Geodetisk kurve

Geodetiske linjer på Jordkloden er storsirkler.

En geodetisk kurve eller geodetisk linje er en kurve som følger den korteste veien mellom to punkt på en flate eller i et rom. Det er en utvidelse av begrepet rett linje i euklidsk geometri til tilsvarende linjer i mer generelle mangfoldigheter. På en kule som Jordens overflate vil en geodetisk kurve være en del av en storsirkel. Navnet kommer fra det greske ordet for utmåling av Jorden. Den heter der gaïa og opptrer også i ordet geografi.

Beregning av geodetiske kurver er mulig når metrikken eller avstanden mellom forskjellige punkt er kjent. Spesielt viktig er de i riemannsk geometri som kuleflaten er et eksempel på. Her er metrikken gitt ved en tensor som gir avstanden mellom nærliggende punkt. Disse kan så kombineres til å gi avstanden mellom to punkt med vilkårlig avstand. Ved bruk av variasjonsregning kan herav linjen med den korteste lengden finnes.

I mekanikken vil en partikkel som ikke er påvirket av noen krefter, bevege seg langs en geodetisk kurve. Det er innholdet av Newtons første lov. Men det gjelder også i generell relativitetsteori hvor lys og partikler følger slike baner. Planetene i sine bevegelser rundt Solen går i ellipser som er geodetiske kurver i det firedimensjonale tidrommet krummet av massen til Solen.

Matematisk definisjon

En kurve i et koordinatsystem x = (x¹, x², ... ) kan beskrives ved å la alle koordinatene variere med en parameter λ. I kompakt notasjon kan den derfor angis som x = x(λ). Kurven er geodetisk hvis dens lengde L  mellom to punkt som tilsvarer parameterverdiene λ₁  og λ₂, er minst mulig. Da må den ha den egenskapen at denne lengden kan skrives som

$L(\lambda _{1},\lambda _{2})=v(\lambda _{2}-\lambda _{1})$

hvor v  er en konstant som tilsvarer en hastighet i mekanikken. Parameteren λ kan derfor ikke være vilkårlig, men sies å være affin. Den har den egenskapen at da vil også λ'  = aλ + b  hvor a og b er konstanter, være en affin parameter, men med en annen verdi for konstanten v. Man kan velge å bruke kurvens egen buelengde s  som parameter, noe som tilsvarer at v = 1. Dette omtales vanligvis som en «naturlig parametrisering». I klassisk mekanikk er tiden en slik affin parameter, mens i relativitetsteorien har egentiden for en partikkel denne egenskapen.

Parallellitet

Tangenten til en rett linje i det euklidske rommet forandrer ikke retning langs kurven. For den mer generell kurven x = x(λ) er tangenten i hvert punkt u = d x/dλ = u^μ e_μ  hvor komponentene u^μ = dx^μ/dλ  med basisvektorene e_μ. Man kan nå definere den geodetiske linjen i et krumt rom ved å forlange på samme måte at denne vektoren forblir konstant langs kurven, det vil si at d u/dλ = 0. Uttrykt ved den kovariante deriverte kan dette kravet omskrives til

${d\mathbf {u} \over d\lambda }={\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {u} }\mathbf {u} =\left({du^{\mu } \over d\lambda }+\Gamma _{\;\alpha \beta }^{\mu }u^{\alpha }u^{\beta }\right)\mathbf {e} _{\mu }=0$

hvor Γ^μ_αβ  utgjør de affine konneksjonskoeffisientene for denne parametriseringen. De kan skrives som Christoffel-symbol av det andre slaget som uttrykkes ved de deriverte av de metriske komponentene. Her brukes Einsteins summekonvensjon hvor man summerer over all like indekser. For at ligningen alltid skal være oppfylt, må innholdet i parentesen være null. Derfor må kurven tilfredsstille kravet

${d^{2}x^{\mu } \over d\lambda ^{2}}+\Gamma _{\;\alpha \beta }^{\mu }{dx^{\alpha } \over d\lambda }{dx^{\beta } \over d\lambda }=0.$

Denne differensialligningen av andre orden kalles for den geodetiske ligningen. Men den gjelder for hver koordinatene og gir derfor opphav til like mange ligninger som dimensjonen til rommet kurven befinner seg i.

Variasjonsberegning

I et rom utstyrt med en metrisk tensor g_μν(x)  er avstanden mellom to nærliggende punkt x^μ  og x^μ  + d x^μ  gitt ved linjeelementet

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$

Lengden av en kurve x = x(λ)  som forbinder to punkt 1 og 2 er derfor

$L=\int _{1}^{2}\!ds=\int _{1}^{2}\!d\lambda {\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}$

hvor ${\dot {x}}^{\mu }=dx^{\mu }/d\lambda$. Den kurven med den minste lengden kan nå beregnes ved bruk av variasjonsregning. Resultatet vil da være en kurve x = x(λ)  som er den geodetiske linjen som forbinder disse to gitte punktene.

Beregningen vil være avhengig av hvilke koordinater og hvilken parametrisering man benytter. Dette kan illustreres ved oppgaven å finne en geodetisk linje i det euklidske planet ved bruk av polarkoordinater (r, θ). Linjeelementet er da $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$ slik at variasjonsproblemet blir

$L=\int _{1}^{2}\!d\lambda {\sqrt {{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}}}$

Løsningen vil da være gitt ved å finne de to funksjonene r = r(λ)  og θ = θ(λ) som gir den minimale verdien for dette integralet. Men her kan løsningen mer direkte finnes ved å beskrive kurven ved den ene funksjonen r = r(θ)  eller som θ = θ(r). I det siste tilfellet kan r  betraktes som parameter og variasjonsproblemet forenkles til

$L=\int _{1}^{2}\!dr{\sqrt {1+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}}}$

hvor nå ${\dot {\theta }}=d\theta /dr$. Kalles integranden for F, vil den tilsvarende Euler-Lagrange-ligningen

${\partial F \over \partial \theta }-{d \over dr}{\Big (}{\partial F \over \partial {\dot {\theta }}}{\Big )}=0$

forenkles til

${d \over dr}\left({r^{2}{\dot {\theta }} \over {\sqrt {1+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}}}}\right)=0.$

Innholdet i parantesen er derfor en konstant. Kalles denne b, er problemet redusert til ligningen

${d\theta \over dr}={b \over r{\sqrt {r^{2}-b^{2}}}}$

Setter man her r = b/u, forenkles denne til

${d\theta \over du}=-{1 \over {\sqrt {1-u^{2}}}}$

som ved direkte integrasjon gir løsningen θ = arccosu + θ₀  der θ₀  er en integrasjonskonstant. Den geodetiske kurven er derfor gitt ved ligningen

$r\cos(\theta -\theta _{0})=b$

Som ventet beskriver denne en rett linje hvor b  er avstanden fra origo til dens nærmeste punkt som ligger i retning θ₀. Disse to integrasjonskonstantene kan bestemmes ut fra koordinatene til begynnelsespunktet 1 og sluttpunktet 2 til kurven. Akkurat denne beregningen hadde naturligvis vært enklere i et kartesisk koordinatsystem.

Geodetisk ligning

For en vilkårlig parametrisering av kurven, må variasjonen av kurvelengden δL = 0. Man kan da innføre «energien» til kurven definert ved $E=(1/2)g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }$ i analogi med kinetisk energi for en partikkel i mekanikken. Den geodetiske linjen har derfor minimal energi.

Det matematiske problemet kan da omformes til

$\delta L=\delta \int _{1}^{2}\!d\lambda {\sqrt {2E}}=\int _{1}^{2}\!d\lambda {\delta E \over {\sqrt {2E}}}=0$

Hvis man nå velger en naturlig parametrisering av kurven slik at E = 1/2, vil det bety at man bruker dens buelengde s som parameter. Dermed forenkles variasjonsproblemet til

$\delta E={1 \over 2}\int _{1}^{2}\!ds\delta (g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })=0$

Euler-Lagrange-ligningen $\partial E/\partial x^{\alpha }=(d/ds)\partial E/\partial {\dot {x}}^{\alpha }$ tar da formen

${\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\alpha }}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }=2{d \over ds}(g_{\mu \alpha }{\dot {x}}^{\mu })=2g_{\mu \alpha }{\ddot {x}}^{\mu }+2{\partial g_{\mu \alpha } \over \partial x^{\nu }}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }=2g_{\mu \alpha }{\ddot {x}}^{\mu }+{\Big (}{\partial g_{\mu \alpha } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\nu \alpha } \over \partial x^{\mu }}{\Big )}{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }$

etter å ha symmetrisert det siste leddet. Det gir den geodetiske ligningen

${d^{2}x^{\beta } \over ds^{2}}+\Gamma _{\;\mu \nu }^{\beta }{dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}=0$

hvor

$\Gamma _{\;\mu \nu }^{\beta }={1 \over 2}g^{\beta \alpha }{\Big (}{\partial g_{\mu \alpha } \over \partial x^{\nu }}+{\partial g_{\nu \alpha } \over \partial x^{\mu }}-{\partial g_{\mu \nu } \over \partial x^{\alpha }}{\Big )}$

er Christoffel-symbolet av andre sort. Dette er symmetrisk i de to nedre indeksen. Den geodetiske ligningen tar denne formen bare ved en affin parametrisering.

Den geodetiske ligningen er vanligvis vanskelig å løse for en gitt metrikk bortsett fra i det trivielle tilfellet der alle Christoffel-symbolene er null. Da har ligningen rette linjer som løsninger. Men det er også tilfelle i det mer generelle tilfellet at koordinatene er slik valgt at Christoffel-symbolene har formen

$\Gamma _{\;\mu \nu }^{\beta }=\delta _{\mu }^{\beta }a_{\nu }+\delta _{\nu }^{\beta }a_{\mu }$

for vilkårlige funksjoner a_μ(x). Da gir ligningen at den andrederiverte d²x^β/ds² er proporsjonal med tangenten dx^β/ds som betyr at den geodetiske kurven er en rett linje.

Hyperbolsk plan

I praktiske anvendelser er det vanligvis ikke nødvendig å bestemme eller kjenne Christoffel-symbolene. De tilsvarende Euler-Lagrange-ligningene gir disse automatisk. Som en illustrasjon kan man beregne de geodetiske kurvene i det hyperbolske planet. Ved bruk av polarkoordinater kan det beskrives ved metrikken

$ds^{2}=dr^{2}+\sinh ^{2}\!r\,d\phi ^{2}$

når den radielle koordinaten gjøres dimensjonsløs. En sirkel med sentrum i origo og radius r  har derfor omkretsen 2π sinhr. Forholdet mellom denne og radius er derfor ikke konstant i dette planet, men er alltid større enn 2π .

Energifunksjonen for en kurve med affin parametrisering i det hyperbolske plan er nå $E=(1/2)({\dot {r}}^{2}+\sinh ^{2}\!r\,{\dot {\phi }}^{2})$. Da den er uavhengig av vinkelen φ, er denne en syklisk variabel. Derfor er $\partial E/\partial {\dot {\phi }}=\sinh ^{2}r{\dot {\phi }}$ en konstant som man kan kalle k. Euler-Lagrange-ligningen for denne variable gir derfor

${\dot {\phi }}={k \over \sinh ^{2}r},$

mens den radielle variable må oppfylle den mer kompliserte ligningen

${\ddot {r}}=\sinh r\cosh r\,{\dot {\phi }}^{2}.$

Ved å betrakte denne variable som en funksjon av φ, kan man sette

${d \over ds}={k \over \sinh ^{2}r}{d \over d\phi }$

Den radielle Euler-Lagrange-funksjonen tar da formen

${d \over d\phi }\left({1 \over \sinh ^{2}r}{dr \over d\phi }\right)=\coth r$

Den forenkles ved å innføre u = cothr  som fører til

${d^{2}u \over d\phi ^{2}}+u=0$

som er den harmoniske svingeligningen. Den generelle løsningen kan skrives som u = (1/b) cos(φ - φ₀)  hvor b og φ₀  er integrasjonskonstanter. En geodetiske linje i det hyperbolske planet vil derfor ha formen

$\tanh r\cos(\phi -\phi _{0})=b$

i polarkoordinater. Den vil ikke se ut som en rett linje når den blir plottet på et stykke papir bortsett fra for små verdier av r. Samme fenomen er kjent i all kartografi når en krum flate avbildes på et plan.

Poincaré-koordinater

I Poincarés modell for det hyperbolske planet avbildes det til øvre halvdel av xy - planet med metrikken

$ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}$

Den tilsvarende energien $E=({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})/2y^{2}$ er uavhengig av koordinaten x slik at $\partial E/\partial {\dot {x}}={\dot {x}}/y^{2}$ er lik med en konstant k. Med naturlig parametrisering er E = 1/2 slik at man med en gang får den andre Euler-Lagrange-ligningen på formen

${dy \over dx}={1 \over ky}{\sqrt {1-k^{2}y^{2}}}$

Etter en direkte integrasjon gir den ligningen

$(x-a)^{2}+y^{2}={1 \over k^{2}}$

hvor a  er en integrasjonskonstant, for de geodetiske linjene. Disse består derfor av halvsirkler i det øvre halvplanet med sine sentra på x-aksen.

Kuleflate

Mens det hyperbolske planet har gaussisk krumning K = - 1, har kuleflaten krumning K = 1. Med bruk av kulekoordinater (θ,φ)  er den beskrevet ved linjeelementet

$ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\phi ^{2}$

når dens radius settes lik r = 1. Velger man å beskrive en kurve på denne flaten som φ = φ(θ), er lengden gitt ved integralet

$L=\int _{1}^{2}\!d\theta {\sqrt {1+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}}}$

hvor ${\dot {\phi }}=d\phi /d\theta$. Integranden F  er uavhengig av parameteren φ  slik at

$\partial F/\partial {\dot {\phi }}={\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }} \over {\sqrt {1+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}}}}$

er en konstant k  for en geodetisk linje. Det gir differensialligningen

${d\phi \over d\theta }={k/\sin ^{2}\theta \over {\sqrt {1-k^{2}/\sin ^{2}\theta }}}$

Ved å innføre den nye variable $u=a\cot \theta$ hvor $a=k/{\sqrt {1-k^{2}}}$, omformes den til

${d\phi \over du}=-{1 \over {\sqrt {1-u^{2}}}}$

med løsningen $\phi =\arccos u+\phi _{0}$ hvor $\phi _{0}$ er en integrasjonskonstant. Den geodetiske linjen består dermed av punkter som oppfyller

$a\cot \theta =\cos(\phi -\phi _{0})$.

Når den uttrykkes ved de omliggende, kartesiske koordinatene $x=\sin \theta \cos \phi ,y=\sin \theta \sin \phi$ og $z=\cos \theta$, tar den formen

$az=x\cos \phi _{0}+y\sin \phi _{0}$

og beskriver et plan gjennom origo hvor kulens sentrum ligger. De geodetiske linjene er derfor storsirkler som fremkommer som skjæringspunktene mellom dette planet og kuleflaten.

Man kan skrive om løsningen til $\tan \theta \cos(\phi -\phi _{0})=a$. Sammenlignes dette med ligningen for linjene i det hyperbolske planet, har man her tanθ i stedet for tanhr. På kuleflaten kan radius r  identifiseres med θ. Det er typisk at man i hyperbolsk geometri har resultat som kan fås fra sfærisk geometri ved å erstatte trigonometriske funksjoner med de tilsvarende hyperbolske funksjonene.

Generell relativitetsteori

I Einsteins generelle relativitetsteori foregår all fri bevegelse langs geodetiske linjer. Metrikken er bestemt ved å løse gravitasjonsligningene hvor masse og energi inngår som kilder. Den mest kjente løsningen av disse ligningene gjelder utenfor en sentral mass M. Med bruk av kulekoordinater kan denne Schwarzschild-metrikken skrives som

$ds^{2}=c^{2}\left(1-2GM/rc^{2}\right)dt^{2}-{dr^{2} \over 1-2GM/rc^{2}}-r^{2}d\Omega ^{2}\,$

c  er lyshastigheten, G  er gravitasjonskonstanten og den angulære delen er skrevet som $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}$. For $r=2GM/c^{2}$ blir første ledd lik null, noe som definerer en «horisont» som karakteriserer egenskaper ved et sort hull. For mindre verdier av den radielle koordinaten er den geodetiske bevegelse rettet ubønnhørlig mot singulariteteten i r = 0. Utenfor horisonten i den ikke-relativistiske grensen beskriver den geodetiske ligningen den mer vanlige Kepler-bevegelse i form av ellipser.

Rindler-metrikken

En enklere metrikk i generell relativitetsteori beskriver geometrien utenfor en uendelig stor, plan masse. Denne gir en konstant tyngdeakselerasjon g rettet vinkelrett på dette planet. Tas denne retningen som z-aksen, er løsningen av gravitasjonsligningene gitt ved Rindler-metrikken

$ds^{2}=(c+gz/c)^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

Første ledd blir her null for z = - c²/g  som igjen signaliserer eksistensen av en horisont.

De geodetiske ligningene i x- og y-retning blir trivielle, noe som viser at de ikke er direkte påvirket av tyngdefeltet. Derimot i z-retning er energien

$E={1 \over 2}{\Big (}c+gz/c{\Big )}^{2}{\dot {t}}^{2}-{1 \over 2}{\dot {z}}^{2}.$

Da den er uavhengig av tiden t, er $\partial E/\partial {\dot {t}}={\dot {t}}(c+gz/c)^{2}=$ konstant. Den geodetiske ligningen for koordinaten z  kan nå omskrives til

${d \over dt}\left[\left({1 \over 1+gz/c^{2}}{dz \over dt}\right)^{2}\right]=-{g \over 1+gz/c^{2}}$

Ved å innføre $u=1/(1+gz/c^{2})$ som ny variable, tar denne ligningen en enklere form som direkte lar seg integrere. Den generelle løsningen for den geodetiske linjen blir da

${\Big (}1+{gz \over c^{2}}{\Big )}\cosh {g \over c}(t-t_{0})=K$

hvor $t_{0}$ og $K$ er integrasjonskonstanter. De avhenger av grensebetingelsene. Men uansett hvordan disse er, vil en partikkel i dette tyngdefeltet bli drevet mot horisonten z = - c²/g  når tiden t → ∞. På den måten har metrikken visse likheter med et sort hull.

I den ikke-relativistsiske grensen hvor t - t₀ << c/g forenkles denne løsningen av geodetiske ligningen til

$z=-{1 \over 2}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}$

hvor v₀  og z₀  kan uttrykkes ved konstantene K  og t₀. Dette viser den vanlige parabelbanen som er karakteristisk for fritt fall i et konstant gravitasjonsfelt.

Litteratur

• B. O'Neill, Elementary Differential Geometry, Academic Press, New York (1966). ISBN 0-12-088735-5.
• E. Kreyzig, Differential Geometry, Dover Publications, New York (1991). ISBN 0-486-66721-9.