Roterende referansesystem

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

Et roterende referansesystem er et koordinatsystem som roterer relativt til et treghetssystem. Et dagligdags eksempel på et roterende referansesystem er overflaten på jorden.

Fiktive krefter[rediger | rediger kilde]

Alle ikke-treghetssystemer innehar fiktive krefter. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter:

og for ikke-uniforme roterende referansesystem

Forskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne Léon Foucault vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke Foucaults pendel. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86 sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende karusell.

Forhold mellom posisjoner i to referansesystem[rediger | rediger kilde]

For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene i det roterende referansesystemet og koordinatene i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om -aksen med vinkelfarten og de to referansesystemene samsvarer ved tiden , så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

og den reverse transformasjonen er

Dette resultatet får man ved å bruke en roasjonsmatrise.

Generell utledning i et roterende referansesystem[rediger | rediger kilde]

Dersom man har enhetsvektorene til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:

,

der . Så om vi da har en funksjon , og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

Der er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom roterer med samme fart som enhetsvektorene () så er .

Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene[rediger | rediger kilde]

Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

der vektoren peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema:

Bevis for ligningen[rediger | rediger kilde]

La oss tenke oss en vektor atreghet i treghetssystemet, og aroterende er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. Pt er posisjonen til vektoren a ved tiden t i treghetssystemet, Q er et punkt som har samme startposisjon som P0 (Q0 = P0) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .

Etter svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q0 Qδ t er

ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi

deriverer vi på tid får vi

og ser at

Forhold mellom akselerasjon i de to systemene[rediger | rediger kilde]

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

der er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet.

De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke Newton sin andre bevegelseslov , får vi

der er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.

Treghetsakslerasjonen kan man finne ut fra den totale fysiske kraften (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som elektromagnetisme) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.