Tredjegradsligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Grafisk fremstilling av funksjonen . Den er null for , og .

En tredjegradsligning er en polynomligning av tredje grad i en variabel. Den har hatt stor betydning for utviklingen av moderne matematikk og var utgangspunktet for oppdagelsen av komplekse tall.

Ligningen har den generelle formen

hvor koeffisienten . De andre koeffisientene antas vanligvis å være hele eller rasjonelle tall. Ifølge algebraens fundamentalteorem har ligningen i alminnelighet tre røtter. Én vil alltid være et reelt tall, mens de to andre kan være reelle eller kompleks konjugerte. De er algebraiske løsninger som kan finnes ved bruk av de fire aritmetiske regningsartene pluss kvadratrot og kubikkrot. Dette ble vist av italienske matematikere under renessansen.

Beregning av røttene forenkles ved å ta utgangspunkt i en redusert form av tredjegradsligningen. Ved å innføre den nye variable , forenkles ligningen til

hvor

Hvis de opprinnelige koeffisientene er rasjonale tall, er derfor også de nye koeffisientene og rasjonale. I det spesielle tilfellet kan røttene uttrykkes ved kubikkroten av .

Røtter[rediger | rediger kilde]

Røttene til tredjegradsligningen kan betraktes som skjæringspunktene mellom den algebraiske kurven beskrevet ved funksjonen og -aksen som har ligningen . Når koeffisienten , vil når den variable , mens funksjonen går mot minus uendelig i den motsatte grensen. Den vil derfor ta en verdi mellom disse to grensene og har dermed alltid minst én reell rot. Det har den også for tilfellet .

Kalles de tre røttene for , og , kan funksjonen skrives som . De tre røttene er nødvendigvis ikke alle forskjellige. Ved å multiplisere sammen og sammenligne resultatet med den opprinnelige formen til funksjonen, finner man relasjonene

mellom koeffisientene i ligningen og dens røtter. Disse sammenhengene går tilbake til den franske matematiker François Viète.[1] Herav ser man at når for eksempel er den reelle roten, må og enten også være reelle eller eventuelt kompleks konjugerte av hverandre da koeffisientene i ligningen er reelle.

Diskriminanten[rediger | rediger kilde]

Sammenhengen mellom fortegnet til den reduserte diskriminanten og egenskapene til røttene.

Mer detaljert informasjon om røttene finnes fra diskriminanten til ligningen. For en tredjegradsligning er den gitt som

Den er symmetrisk under ombytte av de tre røttene og kan derfor uttrykkes ved de tre symmetriske kombinasjonene til Viète. På den måten kan man finne verdien av diskriminanten direkte fra koeffisientene ved bruk av formelen

For den reduserte ligningen er derfor diskriminanten når den reduserte diskriminanten skrives som

Fra definisjonen av diskriminanten kan man nå si følgende om egenskapene til røttene og illustrert i figuren:

: Tre reelle løsninger (tilfelle D).
: Én reell trippelrot (tilfelle A) eller én reell rot pluss én annen, reell dobbeltrot (tilfelle C).
: Én reell og to kompleks konjugerte løsninger (tilfelle B).

Verdien til de tre røttene kan alltid beregnes approksimativt ved bruk av numeriske metoder som det finnes mange av. Av større betydning er at røttene til tredjegradsligningen kan også finnes eksakt ved bruk av algebraiske formler.[2]

Historie[rediger | rediger kilde]

Interessen for tredjegradsligningen kom til Europa etter at den var studert av persiske og arabiske matematikere. Mest bemerkelsesverdig var de geometriske løsningene som Omar Khayyām skrev om på 1100-tallet. Knapt hundre år senere kunne den italienske matematiker Fibonacci gi en numerisk løsning av ligningen som var riktig med ni desimalers nøyaktighet. Det er uklart hvordan han kom frem til denne.[3]

Luca Pacioli omtalte i sitt store verk Summa helt på slutten av 1400-tallet løsningen av tredjegradsligningen som umulig og av samme type som det klassiske problemet med vinkelens tredeling. Denne negative omtalen av ligningen kunne kanskje virke inspirerende på andre. Og noen få år senere fant virkelig Scipione del Ferro en algebraisk løsning av den reduserte tredjegradsligningen uten at han bekjentgjorde det. Noe senere utviklet også Niccolò Tartaglia en algebraisk metode som Girolamo Cardano fikk høre om. Dette medførte at han ble kjent med metoden til del Ferro. Denne kunne han utvide til også å gi en løsning av den generelle ligningen. Alt dette presenterte han i sin bok Ars Magna slik at løsningen senere er blitt omtalt som Cardanos formel.[1]

Cardanos løsning[rediger | rediger kilde]

Tittelside av Cardanos Ars Magna.

I den reduserte ligningen skriver man . Da er ; slik at man må ha og . Ved nå å benytte at , vil og være de to løsningene av andregradsligningen . Dermed har man

hvor er den reduserte diskriminanten. En løsning av ligningen er derfor gitt som som kan regnes ut uten vanskeligheter når . På Cardanos tid var man ikke klar over hvor mange slike røtter man skulle forvente.

De to andre løsningene oppstår fra de komplekse kubikkrøttene som må tas med når og beregnes. De finnes fra ligningen som gir

På denne måten kan alle tre røttene skrives som

Hver av disse løsningene er konstruert slik at de oppfyller betingelsen som ligger til grunn for resultatet.

Casus irreducibilis[rediger | rediger kilde]

Når diskriminanten , må man beregne kubikkroten av et komplekst tall. Det kunne ikke Cardano gjennomføre og en slik ligning ble derfor sagt å være et «casus irreducibilis». Dette voldte stort bry, spesielt fordi denne klassen av ligninger skulle ha tre reelle røtter.[2] Et kjent eksempel er ligningen som ved inspeksjon har den reelle roten . Men fra Cardanos formel får man derimot

som man på hans tid ikke uten videre kunne gjøre noe med. Men det klarte Rafael Bombelli i 1550. Han var den første som fant ut hvordan man på en logisk konsistent måte kunne regne med slike størrelser som involverer kvadratrøtter av negative tall. Med disse nye regnereglene fant han at

som gir den første roten . De to andre røttene blir og . Det er fra denne beregningen at Bombelli regnes som opphavsmannen til komplekse tall.[4]

Viètes løsning[rediger | rediger kilde]

De tre reelle røttene som finnes for «casus irreducibilis» kan mer direkte beregnes ved en metode oppdaget av François Viète.[5] Fra arbeid med vinkelens tredeling kjente han til den trigonometriske relasjonen

Den har samme form som den reduserte ligningen hvis man kan foreta identifikasjonen for en passende verdi av konstanten . Innsatt i den reduserte ligningen tar denne den trigonometriske formen for den spesielle verdien som medfører at

Herfra kan så vinkelen finnes som gir løsningene

Dette er de tre reelle røttene i tilfellet som betyr at også . Resultatet er selvsagt i overensstemmelse med hva som følger fra Cardanos formel.

Metoden til Viète kan også brukes for tilfellet . Men da blir argumentene til de trigonometriske funksjonene komplekse og må erstattes med hyperbolske funksjoner.

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Et typisk eksempel er ligningen . Den fulle diskriminanten er slik at der er én reell rot og to kompleks konjugerte løsninger. Ved å skrive tar ligningen den reduserte formen .

Ved bruk av Cardanos metode setter man som gir den ønskede formen når . Da blir og . Det betyr at og er løsninger av andregradsligningen

som blir og . Den reelle roten er dermed

som så benyttes til å finne de to komplekse røttene som vist over.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
  2. ^ a b A. Holme, Matematikkens historie, Fagbokforlaget, Bergen (2002). ISBN 82-7674-678-0.
  3. ^ E. Brown and J.C. Brunson, Fibonacci's Forgotten Number, The College Mathematical Journal 39 (2), 112 - 120 (2008).
  4. ^ D. Cox, Galois Theory, John Wiley & Sons, New York (2012). ISBN 978-1-118-07205-9.
  5. ^ R.W.D. Nickalls, Viète, Descartes and the cubic equation, Mathematical Gazette, 90, 203–208 (2006).

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • C.B. Boyer, A history of mathematics, John Wiley & Sons Inc, New York (1968). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]