Laplace-operator

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk

I matematikk er Laplace-operatoren en differensiell vektor-operator definert som divergensen til gradienten til en funksjon i det Euklidske rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon skrives som regel som , eller , der er nabla-operatoren[1].

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Laplace-operatoren er en andreordens differensial operator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

Merk at må være to ganger deriverbar og at er definert ved:

Forskjellige koordinatsystem[rediger | rediger kilde]

Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.

To dimensjoner[rediger | rediger kilde]

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

der og er standard kartesiske koordinater i -planet.

I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

der er avstand fra origo og er vinkel i forhold til det man vil kalle -aksen i et kartesisk koordinatsystem.

Tre dimensjoner[rediger | rediger kilde]

I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

der , og er standard kartesiske koordinater i -rommet.

I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

der er avstand fra origo til projeksjonen i -planet, er vinkel i forhold til det man vil kalle -aksen i et kartesisk koordinatsystem, og er høyden.

I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

der er avstand fra origo og angir vinkelen.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Weisstein, Eric W. «Laplacian». Besøkt 15. september 2016.  From MathWorld--A Wolfram Web Resource.