Ikke-euklidsk geometri

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Atferd hos linjer med felles ortogonal linje i hver av de tre geometritypene.

I ikke-euklidsk geometri gjelder ikke Euklids femte aksiom, det såkalte parallellaksiomet (velger man å godta parallellaksiomet får man euklidsk geometri). Betegnelsen brukes generelt om geometri som bygger på andre aksiomer enn den euklidske.

Mer spesielt brukes betegnelsen om de geometrier hvor parallellaksiomet i den euklidske geometri er erstattet med et annet aksiom (som ikke står i strid med de øvrige euklidske aksiomer). Av disse ikke-euklidske geometrier finnes det to typer; den hyperbolske geometri, hvor det gjennom hvert punkt utenfor en rett linje kan trekkes uendelig mange paralleller til den gitte linjen, og den elliptiske geometri, hvor det ikke finnes noen parallell i det hele tatt. Førstnevnte geometritype stammer fra C. F. Gauss, J. Bólyai og N. Lobatsjevskij fra første tredjeldel av 1800-tallet. Den andre typen ble konstruert av B. Riemann noe senere.

Forskjellene mellom disse geometritypene kan også beskrives på en annen måte: betrakte de to linjene i et plan som begge står vinkelrett på en tredje linje. I euklidsk og hyperbolsk geometri er da de to linjene parallelle. I euklidsk geometri forblir imidlertid de to linjerne i en fast avstand, mens i hyperbolsk geometri "bøyer de av" fra hverandre med økende avstand i takt med at avstanden fra skjæringspunktet med den felles vinkelrette linjen øker. I elliptisk geometri "bøyer" linjene mot hverandre, og til slutt skjærer de hverandre; således eksisterer ingen parallelle linjer i elliptisk geometri.

I den euklidske geometri (av og til kalt parabolsk geometri) finnes det alltid én, og bare én, parallell. De ikke-euklidske geometriene representerer en viktig milepæl i matematikkens historie, idet de illustrerer at det finnes logisk konsistente geometriske systemer som tilsynelatende står i strid med de geometriske forestillinger vi får gjennom sanseerfaringer.

Historie[rediger | rediger kilde]

Mens euklidsk geometri (fått sitt navn etter den greske matematikeren Euklid) inkluderer noen av de eldste kjente matematiske teoremene, så drøyde det frem til 1800-tallet da den ikke-euklidske geometriens legitimitet ble allment akseptert. Debatten som til slutt ledet frem til oppdagelsen av ikke-euklidske geometrier begynte nesten så snart Euklids verk Elementene var klart. I Elementene forsøker Euklid å etablere et fullstendig logisk grunnlag for matematikken kjent ved hans æra. Hans arbeid begynte med et begrenset antall antagelser (kalt aksiom og postulat) og han forsøkte å bevise alle andre resultater (teoremer) i hans arbeid. Det mest velkjente postulatet kalles ofte Euklids femte postulat, eller simpelheten "parallellpostulatet", som i hans originalformulering er:

Sitat Om en rett linje skjærer to rette linjer på en slik måte at de indre vinklene på samme side tilsammen er mindre enn to rette vinkler, så møtes de rette linjene, om de forlenges i uendelighet, på den siden der vinklene er mindre enn en de to rette vinklene. Sitat
– Euklid av Alexandria

Enklere formuleringer av dette postulatet har blitt skrevet (se artikkelen om parallellpostulat for noen eksempler på ekvivalente påstander). Uansett hvordan det formuleres, betraktes det femte postulatet alltid å være mer komplisert enn Euklids øvrige postulater (som f.eks. inkluderer "Mellom to valgfrie punkter kan en rett linje trekkes").

I flere århundrer var geometrikere bekymret over det femte postulatets spesielle kompleksitet, og de trodde at det kunne bevises som et teorem ut av de øvrige fire. Mange forsøkte å finne et bevis gjennom selvmotsigelse, blant andre italieneren Giovanni Gerolamo Saccheri. I et verk med tittelen Euclides ab Omnio Naevo Vindicatus (Euklid befridd fra alle brister), publisert i 1733, forkastet han raskt elliptisk geometri som en mulighet (noen andre av Euklids aksiomer må modifiseres for at elliptisk geometri skal fungere) og satte igang å bevise et stort antall resultater i hyperbolsk geometri. Til slutt nådde han et punkt der han trodde at hans resultater viste motsigelser i systemet, og dermed beviste at hyperbolsk geometri er ulogisk. Hans argumentasjon om motsigelse bygget mest sannsynlig på euklidske antagelser, og derfor fantes ikke noen motsigelser i hans eget verk.

Ca. hundre år senere, i 1829, publiserte den russiske matematikeren Nikolaj Lobatjevskij en avhandling om hyperbolsk geometri. Derfor kalles hyperbolsk geometri noen ganger for Lobatjevskijsk geometri. Rundt samme tidspunkt skrev også ungareren Janos Bolyai en avhandling om hyperbolsk geometri. Denne ble publisert i 1832 som et frittstående tillegg til et av hans fars verk. Den store matematikeren Carl Friedrich Gauss leste tillegget og avslørte for Bolyai at han selv hadde utarbeidet samme resultat en eller annen gang tidligere. Den grunnleggende forskjellen mellom disse og tidligere arbeid, som Saccheris, er at de var de første som offentlig hadde påpekt at euklidsk geometri ikke var den endelige geometrien, og heller ikke var den unike mulige geometriske strukturen for universet. Imidlertid gjenstod ennå muligheten for at aksiomen for hyperbolsk geometri var logisk selvmotsigende.

Det behøvdes dog mer arbeid får å etablere elliptisk geometri. Bernhard Riemann grunnla under en berømt forelesning i 1854 feltet riemanngeometri, som spesielt diskuterte idéene som nå kalles mangfolder, riemannmetrikk og bøyning. Han konstruerte en uendelig familie av ikke-euklidske geometrier gjennom å gi en formel for en familie av riemannmetrikker på enhetskulen (mengden av punkter som har en avstand til origo mindre enn 1) i euklidske rom. Iblant overses deler av hans oppdagelser, men hans konstruksjoner viser at hans arbeid var langtgående, hans teorem er gjeldende for alle geometrier.

På en kule er ikke summen av vinklene i en trekant lik 180°. Kulens overflate er ikke et euklidsk rom, men lokalt følger kulen euklidsk geometri. I en liten trekant på overflaten av jordkloden er summen av vinklene veldig nær 180°.

Euklidsk geometri modelleres gjennom vårt begrep om et "flat plan". Den enkleste modellen for elliptisk geometri er en sfære, der linjer er "storsirkler" (som ekvator eller meridianer på en globus). Selv etter Lobatjevskijs, Gauss og Bolyais arbeid gjenstod spørsmålet: eksisterer det en slik modell for hyperbolsk geometri? Dette spørsmålet ble besvart av Eugenio Beltrami i 1864. Han beviste at et en overflate kalt pseudosfære har den passende krumningen for å modellere hyperbolsk geometri. Hans arbeid bygget direkte på Riemanns. Betydningen av Beltramis arbeid ligger i at han viste at hyperbolsk geometri er logisk motsigelsesfri dersom euklidsk geometri er det.

Utviklingen av ikke-euklidsk geometri viste seg å være svært viktig for fysikken1900-tallet. Albert Einsteins relativitetsteori beskriver rommet som allment flatt (dvs. euklidsk), men krummet (dvs. ikke-euklidsk) i regioner nærmere materie. Denne typen av geometri, der krumningen endres fra punkt til punkt, kalles pseudo-euklidsk geometri.

Kilder[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Se også[rediger | rediger kilde]