Brøk

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En brøk er en måte å representere et tall på ved hjelp av divisjon. Tallet over brøkstreken kalles teller, og tallet under brøkstreken kalles nevner. Nevneren må være forskjellig fra null. Dersom teller er større enn nevner kalles brøken uekte, ellers kalles den ekte. En brøk hvor teller og nevner er heltall kalles et rasjonalt tall.

En brøk representerer det eksakte tallet man får ved å dividere telleren med nevneren. Eksemplet med \tfrac{2}{3} representerer dermed 2 : 3, som uttrykt med desimalbrøk er ca. 0,6667. Dette tallet kan faktisk ikke skrives helt nøyaktig som desimaltall, så en brøk kan være nyttig hvis man ønsker å beregne noe helt nøyaktig.

I algebraen opererer man også med brøker hvor teller og/eller nevner er bokstavuttrykk. Disse kalles rasjonale uttrykk.

En stambrøk er en brøk med teller lik 1, for eksempel \tfrac{1}{7}.

Ekte og uekte brøker[rediger | rediger kilde]

Man skiller ofte mellom ekte og uekte brøker, hvor ekte brøker alltid representerer et tall som er (numerisk) mindre enn 1, f.eks. \frac{2}{3}. Hvis telleren er større enn nevneren, representerer brøken et tall som er større enn 1, og da er det snakk om en uekte brøk.

Uekte brøker kan også skrives som et såkalt blandet tall. For eksempel er \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}, og som blandet tall skrives denne brøken som 1\frac{1}{2}.

Sammenlikning av brøker[rediger | rediger kilde]

Når man skal sammenlikne brøker, trenger man en minste felles nevner. Dermed kan man bare sammenlikne tellerne for å avgjøre om brøkene er like, eller hvilken som er størst og minst. Dette kan man oppnå ved utvidelse eller forkorting av brøkene.

Utvidelse[rediger | rediger kilde]

Utvidelse er den mest anvendelige metoden til å skaffe felles nevner. Ved å multiplisere («gange») telleren a og nevneren b med ett og samme tall, får man en "ny" brøk, som representerer samme tall som den opprinnelige brøken. Matematisk kan man skrive det slik:

\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}

Man sier da at brøken \frac{a}{b} er blitt utvidet med tallet c. I eksemplet under utvides brøken \frac{2}{5} med 3: For å skulle bruke utvidelse i sammenlegging av brøker må vi finne minste felles multiplum- det vil si det minste tallet som er delelig med alle nevnerne i det aktuelle tilfellet. Så utvider man brøkene slik at begge får en nevner lik dette.

\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}

Legg merke til at \frac{2}{5} og \frac{6}{15} begge representerer det samme tallet, nemlig 0,4.

Forkorting[rediger | rediger kilde]

Hvis man kan finne et tall. c som er delelig på både teller og nevner (dvs. begge tall kan deles med c uten at der blir en rest) kaller man dette for nevnernes største felles divisor. Man kan da dividere telleren og nevneren med dette tallet og få en ny brøk som stadig representerer samme tall som den opprinnelige brøken. Dette kalles å forkorte en brøk, og matematisk kan det skrives slik:

\frac{a}{b} = \frac{a : c}{b : c}

Brøken \frac{a}{b} sies å være forkortet med tallet c. I eksemplet under blir brøken \frac{6}{8} forkortet med 2:

\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}

Igjen ser man at både den opprinnelige brøken og resultatet av forkortelsen representerer samme tall, her 0,75.

Regneregler for brøk[rediger | rediger kilde]

Der fins en mengde regneregler som gjør det mulig å regne med brøker slik at man beholden den nøyaktige representasjon av tallene.

Addisjon og subtraksjon[rediger | rediger kilde]

Hvis de to brøkene har samme nevner, kan man uten videre legge dem sammen eller trekke dem fra hverandre ved å addere eller subtrahere tellerne, og bevare nevneren. Matematisk skrives dette slik:

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} hhv. \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

I eksemplet under beregnes summen av \frac{1}{5} og \frac{3}{5}:

\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{1 + 3}{5} = \frac{4}{5}

Etter addisjonen (subtraksjonen) kan det hende at den brøken man får til svar kan forkortes.

Hvis brøkene har ulike nevnere, blir det nødvendig å utvide den ene eller begge brøkene slik at de får like nevnere – brøkene representerer fremdeles de samme tallene selv om man utvider eller forkorter dem. Deretter kan de adderes eller subtraheres som nevnt over.

Man kan bruke produktet av de to nevnerne som felles nevner:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

Legg merke til at den første brøken utvides med nevneren til den siste, og den siste brøken utvides med nevneren til den første. Dermed blir nevnerne nevnerne b · d og d · b, som jo er like.

I eksemplet under adderes brøkene \frac{1}{2} og \frac{1}{3}:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

I det siste eksemplet subtraheres to brøker. Som fellesnevner velges her et tall som er mindre enn produktet av de opprinnelige nevnerne, men likevel blir det til slutt mulig å forkorte brøken:

\frac{5}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{25}{30} - \frac{3}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}

Multiplikasjon[rediger | rediger kilde]

Man multipliserer («ganger») to brøker med hverandre ved å multiplisere tellerne for seg og nevnerne for seg:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Resultatet etter multiplikasjonen kan muligens forkortes.

I dette eksempel multipliseres brøkene \frac{3}{5} og \frac{1}{4}:

\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{3}{20}


Resiproke brøker[rediger | rediger kilde]

Man finner den resiproke til en brøk ved ganske enkelt at bytte om på brøkens teller og nevner:

\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}

For eksempel er den resiproke brøken til \frac{3}{4} lik \frac{4}{3}. Denne uekte brøken kan forøvrig skrives som et blandet tall: 1\frac{1}{3}.

Divisjon[rediger | rediger kilde]

Generelt gjelder at man kan dividere to tall ved at multiplisere dividenden med det resiproke tallet til divisoren, altså a : b = a \cdot \frac{1}{b}. Dette kan også brukes til divisjon av brøker, hvor beregningen ser slik ut:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Skal man f.eks. dividere \frac{4}{5} med \frac{2}{3}, foregår det på denne måten:

\frac{4}{5} : \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{10}

Denne uekte brøken kan forkortes til \frac{6}{5}. og skrives som et blandet tall: 1\frac{1}{5}.

Brudden brøk[rediger | rediger kilde]

En brøk hvor teller og/eller nevner selv er en brøk kalles en brudden brøk. I eksempelet nedenfor kalles \frac{a}{b} og \frac{c}{d} for småbrøker, a og c for småtellere og b og d for «smånevnere». Brøkstreken mellom \frac{a}{b} og \frac{c}{d} kalles for hovedbrøkstrek. Brøken kan omregnes ved å omgjøre hovedbrøkstreken til divisjonstegn og bruke framgangsmåten for divisjon av brøker.

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d}   = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Røtter og potenser[rediger | rediger kilde]

Man kan trekke n-te-roten av en brøk ved å trekke den samme roten av både teller og nevner:

\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

For eksempel kan man ta kvadratroten (n = 2) av \frac{9}{16} slik:

\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}

Tilsvarende gjelder for den n-te potensen av en brøk:

\left( \frac{a}{b} \right) ^n = \frac{a^n}{b^n}

Logaritmer[rediger | rediger kilde]

Da en brøk egentlig er en divisjon, gjelder logaritmeregnereglen for divisjon også for en brøk. Altså er:

log \frac{a}{b} = \log a - \log b

Brøk som eksponent[rediger | rediger kilde]

Hvis en brøk opptrer som eksponenten i en potens (med positivt grunntall), kan uttrykket omskrives til en rot etter følgende prinsipp:

10^\frac{3}{5} = \left( \sqrt[5]{10} \right) ^3 eller 10^\frac{3}{5} = \sqrt[5]{10^3} = \sqrt[5]{1000}

Desimaltall, prosent og promille[rediger | rediger kilde]

Et desimaltall (tidligere kalt desimalbrøk) er en alternativ måte å skrive en brøk på under forutsetning av at nevneren er et dekadisk tall (1 med et visst antall nuller bak, for eksempe 10, 100, 1 000. I ett desimaltall benytter man posisjonene etter komma i vårt titalssystem kalt desimaler:

Brøken \frac{7}{10}, \frac{3}{100}, \frac{37}{1 000} kan skrives på formen 0,7; 0,03 eller 0,037.

Periodiske desimaltall[rediger | rediger kilde]

Også periodiske desimaltal er rasjonale tall og kan skrives på brøkform:

12,\!123123... = 12 + 0,\!123123... = 12 + \frac{123}{999} = 12\frac {41} {333}

(sett a = 0,123123... så er 1 000a (= 123,123123... = 123 + 0,123123...) = 123 + a).

Prosent og promille[rediger | rediger kilde]

Prosent og promille er en annen måte å uttrykke desimalbrøk på: «Prosent» er hundredeler, og ordet betyr direkte oversatt «per hundre». Dermed er 20% = \frac{20}{100}. Tilsvarende betyr «promille» direkte oversatt «per tusen», og 3 ‰ er det samme som \frac{3}{1000}.

For svært små andeler – f.eks. i forbindelse med forurensninger og miljøgifter – brukes tilsvarende ppm («parts per million») for milliondeler og ppb («parts per billion») for milliarddeler. («Billion» er den engelske betegnelsen for det som på norsk heter «milliard», mens en «norsk» billion er 1000 milliarder.)

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]