Liste over integraler av inverse trigonometriske funksjoner

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

Følgende er en liste over ubestemte integraler (antideriverte) til uttrykk som involverer de inverse trigonometriske funksjonene. For en liste over integralformler, se lister over integraler.

  • De inverse trigonometriske funksjonene er også kjent som de syklometriske funksjonene.
  • C brukes for den vilkårlige integrasjonskonstanten som bare kan bestemmes hvis noe om verdien av integralet på noe punkt, er kjent. Derfor har hver funksjon et uendelig antall antideriverte.
  • Det er tre vanlige notasjonsmåter for inverse trigonometriske funksjoner. Funksjonen arcsinus, for eksempel, kan skrives som sin−1, asin eller, som brukt på denne siden, arcsin.
  • For hver integrasjonsformel for inverse trigonometriske funksjoner nedenfor er det en korresponderende formel i listen over integraler av inverse hyperbolske funksjoner.

Integrasjonsformler for arcsinusfunksjonen[rediger | rediger kilde]

\int\arcsin(a\,x)\,dx=
  x\arcsin(a\,x)+
  \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}}{a}+C
\int x\arcsin(a\,x)\,dx=
  \frac{x^2\arcsin(a\,x)}{2}-
  \frac{\arcsin(a\,x)}{4\,a^2}+
  \frac{x\sqrt{1-a^2\,x^2}}{4\,a}+C
\int x^2\arcsin(a\,x)\,dx=
  \frac{x^3\arcsin(a\,x)}{3}+
  \frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{1-a^2\,x^2}}{9\,a^3}+C
\int x^m\arcsin(a\,x)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arcsin(a\,x)}{m+1}\,-\,
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2\,x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)


\int\arcsin(a\,x)^2\,dx=
  -2\,x+x\arcsin(a\,x)^2+
  \frac{2\sqrt{1-a^2\,x^2}\arcsin(a\,x)}{a}+C
\int\arcsin(a\,x)^n\,dx=
  x\arcsin(a\,x)^n\,+\,
  \frac{n\sqrt{1-a^2\,x^2}\arcsin(a\,x)^{n-1}}{a}\,-\,
  n\,(n-1)\int\arcsin(a\,x)^{n-2}\,dx
\int\arcsin(a\,x)^n\,dx=
  \frac{x\arcsin(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\,
  \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}\arcsin(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\,
  \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arcsin(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

Integrasjonsformler for arccosinusfunksjonen[rediger | rediger kilde]

\int\arccos(a\,x)\,dx=
  x\arccos(a\,x)-
  \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}}{a}+C
\int x\arccos(a\,x)\,dx=
  \frac{x^2\arccos(a\,x)}{2}-
  \frac{\arccos(a\,x)}{4\,a^2}-
  \frac{x\sqrt{1-a^2\,x^2}}{4\,a}+C
\int x^2\arccos(a\,x)\,dx=
  \frac{x^3\arccos(a\,x)}{3}-
  \frac{\left(a^2\,x^2+2\right)\sqrt{1-a^2\,x^2}}{9\,a^3}+C
\int x^m\arccos(a\,x)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arccos(a\,x)}{m+1}\,+\,
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2\,x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)


\int\arccos(a\,x)^2\,dx=
  -2\,x+x\arccos(a\,x)^2-
  \frac{2\sqrt{1-a^2\,x^2}\arccos(a\,x)}{a}+C
\int\arccos(a\,x)^n\,dx=
  x\arccos(a\,x)^n\,-\,
  \frac{n\sqrt{1-a^2\,x^2}\arccos(a\,x)^{n-1}}{a}\,-\,
  n\,(n-1)\int\arccos(a\,x)^{n-2}\,dx
\int\arccos(a\,x)^n\,dx=
  \frac{x\arccos(a\,x)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,-\,
  \frac{\sqrt{1-a^2\,x^2}\arccos(a\,x)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\,
  \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arccos(a\,x)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

Integrasjonsformler for arctangensfunksjonen[rediger | rediger kilde]

\int\arctan(a\,x)\,dx=
  x\arctan(a\,x)-
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{2\,a}+C
\int x\arctan(a\,x)\,dx=
  \frac{x^2\arctan(a\,x)}{2}+
  \frac{\arctan(a\,x)}{2\,a^2}-\frac{x}{2\,a}+C
\int x^2\arctan(a\,x)\,dx=
  \frac{x^3\arctan(a\,x)}{3}+
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{6\,a^3}-\frac{x^2}{6\,a}+C
\int x^m\arctan(a\,x)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arctan(a\,x)}{m+1}-
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)


Integrasjonsformler for arccotangensfunksjonen[rediger | rediger kilde]

\int\arccot(a\,x)\,dx=
  x\arccot(a\,x)+
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{2\,a}+C
\int x\arccot(a\,x)\,dx=
  \frac{x^2\arccot(a\,x)}{2}+
  \frac{\arccot(a\,x)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C
\int x^2\arccot(a\,x)\,dx=
  \frac{x^3\arccot(a\,x)}{3}-
  \frac{\ln\left(a^2\,x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C
\int x^m\arccot(a\,x)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arccot(a\,x)}{m+1}+
  \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2\,x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

Integrasjonsformler for arcsecansfunksjonen[rediger | rediger kilde]

\int\arcsec(a\,x)\,dx=
  x\arcsec(a\,x)-
  \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C
\int x\arcsec(a\,x)\,dx=
  \frac{x^2\arcsec(a\,x)}{2}-
  \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C
\int x^2\arcsec(a\,x)\,dx=
  \frac{x^3\arcsec(a\,x)}{3}\,-\,
  \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,-\,
  \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,+\,C
\int x^m\arcsec(a\,x)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arcsec(a\,x)}{m+1}\,-\,
  \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

Integrasjonsformler for arccosecansfunksjonen[rediger | rediger kilde]

\int\arccsc(a\,x)\,dx=
  x\arccsc(a\,x)+
  \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C
\int x\arccsc(a\,x)\,dx=
  \frac{x^2\arccsc(a\,x)}{2}+
  \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}+C
\int x^2\arccsc(a\,x)\,dx=
  \frac{x^3\arccsc(a\,x)}{3}\,+\,
  \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,+\,
  \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}\,+\,C
\int x^m\arccsc(a\,x)\,dx=
  \frac{x^{m+1}\arccsc(a\,x)}{m+1}\,+\,
  \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2\,x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)