodisk i y.

Ved å bruke rekkeutviklingen for eksponentialfunksjonen, kan den utvides til også å gjelde når argumentet er et komplekst tall z = x + iy der i er den imaginære enheten definert ved i 2 = - 1. Da er

Funksjonen er analytisk og definert i hele det komplekse planet.[7] Den gir i alminnelighet komplekse verdier og disse opptrer periodisk langs den imaginære aksen. Det sees fra det spesielle argumentet z = iθ som resulterer i

Sammenligner man innholdet i parentesene med Taylor-rekkene for de to trigonometriske funksjonene cosθ og sinθ, kommer man frem til Eulers formel

Kombineres denne med det konjugerte uttrykket for e-iθ, har man

De trigonometriske funksjonene kan derfor betraktes som hyperbolske funksjoner med imaginære argument. Da de er periodiske under forandringen θθ + 2π, vil den komplekse funksjonen

være periodisk langs den imaginære aksen med periode 2π i. Man har derfor

slik at den naturlige logaritmen til et komplekst tall er ikke entydig.[7]

De Moivres formel[rediger | rediger kilde]

For et heltall n gir eksponentialfunksjonen med et rent imaginært argument z = iy at

Denne viktige sammenhengen mellom komplekse tall og de trigonometriske funksjonene kalles de Moivres formel. Den er oppkalt etter Abraham de Moivre som fant den i forbindelse med beregning av røtter til forskjellige polynom.[1]

Formelen gjør det mulig å uttrykke cosny og sinny som polynom av cosy og siny ved bruk av binomialformelen. For eksempel, for n = 3 finner man

ved å sammenligne realdelen og imaginærdelene på begge sider av formelen.

Noen eksempel[rediger | rediger kilde]

Eksistensen av den komplekse eksponentialfunksjonen har mange interessante konsekvenser.[7] En direkte følge er

og spesielt

som ofte blir kalt Eulers likhet. Men derfor er også e 3π i = e 5π i = - 1 og så videre. Dette betyr for eksempel at

hvor n er et heltall. Verdien for n = 0 blir kalt hovedverdien eller «prinsipalverdien».[6]

Kvadratroten av et negativt eller kompleks tall er derfor heller ikke entydig. Et annet eksempel på det samme er

som derfor er et ubestemt, reelt tall etter som n = 0, ±1, ±2, etc. Likedan er prinsipalverdien av

også et reelt tall.

Matriseargument[rediger | rediger kilde]

Illustrasjon som viser hvordan ekspo-nentialfunksjonen bygges opp av de første leddene i Taylor-rekken.

På samme måte som den naturlige eksponentialfunksjonen avbilder et komplekst tall på et annet komplekst tall som er dens funksjonsverdi, kan dens potensrekke også utvides til å gjelde når argumentet er en kvadratisk matrise. Denne vil så bli avbildet på en annen matrise av samme type.[2]

Hvis argumentet er en n × n - matrise M, defineres eksponentialfunksjonen av denne som

der I er n × n enhetsmatrisen. For to slike matriser M1 og M2, er da produktet

Derfor er

slik at e -M er den inverse til matrisen eM. Man kan også uttrykke dette som e -M = I/eM.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

La M være den reelle, 2×2 - matrisen

som er sin egen invers da

hvor på høyre side opptrer 2×2  enhetsmatrisen I. Da er

Den inverse matrisen er på samme måte

Ved direkte utregning finner man at e -xMexM = I  ved å benytte at cosh 2x - sinh 2x = 1.

Lie-grupper[rediger | rediger kilde]

Betrakter man en analytisk funksjon F(x), kan den utvikles i en Taylor-rekke slik at

På høyre side har man deaivasjonsoperatoren X = d /dx som inngår som argument i rekken for eksponentialfunksjonen. Rekken definerer dermed en nye operator

som har egenskapen at

Man kan også si at denne nye operatoren g(a) transformerer funksjonen F(x) til et nytt punkt hvor den tar verdien F(x + a). For hver verdi av parameteren a, vil man ha en ny slik operator. Enhetsoperatoren tilsvarer ingen transformasjon, det vil si at a = 0 slik at den er g(0) = 1.

Disse operatorene utgjør elementene i en Lie-gruppe. Det er en konsekvens av at to påfølgende operasjoner er ekvivalent med en ny operator

I tillegg har vært element g(a) en invers g(-a) da g(a)g(-a) = 1.

Operatoren X = d /dx sies å være generatoren i gruppen. Den gir forandringen av funksjonen under en svært liten transformasjon Δx,

En endeliglig transformasjon a kan nå bygges opp ved et stort antall n slike infinitesemale transformasjoner med a = nΔx da

fra definisjonen av eksponentialfunksjonen når n → ∞.

Dette er eksempel på en «abelsk Lie-gruppe» da g(a)g(b) = g(b)g(a). Men hadde han betraktet tilsvarende transformasjoner av funksjoner med flere variable som for eksempel F(x,y,z), ville man måtte innføre tre generatorer X1, X2 og X3. Rekkefølgen av de tilsvarende gruppeelementene vil da ikke kunne byttes om i slike multiplikasjoner og gruppen sies å være «ikke-abelsk».[2]

Slike kontinuerlige transformasjonsgrupper opptrer på forskjellige måter i kvantemekanikken. Generatorene er da kvantemekaniske operatorer som gir opphav til størrelser som kan måles i eksperiment.[8]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1968). ISBN 0-691-02391-3.
  2. ^ a b c R. Gilmore, Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications, John Wiley & Sons, New York (1974). ISBN 0-471-30179-5.
  3. ^ R. Tambs Tyche, Matematisk Analyse I, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
  4. ^ V. Rudin, Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill Book Company, New York (1976). ISBN 0-07-085613-3.
  5. ^ M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
  6. ^ a b T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2000). ISBN 978-82-15-00977-3.
  7. ^ a b c R.V Churchill, J.W. Brown and R.F. Verhey. Complex variables and applications, McGraw-Hill Kogakusha, Tokyo (1974). ISBN 0-07-010855-2.
  8. ^ D. J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.