Lagrangemekanikk

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Lagrange-mekanikk er en mer generell formulering av klassisk mekanikk enn den som ble innført av Isaac Newton. I stedet for en formulering av bevegelseslovene for et mekanisk system uttrykt ved akselerasjonen forårsaket av alle krefter som virker på det, viste den franske fysiker og matematiker Joseph Louis Lagrange i 1788 ut fra d'Alemberts prinsipp at de kan utledes fra en skalar funksjon av systemets uavhengige variable og deres tidsderiverte. Denne funksjonen kalles i dag for Lagrange-funksjonen. For et system med en veldefinert kinetisk energi T og og potensiell energi V er Lagrange-funksjonen L = T - V.

Et generelt system kan beskrives ved N uavhengige variable eller generelle koordinater q = (q1, q2, ... , qN). Disse behøver ikke å være komponenter av forskjellige posisjonsvektorer, men kan for eksempel oppstå ved bruk av ikke-kartesiske koordinatsystem. Lagrange-funksjonen er da av formen

 L =  L(q,\dot{q},t)

hvor de tidsderiverte er \dot{q} = \frac{dq}{dt}. Den klassiske bevegelsen er nå gitt som løsningen av differensialligningen

 {d\over dt} \left({\part L\over\part \dot{q}_n}\right) - {\part L\over\part q_n}  = 0

som kalles Euler-Lagrange-ligningen. Den var tidligere blitt utledet av Leonhard Euler og Lagrange i forbindelse med løsning av forskjellige optimaliseringsproblem ved bruk av variasjonsregning.

Men det var den irske fysiker og matematiker William Rowan Hamilton som på midten 18-hundreårstallet viste at den samme ligningen kan utledes fra et virkningsprinsipp. Han innførte en ny definisjon av begrepet mekanisk virkning. For en bevegelse av systemet fra en gitt tilstand A til en senere tilstand B er virkningen definert ved integralet

 S =  \int_A^B\! dt L(q,\dot{q},t)

hvor L er Lagrange-funksjonen for systemet. Den klassiske bevegelsen følger en bane hvis virkning skal ha et ekstremum, vanligvis et minimum. Under små variasjoner δq rundt denne klassiske banen er virkningen derfor stasjonær, det vil si at den resulterende variasjon

 \delta S = 0 .

Ved bruk av standard variasjonsregning finner man da at den klassiske bevegelsen må oppfylle Euler-Lagrange-ligningen. Dette virkningsprinsippet kalles vanligvis i dag for Hamiltons virkningsprinsipp og spiller en fundamentalt viktig rolle i moderne fysikk. Ofte blir det omtalt som prinsippet om minste virkning selv om det navnet noen ganger kan være misvisende.

Lagrange-mekanikk kan også brukes til beskrivelse av kontinuerlige systemer og felt. Lagrange-funksjonen er da gitt som et volumintegral over en Lagrange-tetthet. Moderne kvantefeltteorier formuleres alle på denne måten.

Generelle koordinater[rediger | rediger kilde]

Newtons andre lov er vanligvis formulert i et kartesisk koordinatsystem hvor hver partikkel er angitt ved en posisjonsvektor r = r(t) og en tilsvarende hastighet v = dr/dt, hver med tre komponenter. Den deriverte av hastigheten er akselerasjonen a = dv/dt som er proporsjonal med kraften F som virker på denne partikkelen. Bevegelsesligningene F = ma blir da andre ordens differensialligninger for hver av kompontene for posisjonsvektoren r. I utgangspunktet er derfor bevegelsen til en partikkel karakterisert ved tre variable eller frihetsgrader. Men disse variable er ikke alltid uavhengige av hverandre.

Ofte kan det være vanskelig å utlede bevegelsesligningene fordi mange av kreftene som inngår, er føringskrefter som må innføres for at bevegelsen skal oppfylle gitte krav. Dette kan for eksempel være at partikkelen skal bevege seg på en bestemt flate eller i en gitt avstand fra et fiksert punkt. Det ville være enklere å kun benytte de variable som trenges for å angi tillatte posisjoner slik at føringskreftene ikke lenger inngår i problemet. Dette kalles generaliserte koordinater og deres antall er det effektive antall av frihetsgrader.

For eksempel vil enden til en pendel med lengde $a$ som svinger i xy-planet ha en posisjon r(t) = (x(t),y(t) = a (sinθ,cosθ) hvor vinkelen θ er utslaget fra y-aksen. Dette er derfor den generaliserte koordinaten for pendelen som dermed har bare en frihetsgrad. En partikkel som beveger seg på en gitt flate, vil derimot ha to frihetsgrader som er dens koordinater på flaten.

Kinematiske relasjoner[rediger | rediger kilde]

I alminnelighet tenker vi oss at systemet kan beskrives ved N generaliserte koordinater q = (q1, q2, ... qN). Betrakter vi partikkel angitt ved indeks a, vil den da ha posisjonsvektor

 \mathbf{r}_a = \mathbf{r}_a(q_1, q_2, \cdots , q_N,t).

når man tillater at denne sammenhengen i alminnelighet også kan være eksplisitt avhengig av tiden t. Hastigheten til partikkelen kan derfor skrives som

 \dot{\mathbf{r}}_a = {d\mathbf{r}_a\over dt} =  \sum_n {\part\mathbf{r}_a\over\part q_n} \dot{q}_n  
                    + {\part\mathbf{r}_a\over\part t}.

Herfra finner man nå at

 {\part\dot{\mathbf{r}}_a\over\part\dot{q}_n} =  {\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}.

Prikkene fra tidsderivasjonene ser ut til å ha kansellert hverandre. Dette resultatet benyttes nå til å omskrive det skalare produktet

  \dot{\mathbf{r}}_a\cdot {\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}  =   \dot{\mathbf{r}}_a\cdot  {\part\dot{\mathbf{r}}_a\over\part\dot{q}_n}
                 = {1\over 2} {\part\dot{\mathbf{r}}_a^2\over\part\dot{q}_n}.

Via det tidsderiverte uttrykket

  {d\over dt}\sum_a m_a \dot{\mathbf{r}}_a\cdot {\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}  
                = {d\over dt} \Big[{\part\over\part\dot{q}_n}\Big(\sum_a  {1\over 2} m_a\dot{\mathbf{r}}_a^2\Big)  \Big] 
                 = {d\over dt}\Big({\part T\over\part\dot{q}_n}\Big)

har man dermed etablert en forbindelse med den kinetiske energien,

 T = {1\over 2} \sum_a m_a \dot{\mathbf{r}}_a^2,

til alle partiklene i systemet.

En lignende relasjon kan også utledes fra den deriverte

 {\part\dot{\mathbf{r}}_a\over\part q_n}  = {\part\over\part q_n}\Big( \sum_m {\part\mathbf{r}_a\over\part q_m} \dot{q}_m  
                    + {\part\mathbf{r}_a\over\part t} \Big) =  \sum_m {\part^2\mathbf{r}_a\over\part q_m\part q_n} \dot{q}_m  
                    + {\part^2\mathbf{r}_a\over\part q_n\part t} = {d\over dt} \Big({\part\mathbf{r}_a\over\part q_n} \Big).

Herfra følger nå på tilsvarende måte som ovenfor at

 \sum_a m_a \dot{\mathbf{r}}_a\cdot {d\over dt} \Big({\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}\Big)  
                       =  \sum_a m_a \dot{\mathbf{r}}_a\cdot{\part\dot{\mathbf{r}}_a\over\part q_n} = {\part T\over\part q_n}.

Disse matematiske relasjonene mellom de kinematiske variable kan nå benyttes i den dynamiske beskrivelsen av systemet.

d'Alemberts prinsipp[rediger | rediger kilde]

For et statisk system sier d'Alemberts prinsipp at under en meget liten og tenkt forskyving δra av partikkel a som påvirkes av den totale kraften Fa , skal det resulterende arbeid være null. På matematisk form kan det skrives som

 \sum_a \mathbf{F}_a\cdot\delta\mathbf{r}_a = 0.

Den infinitesemale forskyvingen δra, som må oppfylle føringsbetingelsene, sies å være virtuell da den skal foregå ved konstant tid. Ingen virkelig forflytning kan i foregå uten at den tar litt tid. Derfor er den man betrakter her, virtuell. Ved bruk av generaliserte koordinater, kan den da skrives som

 \delta\mathbf{r}_a = \sum_n {\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}\delta q_n,

hvor det på høyre side i allminnelighet skulle ha vært et ledd (∂ra/∂tt .

Dette prinsippet kan utvides til å også gjelde for et dynamisk system ved å anta at akselerasjonen aa til denne partikkelen i systemet forårsaker en virkende kraft på samme måte som for eksempel at sentrifugalkraften kan beskrives som en virkelig kraft. Kombinert med Newtons andre lov kan man da skrive d'Alemberts dynamiske prinsipp på den matematiske formen

 \sum_a (\mathbf{F}_a - m_a\mathbf{a}_a)\cdot\delta\mathbf{r}_a = 0.

Den totale kraften Fa som virker på partikkel a, består av en ytre kraft Fae og en indre føringskraft Fai slik at totalkraften er Fa = Fae + Fai . Føringskreftene kan ikke utføre noe arbeid slik at

 \sum_a \mathbf{F}_a^i \cdot\delta\mathbf{r}_a = 0.

Dermed inneholder d'Alemberts dynamiske prinsipp kun de ytre kreftene som virker på systemet,

 \sum_a (\mathbf{F}_a^e - m_a\mathbf{a}_a)\cdot\delta\mathbf{r}_a = 0 ,

slik at problemet er blitt betydelig forenklet. Her kan vi nå sette inn uttrykket for den virtuelle forskyvningen uttrykt i generelle koordinater,

 \sum_{a,n} (\mathbf{F}_a^e  - m_a \ddot{\mathbf{r}}_a)\cdot{\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}\delta q_n  
             =  \sum_n \Big(Q_n - \sum_a m_a \ddot{\mathbf{r}}_a\cdot{\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}\Big)\delta q_n,

hvor vi har innført

 Q_n = \sum_a  \mathbf{F}_a^e \cdot{\part\mathbf{r}_a\over\part q_n},

som kalles en generell kraft. Dette kommer frem ved å betrakte det spesielle tilfellet at de ytre kreftene kan avledes av et potensial V = V(r1, r2, ....). Da er

  \mathbf{F}_a^e  = -\boldsymbol{\nabla}_a V ,

slik at den generelle kraften blir

 Q_n = \sum_a \boldsymbol{\nabla}_a V \cdot{\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}  = - {\part V\over\part q_n},

som man ville forvente ved innføring av generelle koordinater.

Denne kraften opptrer sammen med akselerasjonsleddet som vi kan splitte i to ved å skrive

 \sum_a m_a \ddot{\mathbf{r}}_a\cdot{\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}  =  {d\over dt}\Big(\sum_a m_a \dot{\mathbf{r}}_a\cdot {\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}\Big)   - \sum_a m_a \dot{\mathbf{r}}_a\cdot {d\over dt} \Big({\part\mathbf{r}_a\over\part q_n}\Big).

Begge termene på høyre side har vi allerede vist at kan uttrykkes ved deriverte av den kinetiske energien T. Setter vi inn de resultatene her, vil hvert ledd i summen inneholde den generelle forskyvningen δqn. Da alle disse er vilkårlige og uavhengige av hverandre, må derfor hver prefaktor til δqn være null. Det betyr at den ene ligningen man startet ut fra, splittes opp i en ligning

 {d\over dt}\Big({\part T\over\part\dot{q}_n}\Big) - {\part T\over\part q_n} = Q_n

for hver generell koordinat. Dermed har man funnet de nye bevegelsesligningene som følger fra d'Alemberts prinsipp.

Lagrange-funksjonen[rediger | rediger kilde]

Bevegelsesligningene kan gjøres enklere ved å uttrykke de generelle kreftene ved den generelle, potensielle energien V som ble omtalt over. Er denne uavhengig av hastighetene til partiklene, finner vi ved å innføre at Qn = - ∂V/∂qn, at bevegelsesligningene kan skrives som

 {d\over dt}\Big({\part L\over\part\dot{q}_n}\Big) - {\part L\over\part q_n} = 0,

hvor Lagrangefunksjonen er L = T - V. Dette er Euler-Lagrange-ligningen som først oppstod tidligere i forbindelse med løsningen av forskjellige variasjonsproblem. Den vil inneholde dobbeltderiverte av de variable slik at den er en annenordens differensialligning. En fullstendig løsning krever derfor to grensebetingelser for hver variabel. Vanligvis blir de angitt som initialbetingelser ved tiden t = 0 og kan være posisjon og hastighet ved dette tidspunktet.

Som et enkelt eksempel kan man betrakte en harmonisk oscillator med utslag q og kraftkonstant k. Den potensielle energien er derfor V =(1/2) kq2 slik at Lagrange-funksjonen blir

 L = {1\over 2}m\dot{q}^2 - {1\over 2}kq^2.

Herfra følger at den deriverte

   {\part L\over\part\dot{q}} = m\dot{q},

mens ∂ L/∂ q = -kq slik at bevegelsesligningen blir

m {d^2q\over dt^2} + kq^2  = 0.

Den generelle løsningen kan skrives på formen q(t) = a sin(ωt + φ) med vinkelfrekvens ω = √(k/m). Amplituden a og fasen φ er integrasjonskonstanter som må bestemmes ut fra gitte grensebetingelser.

For en partikkel med masse m er Lagrange-funksjonen mer generelt

 L = {1\over 2}m\dot\mathbf{r}^2 - V(\mathbf{r}),

hvor V = V(r) er den potensielle energien i posisjonen r = (x,y,z). Nå er

 {\part L\over\part\dot\mathbf{r}}  = m\dot\mathbf{r}

og ∂ L/∂ r = - V som sammen gir bevegelsesligningen

 m{d\mathbf{v}\over dt} = -\boldsymbol{\nabla}V(\mathbf{r}),

hvor v = dr/dt er hastigheten til partikkelen. Dette resultatet kjenner man igjen som Newtons andre ligning hvor F = - V er kraften som virker på partikkelen. Det er ikke så overraskende da den jo er utgangspunktet for det hele.

Euler-Lagrange-ligningen gjelder også i det mer generelle tilfellet at den potensielle energien V er avhengig av hastighetene til partiklene på en slik måte at den generelle kraften kan skrives som

 Q_n = - {\part V\over\part q_n} +  {d\over dt}\Big({\part V\over\part\dot{q}_n}\Big).

Det er tilfellet for en partikkel i et magnetisk felt B = ∇ × A hvor A = A(r,t) er vektorpotensialet. For en partikkel med ladning q er da den potensielle energien V = -qvA når den har hastighet v = dr/dt. Fra Lagrange-funksjonen

 L =  {1\over 2} m\mathbf{v}^2 + q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A}

følger da bevegelsesligningen

 m{d\mathbf{v}\over dt} = q \mathbf{v}\times \mathbf{B}.

På høyre side opptrer nå Lorentzkraften. Ut fra definisjonen av kryssproduktet mellom vektorer, virker den normalt på hastigheten. Den vil derfor ikke forandre størrelsen til hastigheten, men bare dens retning.

Bevegelseskonstanter[rediger | rediger kilde]

Et generelt system er beskrevet ved N generelle koordinater q = (q1, q2, ... , qN). Disse behøver ikke å være komponenter av forskjellige posisjonsvektorer, men kan for eksempel oppstå ved bruk av ikke-kartesiske koordinatsystem. Begynnelsespunkt A og sluttpunkt B for bevegelsen er da begge angitt ved N slike koordinater. Virkningen må nå være stasjonær under variasjon q n(t) → q n(t) + δq n(t) av alle disse koordinatene. Dermed får man en Euler-Lagrange-ligning for hver slik dynamisk variabel,

 {\part L\over\part q_n}  - {d\over dt} {\part L\over\part \dot{q}_n}  = 0.

Hvis disse koordinatene ikke alle er uavhengige av hverandre, men oppfyller visse bibetingelser, kan det tas hensyn til ved bruk av metoden med Lagrange-multiplikator.

Det siste leddet i denne ligningen inneholder den tidsderiverte av hva som kalles den konjugerte impuls pn til koordinaten qn, det vil si

 p_n = {\part L\over\part \dot{q}_n}.

Euler-Lagrange-ligningen kan derfor skrives som

 {dp_n\over dt} = {\part L\over\part q_n},

som er en generell versjon av Newtons andre lov.

Hvis Lagrange-funksjonen av en eller annen grunn ikke inneholder en koordinat q k slik at ∂ L/∂ qk = 0, så betyr det at dpk/dt = 0. Den tilhørende, konjugerte impuls er derfor uavhengig av tiden og dermed er

 p_k = konst

en bevegelseskonstant. Den tilsvarende variabel sies å være syklisk. Det kan i prinsippet være flere av dem, og de kan være til stor hjelp ved løsningen av Euler-Lagrange-ligningene for de andre koordinatene.

Hamilton-funksjonen[rediger | rediger kilde]

Fra den generelle variasjonsregningen vet man også at når tiden t ikke eksplisitt opptrer i Lagrange-funksjonen, vil størrelsen

 H = \sum_n p_n\dot{q}_n - L

være en bevegelseskonstant. Generelt er

 {dH\over dt} = \sum_n \left(p_n\ddot{q}_n  + {dp_n\over dt}\dot{q}_n   - {\part L\over \part q_n} \dot{q}_n -  {\part L\over \part \dot{q}_n} \ddot{q}_n\right)  -  {\part L\over\part t}.

Fra Euler-Lagrange-ligningen ser man her at de to midtre leddene i parentesen kansellerer hverandre. Det gjør også første og siste ledd i parentesen ut fra definisjonen av konjugert impuls. Dermed er

 {dH\over dt}  =   - {\part L\over\part t}.

Derfor er H = E en konstant når ∂ L/∂ t = 0. Denne bevegelseskonstanten er ikke noe annet enn energien for systemet. Tid og energi er konjugerte variable.

I eksempelet over med den harmoniske oscillator finner vi den konjugerte impulsen  p = m\dot{q} slik at

 E = m\dot{q}^2 - {1\over 2}m\dot{q}^2 + {1\over 2}kq^2 =  {1\over 2}m\dot{q}^2 + {1\over 2}kq^2,

som er summen E = T + V av kinetisk og potensiell energi. Uttrykt ved impulsen er

 H(q,p) = {p^2\over 2m} + {1\over 2}kq^2

den totale energien til oscillatoren. Dette er et eksempel på det som generelt kalles en Hamilton-funksjon. Den danner grunnlaget for Hamilton-mekanikken som gir en alternativ beskrivelse av mekaniske system.

Sentralsymmetrisk potensial[rediger | rediger kilde]

I mange realistiske tilfeller vil en partikkel bevege seg med en potensiell energi V som ikke avhenger av retningen til dens posisjonsvektor r, men bare av dens lengde r = |r|. Da er V = V(r) og systemet er symmetrisk under rotasjoner rundt origo. Kraften F = - V peker da i radiell retning slik at dreiemomentet r × F på den er null. Dermed er dens dreieimpuls L= r × p en konstant vektor.

Man kan nå velge et aksekors med z-aksen langs dreieimpulsen. Da vil bevegelsen foregå i (x,y) - planet og kan beskrives ved bruk av polarkoordinater (r,φ) i dette planet. Da er x = r cosφ og y = r sinφ. Ved direkte derivasjon finner man hastighetskomponenten dx/dt = (dr/dt) cosφ - r sinφ(dφ/dt) og tilsvarende for komponenten dy/dt. Kvadrerer man disse uttrykkene og adderer sammen, finner man Lagrange-funksjonen

 L = {m\over 2} \Big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\Big) - V(r)

i dette koordinatsystemet. Vinkelen φ opptrer ikke her og er dermed en syklisk variabel. Den konjugerte impulsen,

 p_\phi = {\part L\over\part\dot{\phi}} = mr^2\dot{\phi},

er derfor en bevegelseskonstant og lik dreieimpulsen L til systemet. I forbindelse med planeters bevegelse, er

 {dA\over dt} = {1\over 2}r^2 \dot{\phi}

flatehastigheten som den beskriver. At pφ = L er konstant, betyr altså at denne flatehastigheten er konstant. Dette er Keplers andre lov.

Resten av dynamikken til systemet er beskrevet ved den radielle koordinaten. Impulsen konjugert til r er

 p_r = {\part L\over\part\dot{r}} = m\dot{r}

mens

 {\part L\over\part r} = mr\dot{\phi}^2  - {dV\over dr},

slik at Euler-Lagrange-ligningen blir

 m\ddot{r} =  {L^2\over mr^3} - {dV\over dr}.

Dette er en andre ordens differensialligning som kan løses analytisk for Newtons gravitasjonslov V = - GmM/r hvor M er sentralmassen og G er gravitasjonskonstanten. Første ledd på høyre side er det effektive potensialet som skyldes sentrifugalkraften. De bundne løsningene gir ellipsebaner som er innholdet av Keplers første lov.

Se også[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • A. Sommerfeld, Vorlesungen über Theoretische Physik, Band I: Mechanik, Akademische Verlagsgellschaft, Leipzig (1964).
  • H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Company, New York (1959).
  • L. N. Hand and J. D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, England (2008).