Dreieimpuls

For bevegelse i en sirkel er dreieimpulsen en vektor som står vinkelrett på baneplanet.

Dreieimpuls er en fysisk størrelse som beskriver den roterende bevegelse til et legeme eller samling av masser om et gitt punkt. Tidligere ble den også omtalt som «drivmoment», «bevegelsesmengdemoment» eller «rotasjonsmengde». Etter den engelske betegnelsen angular momentum  kalles størrelsen noen gangen også for «angulært moment». Navnet spinn benyttes oftere og da spesielt ved en kvantemekanisk beskrivelse av bevegelsen. I klassisk mekanikk reserveres dette navnet vanligvis til den indre dreieimpulsen som er definert i forhold til systemets massesenter.

En partikkel eller masse m  og hastighet v har impuls p = m v. Hvis den befinner seg i avstand r fra et referansepunkt, er dens dreieimpuls definert som

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

med hensyn til dette punktet. Den er derfor en vektoriell størrelse. For et system med flere masser finnes den totale dreieimpulsen ved addiisjon av bidragene fra hver partikkel eller masse. Så lenge systemet ikke er påvirket av et ytre dreiemoment, forblir denne uforandret.

Mer generelt er denne sammenhengen uttrykt ved spinnsatsen som ble formulert for snart tre hundre år siden av Leonhard Euler. Men allerede hundre år tidligere hadde Kepler empirisk etablert sin andre lov om planetenes bevegelse som sier at deres flatehastighet er konstant. Dette er en direkte konsekvens av dreieimpulsens bevarelse i dette tilfellet med bevegelse i et sentralsymmetrisk gravitasjonspotensial som ikke gir opphav til et dreiemoment.

Egenskaper

En fri partikkel m  med hastighet v passerer et referansepunkt O  med minste avstand b.

Fra definisjonen av kryssproduktet av to vektorer, er størrelsen av dreieimpulsen til en masse m  gitt som

$L=|\mathbf {L} |=mvr\sin \theta$

hvor θ  er vinkelen mellom avstanden r til partikkelen og dens hastighet v. Dens retningen kan finnes fra høyrehåndsregelen. Indirekte kan den finnes fra en direkte utregning av komponentene til vektoren.

En fri partikkel beveger seg med konstant hastighet v. Avstanden r = |r | øker derimot jevnt samtidig som vinkelen θ avtar. Men dette skjer på den måten at produktet r sinθ  i definisjonen av L  er konstant da den er lik med den minste avstand b  partikkelen har til referansepunktet for avstanden. Derfor har dreieimpulsen til en fri partikkel en konstant verdi L = mvb. Den vil ha en annen verdi ved valg av et annet referansepunkt.

Dreieimpulsen kan også være konstant for en ufri bevegelse. Det enkleste eksempel er en masse m  som flytter seg med konstant hastighet v  langs en sirkel med radius r. Hvis man velger referansepunktet i dennes sentrum, er vinkelen θ = 90° slik at L = mvr. Alternativt kan dette uttrykkes ved den konstante vinkelhastigheten ω = dφ/dt  hvor vinkelen φ  angir partikkelens posisjon langs sirkelen. Nå blir v = ωr slik at

$L=m\omega r^{2}=mr^{2}{d\phi \over dt}$

På lignende form kan dreieimpulsen skrives også for andre system i mer generell bevegelse.

Flatehastighet

Såfremt partikkelen beveger seg i et plan, kan dens avstand fra et referansepunkt skrives som r = r (φ). Her kan nå vinkelen φ  variere med tiden på en mer generell måte enn for en sirkelbevegelse. Når partikkelen flytter seg en liten vinkel dφ, foretar avstandsvektoren r en liten rotasjon om referansepunktet som beskriver en smal trekant. Den korteste siden i denne har lengde rdφ, mens høyden er tilnærmet r. I grensen der dφ blir tilstrekkelig liten, er dermed trekantens areal dA = (1/2)r²dφ. Arealet som vektoren r sveiper ut, øker derfor som

${dA \over dt}={1 \over 2}r^{2}{d\phi \over dt}$

og kalles partikkelens «flatehastighet». Den er direkte proporsjonal med L. Dette arealet øker derfor jevnt med tiden så lenge som partikkelens dreieimpuls er konstant.

Bevaring av dreieimpuls

Hastigheten v til én partikkel vil ikke være konstant når den er påvirket av en kraft F. Den resulterende forandringen er styrt av Newtons andre lov md v/dt = F. Partikkelens dreieimpuls vil dermed forandres på den måten at

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

Første leddet er null fordi d r/dt = v og kryssproduktet av en vektor med seg selv alltid er null slik at

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

På høyre side opptrer dreiemomentet T = r × F som kraften utøver på partikkelen og beregnet i forhold til det samme referansepunktet som inngår i bestemmelsen av L. Hvis T = 0, er dreieimpulsen derfor bevart. Dette er den enkleste formuleringen av spinnsatsen.

En partikkel som beveger seg med konstant hastighet langs en sirkel ved at den holdes fast med for eksempel en snor til sentrum av denne, vil ikke ha noe dreiemoment om dette punktet. Derfor er dens dreieimpuls om sirkelens sentrum konstant. Det samme gjelder for en planets bevegelse omkring Solen. Den er styrt at Newtons gravitasjonslov som medfører at planeten følger en ellipseformet bane. Da denne kraften virker i retning mot Solen, det vil si et fokus til ellipsen, vil dreiemomentet om dette punktet være null. Derfor har planeten en dreieimpuls om Solen som er konstant og dermed også en konstant flatehastighet. Dette er innholdet av Keplers andre lov.

Rotasjonsinvarians

Tyngdekraften som virker på en planet, varierer med avstanden r  til Solen som F = k(r/rⁿ) der k  er en konstant og n = 3. Dette er eksempel på en «sentralsymmetrisk kraft». Da den er proporsjonal med avstandsvektoren r, vil den alltid resultere i en bevegelse som vil bevare dreieimpulsen. Men bare i det spesielle tilfellet n = 3 vil planetbanen være en ellipse.

Den dypere grunn for dette viktige resultatet er at størrelsen til kraften er den samme i alle retninger. Hvis Solen ble dreidd en viss vinkel om sin egen akse, ville kraften være den samme. Den sies å være «invariant» under rotasjoner. På lignende måte vil impulsen til en partikkel være bevart i en bestemt retning hvis det ikke virker noen krefter og man har «translasjonsinvarians» i denne retningen. Sammenhengen mellom slike bevegelseskonstanter og symmetrier kommer naturlig frem ved bruk av Lagrange-mekanikk.

På samme måte som bevarelse av impuls er en konsekvens av imvarians under translasjon i rommet, kan loven om energiens bevarelse eller energiprinsippet betraktes som en følge av invarians under en forskyvning i tid. Egenskapene til et isolert system er i dag de samme som de vil være på et senere tidspunkt.

Sammensatte system

Kunstløper utfører en piruett på isen.

Når systemet består av mange partikler eller mindre masser m_n  med posisjoner r_n = r_n(t ), vil det ha en bevegelse som er bestemt av Newtons andre lov. For hver slik mindre del har den formen

$m_{n}{d\mathbf {v} _{n} \over dt}=\mathbf {F} _{n}$

hvor v_n  = d r_n /dt  er dens hastighet når F_n  er kraften som virker på den. Den totale dreieimpulsen til dette sammensatte systemet er

$\mathbf {L} =\sum _{n}m_{n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {v} _{n}$

og vil generelt variere med tiden. Det følger fra

${d\mathbf {L} \over dt}=\sum _{n}m_{n}{d\mathbf {r} _{n} \over dt}\times \mathbf {v} _{n}+\sum _{n}m_{n}\mathbf {r} _{n}\times {d\mathbf {v} _{n} \over dt}$

der det første leddet gir null. Det siste leddet kan nå omskrives ved bruk av Newtons lov. Dermed fremkommer den mer generelle spinnsatsen

${d\mathbf {L} \over dt}=\sum _{n}\mathbf {r} _{n}\times \mathbf {F} _{n}\equiv \mathbf {T}$

som inneholder på høyre side det totale dreiemomentet T som virker på partiklene eller delene av systemet. Når dette er null, er derfor den totale dreieimpulsen bevart.

Når en kunstløper utfører en piruett, roterer hen om sin egen akse. Ved å trekke inn armene, reduseres treghetsmomentet og rotasjonshastigheten øker. Dette skjer fordi legemet ikke er utsatt for noe dreiemoment slik at dreieimpulsen må forbli konstant.

Indre dreieimpuls og spinnsats

Et slikt sammensatt system vil ha et massesenter R = (1/M) Σ_n m_n r_n hvor nå M = Σ_n m_n er dets totale masse. Det vil ha en hastighet V som igjen følger fra Newtons andre lov. Den gir

$M{d\mathbf {V} \over dt}=\sum _{n}\mathbf {F} _{n}$

hvor summen på høyre side ikke får noe bidrag fra de indre kreftene som eventuelt måtte virke mellom partiklene. De ville i så fall gjensidig kansellere mot hverandre.

For et system med mange partikler eller flere deler gir det en stor forenkling i dets beskrivelse å isolere bevegelsen til dets massesenter. Posisjonen til hver partikkel kan da skrives som r_n = R + r'_n. Her angir vektoren r'_n angir posisjonen til partikkelen relativ til dette punktet som generelt nå vil være i bevegelse. Med den tilsvarende, relative hastigheten v'_n  = d r'_n /dt  vil uttrykket for den totale dreieimpulsen forandres til

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{n}(\mathbf {R} +\mathbf {r} _{n}')\times m_{n}(\mathbf {V} +\mathbf {v} _{n}')\\&=M\mathbf {R} \times \mathbf {V} +\sum _{n}m_{n}\mathbf {r} _{n}'\times \mathbf {v} _{n}'\end{aligned}}$

Det første leddet er dreieimpulsen som skyldes bevegelsen av massesenteret og beregnet i forhold til et eksternt referansepunkt. Dette inngår ikke i det siste leddet som gir dreieimpulsen til alle partiklene relativ til deres eget massesente,

$\mathbf {L} _{CM}=\sum _{n}m_{n}\mathbf {r} _{n}'\times \mathbf {v} _{n}'$

Et naturlig navn for denne delen er derfor «indre dreieimpuls» eller spinn. Den vil nå variere med tiden ifølge den fundamentale sammenhengen

${d\mathbf {L} _{CM} \over dt}=\sum _{n}\mathbf {r} _{n}'\times \mathbf {F} _{n}\equiv \mathbf {T} _{CM}$

som derfor med rette kan omtales som spinnsatsen. Når dreiemomentet T_CM  om massesenteret er null, er systemets dreieimpuls konstant

Spinnsatsen har mange anvendelser. I klassisk mekanikk benyttes den ofte for beskrivelsen av «stive legemer». Deres form forandres ikke under en beveglse. Kastes for eksempel en slik gjenstand opp i luften, vil dens massesenter følge en parabelbue på samme måte som for en punktpartikkel. I tillegg vil den ha en rotasjon om dette som gir opphav til et spinn. Dette er bevart da den eneste kraften som virker på gjenstanden, er tyngdekraften. Da den virker i dens massesenter, er derfor dreiemomentet om dette punktet null.

Elektronene i et atom er bare påvirket av indre krefter som skyldes atomkjernen eller andre elektroner. Det virker derfor ikke noe ytre dreiemoment på atomet og dets totale spinn må ha en konstant verdi. Ved radioaktivt henfall vil én eller flere partikler bli sendt ut. Igjen må dreieimpulsen til disse pluss spinnet til det gjenværende atomet være bevart når det beregnes om det nye massesenteret for dette nye systemet.

Stive legemer

Rotasjon ω om referansepunkt O av fast punkt r i stivt legeme.

De minste delene eller partiklene som inngår i et materiale, er påvirket av andre, nærliggende partikler pluss ytre krefter. Vanligvis vil de derfor alle ha en viss form for bevegelse. Den kan være ganske fri som i en gass eller en væske. Et elastisk materiale er karakterisert ved at bevegelsene er svært små og medfører ingen makroskopiske forflytninger av partiklene i forhold til hverandre. Man kan derfor tenke seg et ideelt stoff som ikke tillater noen som helst bevegelse av partiklene relativt til andre i samme materialet. Dette kalles et stivt legeme og har den spesielle egenskapen at avstandene mellom alle partiklene eller bestandelene forblir de samme under alle bevegelser av legemet som helhet.

Når man ser bort fra en mulig translasjon, er den mest generelle bevegelse av et stivt legeme en rotasjon om et fast punkt. Dette kan virke innlysende, men er et berømt teorem bevist allerede i 1775 av Leonhard Euler. Det kan benyttes til å beskrive bevegelsen d r av et punkt med posisjon r i legemet. Under en liten dreining dφ  om en akse med retning langs enhetsvektoren n som går gjennom det faste punktet, vil dermed vektoren r få en liten forskyvning med lengde |d r| = r sinθ dφ  der θ er vinkelen mellom vektorene r og n. Dette kan mer kompakt skrives som

$d\mathbf {r} =d{\boldsymbol {\phi }}\times \mathbf {r}$

hvor den infinitesemale rotasjonsvektoren nå er d φ = n dφ. Hastigheten til denne rotasjonen er derfor

${d\mathbf {r} \over dt}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

der den vektorielle vinkelhastigheten ω = d φ/dt. Posisjonsvektoren r er her gitt i forhold til et referansepunkt som ligger fast utenfor legemet eller er forankret til legemet. I dette siste tilfellet er det mest hensiktsmessig å velge dette som legemets massesenter. Vektoren r ligger da fast i legemet. Med et eksternt referansepunkt kunne man ha betraktet to punkt r₁ og r₂. Da vil vektoren r = r₁ - r₂ ligge fast i legemet og være styrt av samme bevegelsesligning.

Generell rotasjon

For å beskrive den fulle rotasjon av et slikt legeme, er der enklest å angi posisjon til hver av dets partikler med posisjonsvektorer r_n med referansepunkt i dets massesenter. Under en rotasjon ω vil det dermed ha en hastighet v_n = ω × r_n og dermed gi en total dreieimpuls

Treghetsmoment og rotasjon av stive legemer.

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{n}m_{n}\mathbf {r} _{n}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{n})\\&=\sum _{n}m_{n}[r_{n}^{2}{\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} _{n})\mathbf {r} _{n}]\end{aligned}}$

Da dette er beregnet i forhold til legemets massesenter, kan også sies å være dets spinn L_CM. Hvert ledd i summen vil gi et bidrag som har en retning og størrelse som er avhengig av posisjonen r_n. Kun når legemet har en symmetri om rotasjonsaksen ω vil denne gi samme retning til dreieimpulsen L. Dette kalles en hovedretning i det stive legemet. Er denne langs z-aksen, har man dermed i dette spesielle tilfellet med ω = ω e_z at

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$

hvor treghetsmomentet om den samme aksen er

$I=\sum _{n}m_{n}(x_{n}^{2}+y_{n}^{2})$

Men i det generelle tilfellet vil ikke rotasjonsvektoren ω og dreieimpulsen L være parallelle vektorer,

Treghetstensor

Fra det generelle uttrykket for dreieimpulsen L finner man at hver komponent kan skrives på formen

$L_{a}=\sum _{b=1}^{3}I_{ab}\,\omega _{b}$

Det enkle treghetsmomentet er nå forvandlet til en tensor

$I_{ab}=\sum _{n}m_{n}[(\mathbf {r} _{n}\cdot \mathbf {r} _{n})\delta _{ab}-r_{na}r_{nb}]$

når man gjør bruk av det symmetriske Kronecker-deltaet δ_ab. Denne tensoren oppfyller derfor I_ab .= I_ba  og har seks uavhengige komponenter. Ved å anta at partiklene i legemet er kontinuerlig fordelt med en massetetthet ρ, utgjør disse tilsammen en 3×3 matrise

$\mathbf {I} =\int \!d^{3}r\rho (\mathbf {r} ){\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+z^{2}&-yz\\-xz&-yz&x^{2}+y^{2}\\\end{bmatrix}}$

Resultatet for den totale dreieimpulsen L kan nå summeres opp i det kompakte uttrykket

$\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}$

På lignende måte kan også den kinetiske energien til legemet skrives. Med rotasjonshastigheten v_n = ω × r_n for hver partikkel tar denne nå formen

${\begin{aligned}K&={1 \over 2}\sum _{n}m_{n}({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{n})^{2}\\&={1 \over 2}\sum _{a,b=1}^{3}I_{ab}\omega _{a}\omega _{b}={1 \over 2}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}$

Alternativt har man derfor også at K = (1/2)ω⋅L hvor treghetstensoren bare implisitt inngår med informasjon om legemets form.

Hovedretninger

En reell, symmetrisk matrise kan diagonaliseres, det vil si skrives på en form der kun komponentene langs diagonalen er forskjellig fra null. Det tilsvarer å rotere det kartesiske koordinatsystemet hvor dets komponenter opprinnelig beregnes, til et nytt med akser langs tre ortogonale retninger angitt ved enhetsvektorene e₁, e₂ og e₃. Disse kalles legemets «hovedretninger». Kalles nå de diagonale komponentene av treghetstensoren for I₁, I₂ og I₃, vil uttrykket for dreieimpulsen forenkles til

Hovedretningene til en firkantet kloss står vinkelrett på sideflatene.

$\mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}$

og likedan for rotasjonsvektoren ω. De er nå forbundet på den enkle måten at L₁ = I₁ω₁ og tilsvarende for de to andre komponentene. For en kule vil de tre treghetsmomentene I₁, I₂ og I₃ alle være like store slik at L og ω blir parallelle vektorer. For et generelt legeme vil de ha forskjellige retninger.

Den kinetiske energien til legemet forenkles nå til

${\begin{aligned}K&={1 \over 2}I_{1}\omega _{1}^{2}+{1 \over 2}I_{2}\omega _{2}^{2}+{1 \over 2}I_{3}\omega _{3}^{2}\\&={L_{1}^{2} \over 2I_{1}}+{L_{2}^{2} \over 2I_{2}}+{L_{3}^{2} \over 2I_{3}}\end{aligned}}$

og vil være konstant for et fritt legeme. Det er da ikke påvirket av ytre krefter og må bevege seg slik at også den totale dreieimpulsen L² = L₁² + L₂² + L₃² er bevart.

Euler-ligningen

Roterende snurrebass er utsatt for et dreiemoment T som her er angitt ved τ.

Den fundamentale ligningen som styrer bevegelsen til et roterende legeme,

${d\mathbf {L} \over dt}=\mathbf {T}$

gir sammenhengen mellom forandringen av dets dreieimpuls L og dreiemomentet T som virker på det. Den er gyldig i det stasjonære referansesystemet som legemet befinner seg i eller i det roterende referansesystemet som sitter fast i legemet med origo i dets massesenter.

Et roterende legeme vil vanligvis oppvise en form av presesjon som kan forklares ved denne ligningen. For en snurrebass på et horisontalt underlag vil dette fenomenet arte seg ved at dens symmetriakse langsomt roterer om den vertikale aksen som angir retningen til tyngdekraften. På grunn av denne vil det virke et dreiemoment på legemet slik at dets dreieimpuls ikke er konstant.

Hvis snurrebassen roterer om sin egen symmetriakse med vinkelhastighet ω_s, vil den derav få en dreieimpuls L = Iω_s om denne aksen. Men samtidig er den utsatt for et dreiemoment T  på grunn av tyngdekraften mg  som virker i dens massesentrum. Dette kan beregnes om den nederste spissen til legemet som ligger i ro mot underlaget. Betegner man avstanden fra dette til tyngdepunktet med a, blir dermed T = mga sinθ  hvor θ  er vinkelen mellom symmetriaksen til snurrebassen og retningen til den loddrette tyngdekraften. Retningen til T er vinkelrett til disse to aksene som dermed også blir retningen til en liten forandring d L av dreieimpulsen i et lite tidsrom dt. Den vil derfor dreie seg en liten vinkel dφ  om den vertikale aksen i det samme tidsrommet, det vil si at dL = Lsinθdφ . Men samtidig er også dL = T dt  fra spinnsatsen slik at dreieimpulsen vil rotere om den vertikale aksen med en vinkelhastighet

$\omega _{p}={d\phi \over dt}={mga \over L}={mga \over I\omega _{s}}$

Denne bevegelsen av dreieimpulsen kalles presesjon og har mange viktige konsekvenser. Resultatet som her er funnet for dens størrelse, er bare gyldig når ω_s >> ω_p. Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, vil også presesjonen bidra til dreieimpulsen L som snurrebassen har. Denne vektoren er da ikke lenger parallell med legemets symmetriakse og beskrivelsen blir da matematisk mer komplisert i form av Eulers ligninger for roterende legemer.

Roterende referansesystem

Generelt har ikke dreieimpulsen L for et roterende legme samme retning som dets rotasjonsvektor ω. Da disse to vektorene er forbundet via treghetstensoren, vil den vanligvis ha komponenter som varierer med tiden hvis man beskriver bevegelsen til legemet i det stasjonære referansesystemet. Dette problemet unngås hvis man derimot benytter det bevegelige referansesystemet som er definert ved legemets hovedretninger og følger med i dets rotasjon. Dreieimpulsen kan da skrives som L = L₁e₁ + L₂e₂ + L₃e₃ og tilsvarende for vinkelhastigheten ω. Hver av komponentene til disse to vektorene er nå knyttet sammen på den enkle måten at L_k = I_k ω_k hvor I_k  er de tre hovedtreghetsmomentene. De er konstante, mens både L_k og ω_k vil variere med tiden.

Hvis nå tidsderivasjonen i spinnsatsen d L/dt = T utføres i det roterende bevegelsessystemet, vil også enhetsvektorene e_k variere med tiden. Da de sitter fast i legemet, er denne variasjonen gitt ved ligningen

${d\mathbf {e} _{k} \over dt}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {e} _{k}$

Dermed tar spinnsatsen den alternative formen

${d\mathbf {L} \over dt}|_{rot}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {T}$

i det roterende bevegelsessystemet, Det er vanlig å omtale den som Euler-ligningen for et stivt legeme. Her får det første leddet d L/dt |_rot  nå bare bidrag fra tidsvariasjonen i komponentene L_k, det vil si i komponentene ω_k. Eksplisitt skrevet ut kan den beregnes fra de tre tilsvarende «Euler-ligningene»

${\begin{aligned}I_{1}{d\omega _{1} \over dt}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=T_{1}\\I_{2}{d\omega _{2} \over dt}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=T_{2}\\I_{3}{d\omega _{3} \over dt}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=T_{3}\end{aligned}}$

Løsningene av disse tre koblede, første-ordens differensialligningene vil i prinsippet gi bevegelsen til et vilkårlig stivt legeme i rotasjon.

Fri presesjon

Når ingen krefter virker på legemet, beveger det seg fritt på en måte som er bestemt av de tre hovedtreghetsmomentene. Dreieimpulsen L er da konstant og angir en konstant retning i det stasjonære referansesystemet. Vanligvis blir denne valgt å være langs z-aksen. Hvordan bevegelsen ser ut fra det roterende referansesystemet, er enklest å beregne når legemet er symmetrisk om én akse. Velger man denne som 3-aksen, vil da I₁ = I₂ ≠ I₃. Den tredje Euler-ligningen gir da at ω₃ = konstant. Det betyr at L₃ også er konstant slik at vinkelen θ  mellom z-aksen og symmetriaksen til legemet er konstant. Denne aksen må derfor rotere med konstant vinkelhastighet om L og omtales som «fri presesjon» da den ikke skyldes ytre krefter. Denne spesielle rotasjonen kan observeres når en amerikansk fotball kastes og man ser bort fra bevegelsen av dens tyngdepunkt.

Hastigheten til denne presesjonen kan finnes fra de to første Euler-ligningene som nå er

${\begin{aligned}I_{1}{d\omega _{1} \over dt}+(I_{3}-I_{1})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=0\\I_{2}{d\omega _{2} \over dt}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{1}\,\omega _{3}&=0\end{aligned}}$

Ved å derivere den første med hensyn på tiden og så benytte den andre ligningen, resulterer det i harmoniske differensialligningen

${d^{2}\omega _{1} \over dt^{2}}+\Omega ^{2}\omega _{1}=0$

hvor

$\Omega ={I_{3}-I_{1} \over I_{1}}\omega _{3}$

Disse to komponentene til rotasjonshastigheten ω variere derfor med tiden som (ω₁, ω₂) = ω₀ (sin Ωt, cos Ωt) hvor ω₀ er en konstant. De roterer derfor med vinkelhastighet Ω i et plan vinkelrett på symmetriaksen til legemet.

Sett fra det roterende referansesystemet angir derfor Ω hastigheten til den frie presesjonen. Men dette resultatet gir ikke uten videre hva vinkelhastigheten er når presesjonen observeres fra det stasjonære referansesystemet. Da må man kunne uttrykke den relative orienteringen til disse to referansesystemene. Det kan gjøres ved bruk av Euler-vinkler. Selve presesjonshastigheten i dette systemet kan finnes mer direkte. Komponenten av denne langs symmetriaksen må da være Ω + ω₃ fordi aksekorset i legemet har vinkelhastigheten ω₃ om denne aksen. Hvis man kaller presesjonshastigheten om z-aksen for ω_p, har den komponenten ω_p cosθ  langs symmetriaksen. Dermed er ω_p cosθ = Ω + ω₃ eller

$\omega _{p}={I_{3}\,\omega _{3} \over I_{1}\cos \theta }$

Nå er komponenten L₃ = I₃ ω₃ og samtidig lik med L cosθ slik at man kan også skrive dette resultatet som ω_p = L/I₁ for presesjonshastighten i det stasjonære referansesystemet.

Se også

• Kvantisert dreieimpuls
• Spinn
• Presesjon
• Gyroskop

Eksterne lenker

• YouTube, Angular momentum demonstrations, MIT video med W. Lewin.
• M. Fowler, Rigid Body Motion, University of Virginia lecture notes.
• D. Tong, Dynamics of Rigid Bodies, forelesninger ved University of Cambridge