Gravitasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Bevegelsen til hver planet rundt Solen er bestemt av gravitasjonskrefter mellom disse himmellegemene.

Gravitasjon er et generelt fenomen hvor alle objekt med masse eller ren energi, fra de minste elementærpartikler til de største galaksehoper, trekkes eller graviterer mot hverandre. I vanlig dagligtale sier man at de er påvirket av en gravitasjonskraft. Sammen med den elektromagnetiske, svake og sterke kjernekraften utgjør den en av de fire fundamentale vekselvirkninger i Universet. Men den er mye svakere enn de tre andre og blir derfor med stor nøyaktighet vanligvis neglisjert i atom og kjernefysikk.

Derimot i den makroskopiske verden er gravitasjon avgjørende for livet på Jorden med dannelse av hav og fjell, vær og klima. Den er den dominerende kraft i dannelse av stjerner og planeter. Og det er Einsteins gravitasjonsteori som er grunnlaget for moderne kosmologi som beskriver egenskapene og utviklingen til hele Universet.

Historisk bakgrunn[rediger | rediger kilde]

Isaac Newton, 1642 - 1727.

Egenskapene til gravitasjon ble først matematisk formulert i 1687 av Isaac Newton som en attraktiv kraft mellom to masser. Newtons gravitasjonslov ga en forklaring av Keplers lover for planetenes bevegelse rundt Solen. Denne loven forklarer også like godt hvordan et eple faller ned mot Jorden som Månens bevegelse rundt denne og hvordan flo og fjære dermed oppstår. [1]

Mer nøyaktige observasjoner av planetenes bevegelser viste at deres baner hadde små avvik fra eksakte Kepler-ellipser som gravitasjonskraften fra Solen alene ville gi opphav til. Matematiske arbeid, som nådde sitt høydepunkt med Pierre-Simon Laplace i hans store verket Mécanique Céleste på begynnelsen av 1800-tallet, viste at disse perturbasjonene kunne forklares ved samme lov for de tilsvarende, men svakere gravitasjonskreftene mellom de enkelte planetene. Riktigheten av disse beregningene ble bekreftet i 1846 med oppdagelsen av planeten Neptun. I de følgende årene var det kun presesjonen av Kepler-ellipsen til planeten Merkur som ikke lot seg forklare ved den newtonske gravitasjonsteorien.

Etter at Albert Einstein i 1905 hadde formulert den spesielle relativitetsteorien, gikk han i gang med å inkludere gravitasjon i denne teorien hvor tid og rom er forent i et firedimensjonalt tidrom. Dette lyktes først i 1915 med etableringen av den generelle relativitetsteorien hvor han viste at tidrommet i allminnelighet har en ikke-euklidsk, riemannsk geometri. Tilstedeværelse av masse eller energi vil gi det en krumning som kan beregnes fra Einsteins feltligning. Alle partikler beveger seg fritt i dette rommet og følger geodetiske linjer. Det som i dagligtale omtales som en gravitasjonskraft, er dermed et resultat av tidrommets krumning. Teorien fikk sin første bekreftelse ved at den forklarte Merkurs perihelbevegelse.

Einsteins gravitasjonsteori forenkles til den newtonske teorien når de gravitasjonelle vekselvirkningene er små og alle bevegelser er mye mindre enn lyshastigheten. Men den forutsier også nye fenomen som gravitasjonell rødforskyvning, sorte hull og et ekspanderende Univers. Til dags dato er alle observasjoner og målinger i overensstemmelse med denne teorien.[2]

Newtonsk gravitasjon[rediger | rediger kilde]

Gravitasjonskraften mellom to kule-formete masser er gitt ved Newtons gravitasjonslov.

I dagliglivet på Jordens overflate merker man virkningen av gravitasjon ved at alle legemer faller nedover med en akselerasjon g som er omtrent 9.81  m/s2 på våre breddegrader. En masse masse m er dermed påvirket av en gravitasjonskraft F = mg. Er m = 1 kg, er kraften dermed F = 9.81 N.[3]

Denne kraften forklares ved Newtons gravitasjonslov som sier at to punktformige legemer med masser m og M som har en gjensidig avstand r , tiltrekkes med en kraft som er lik

hvor G er gravitasjonskonstanten. At kraften er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden, var det Newton viste var nødvendig for å forklare Keplers lover.[1]

Til beregning av gravitasjonskraften fra Jorden kan man ikke uten videre benytte Newtons lov da dens masse M ikke i det hele tatt kan sies å befinne seg i et punkt. Men Newton viste at når massen er fordelt symmetrisk over et endelig volum som er kuleformet, er det riktig å anta at hele massen er plassert i kulens sentrum. Dette er innholdet av Newtons skallteorem. En masse m med en utstrekning som er mye mindre enn Jordens radius R, kan også betraktes som punktformig. Gravitasjonskraften fra Jorden kan derfor uttrykkes ved tyngdeakselerasjonen

Setter man her inn verdiene for G, jordmassen M = 5.97×1024 kg og dens radius R = 6.37×103 km, kommer den målte verdien for g frem.

Denne gravitasjonskraften gir tyngde til alle legemer på Jordens overflate. En mer nøyaktig beregning av den fulle tyngdekraften må også ta hensyn til Jordens rotasjon. Den gir opphav til en sentrifugalkraft som vil gi et lite bidrag samtidig som den medfører at Jorden ikke er helt kuleformet, men er litt sammentrykt ved polene. Verdien av tyngdeakselerasjonen varierer dermed fra g = 9.79  m/s2 ved ekvator til 9.82  m/s2 ved polene hvor sentrifugalkraften ikke bidrar.

Gravitasjonspotensialet[rediger | rediger kilde]

Newtons gravitasjonslov sier at kraften mellom to kuleformete masser er tiltrekkende og rettet langs forbindelseslinjen mellom deres tyngdepunkt. Da dens størrelse avtar omvendt proporsjonalt med avstanden mellom disse, er kraften konservativ og varierer likedan som Coulomb-kraften mellom to elektrisk ladete partikler. Begge disse kreftene kan derfor skrives som gradienten av et potensial som varierer omvendt proporsjonalt med avstanden.

Da gravitasjonskraften mellom to masser alltid er attraktiv, mens den elektriske kraften mellom to ladninger med samme fortegn er frastøtende, vil gravitasjonspotensialet Φ ha motsatt fortegn. Utenfor en kuleformet masse som er plassert i origo, vil det derfor være

i en avstand r. Den tilsvarende tyngdeakselerasjonen kan finnes fra dette potensialet ved den fundamentale sammenhengen g = -  Φ og spiller samme rolle her som det elektriske feltet gjør i elektrostatikken. I dette enkle tilfellet blir den

hvor er = r/r er en enhetsvektor som peker bort fra massen M. Da en liten masse m vil bli påvirket av gravitasjonskraften F = mg, kan det være naturlig i analogi med det elektriske tilfellet å kalle g for gravitasjonsfeltet.[3]

Uansett formen eller opphavet til potensialet, vil det påvirke en partikkel og gi den en bevegelse som er gitt av Newtons andre lov,

Ligningen er uavhengig av massen til partikkelen fordi den inertielle massen er lik den gravitasjonelle massen. Det er den sentrale delen av ekvivalensprinsippet.

I en høyde z over jordoverflaten er gravitasjonspotensialet -GM/(R + z). Ved å anta at z << R, kan dette forenkles til

En rakett som skytes opp fra Jorden og følger bane D, har en hastighet som er større enn unnslipnings-hastigheten.

Da det første leddet på høyre side er en konstant, er potensialet i praksis likt med gz. Det tilsvarer at tyngdeakselerasjonen g i slike lave høyder effektivt kan ansees å være konstant. En liten masse m som befinner seg i dette potensialet har en potensiell energi mgz. Slippes den slik at den faller ned til z = 0, får den en hastighet v som er bestemt ved at denne energien går over i ren kinetisk energi (1/2)mv2. Det gir at v = √ (2gz) uavhengig av størrelsen til massen m som allerede vist av Galileo Galilei. For eksempel, hvis z = 5 m, får massen en hastighet på nesten 10 m/s når den treffer bakken.

I det motsatte tilfelle hvor massen m blir gitt så stor hastighet at den kan bevege seg fritt bort fra Jorden, må den gis en kinetisk energi som er større enn den potensielle energiforskjellen mGM/R. Hastigheten må derfor være større enn unnslipningshastigheten

som blir 11.2 km/s. Den er større for fra tyngre planeter, mens den er 2.3 km/s fra Månen. Når hastigheten er over denne grensen og ingen andre krefter virker på massen, vil den ikke bevege seg i en lukket ellipsebane, men i en åpen hyperbelbane.

Kontinuerlig massefordeling[rediger | rediger kilde]

Gravitasjonspotensialet fra flere massepunkt Mi  som befinner seg i posisjoner ri, kan finnes ved å summere opp bidragene fra hver av dem. Det totale potensialet i et punkt r er derfor

Dette kan brukes til å finne potensialet som skapes av en massefordeling med endelig utstrekning. Har den en massetetthet ρ, vil hvert lite volumelement dV = dx dy dz inneholde en tilsvarende liten masse dM = ρdV. Det totale potensialet kan så finnes ved å integrere over hele rommet,

Vanligvis ligger feltpunktet r utenfor massefordelingen. Men potensialet innefor kan også finnes fra det samme integralet selv om det da må beregnes med mer forsiktighet. Dette ble først undersøkt av Siméon Denis Poisson for omtrent to hundre år siden. Han fant at integralet er ekvivalent med en partiell differensialligning. Ved bruk av Laplace-operatoren kan den skrives som

og er siden blitt kalt for Poissons ligning. Den er en lokal utgave av Newtons gravitasjonslov og spiller i den sammenheng samme, viktige rolle som Gauss' lov har for det elektriske potensialet i elektrostatikken.[4]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b J.R. Lien og G. Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-8-2150-0005-3.
  2. ^ C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco (1973). ISBN 0-7167-0344-0.
  3. ^ a b P.A. Tipler, Physics, Worth Publishers Inc, New York (1982). ISBN 0-8790-1135-1.
  4. ^ E.T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity, Longman, Green and Co, London (1910).

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • G. Holton and S.G. Brush, Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond, Rutgers University Press, New Brunswick (2006). ISBN 0-8135-2907-7.