Påskeformelen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Påskedato)
Hopp til: navigasjon, søk

Påskeformelen er metoden som brukes for å beregne tidspunkt for påskehøytiden i et gitt år. På latin og engelsk kalles prosedyren for Computus og har siden tidlig middelalder vært svært betydningsfull, da datoene for store deler av kirkeåret bestemmes ut fra dette tidspunktet. Ordet «computer» («komputist» på norsk) betydde opprinnelig en person som var i stand til å regne ut påsketidspunktet. De mest kjente komputistene fra middelalderen er Denis le Petit og Beda.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

I de fleste oppslagsverk finner man regelen formulert som følger:

Første påskedag faller på første søndag etter første fullmåne etter vårjevndøgn.

Dette er en grei huskeregel hvis man er fornøyd med en omtrentlig forståelse av saksforholdet. Imidlertid gir en slik regel stort rom for ulike tolkninger, blant annet hvordan påskens tidspunkt da vil avhenge av hvor man befinner seg på jordkloden i forhold til datolinjen og andre astronomiske forhold, som detaljkunnskaper om månens bane og hvilken geografisk lengde den observeres fra.

Den kanoniske definisjonen av påskedatoen er den som Konsilet i Nikea kom frem til i året 325:
«Påsken er den søndagen som følger den fjortende dagen til den månen som oppnår denne alderen på den 21. mars eller umiddelbart deretter.»

Av definisjonen fremgår det at påsken ikke fastsettes i forhold til det astronomiske vårjevndøgn, men i forhold til en fast kalenderdato. Denne ligger riktignok nær det astronomiske vårjevndøgnspunktet, men faller likevel aldri helt sammen med dette. Herav fremgår det også at påsketidspunktet ikke fastsettes i forhold til fullmånen, men i forhold til den nymånen som opptrer den 8. mars eller umiddelbart deretter. «Månens alder» angir det antall dager som er gått siden nymåne. Videre er det ikke den virkelige månen, som har en svært komplisert bane, men en tenkt middelmåne som går med jevn fart i banen sin rundt jorden.

Fullmånen som går forut for tidspunktet for påskehøytiden er gjennom tidene (også etter den julianske kalenderen) blitt kalt for påskefullmånen.

Den påskedatoen som de to påskeformlene under gir i hver sin periode, er de som er blitt brukt i de fleste vesteuropeiske land siden kristendommen ble innført og altså etter kirkemøtet i Nikea i 325. I jødedommen benytter man imidlertid en annen formel. Fordi påskedatoen er gjort uavhengig av lengdegrad og den virkelige månens bevegelse, oppnår man dermed en dato som er lik for alle, og som lett kan beregnes for et hvilket som helst fremtidig eller tidligere tidspunkt, uten at det er nødvendig å foreta noen faktiske måneobservasjoner.

For å beregne påskedatoen trenger man derfor en «evigvarende månekalender» som går ut fra denne tenkte middelmånen som kalles den eklesiastiske månen. Denne regnemåten heter «Computus Eclesiasticus». Man skiller da mellom to regneskjemaer:

Juliansk påskeformel[rediger | rediger kilde]

Det ene regneskjemaet gjelder frem til og med året 1582 og kalles den julianske påskeformelen. Denne er viktig for historiske undersøkelser. Den opprinnelige påskeformelen ble først utarbeidet av Denis le Petit på 500-tallet. På 700-tallet publiserte så engelskmannen Beda boken De Tempore Ratione, som ble brukt som standard læreverk på dette området gjennom hele middelalderen.

I de fleste ortodokse kirkene baseres påskeformelen fortsatt på den julianske kalenderen. Siden landene vanligvis bruker den gregorianske kalenderen som sin borgerlige kalender, betyr det at påskedagen vil ligge i tidsrommet 4. april – 8. mai i perioden 1900 – 2099. (Forskjellen mellom den julianske og den gregorianske kalenderen øker med tre døgn i løpet av 400 år.)

Månekalenderen som ligger til grunn for påskeformelen bygger på en syklus på 532 år, som er sammensatt av en 28-årig solsyklus og en 19-årig månesyklus. Den 28-årige solsyklusen er igjen sammensatt av den 4-årige skuddårssyklusen og den 7-årige ukedagssyklusen, mens månesyklusen bygger på det fra gammelt kjente faktum at den synodiske månen gjennomfører nokså nøyaktig 235 omløp i løpet av 19 julianske år (ett juliansk år består av 365¼ dag). Denne 19-årige månesyklusen er kjent fra den greske astronomen Meton og kalles etter ham for metonsk syklus.

Som begynnelsesår for denne 532-årige påskesyklusen valgte man året 608 e. Kr. Dette årets første nymåne kom 23. januar og året fikk tilordnet gyldentallet 1. I dette året falt 1. januar på en mandag. Året fikk derfor tilordnet søndagsbokstavene G og F. Går man herfra 532 år fremover i tid til året 1140 e. Kr., så finner man at sistnevnte år har nøyaktig det samme gyldentallet 1 og søndagsbokstavparet G F som det førstnevnte. Dette er fordi den samme kombinasjonen av gyldentall og søndagsbokstaver alltid gjentar seg efter 532 år, men ikke før. Et år får tildelt to søndagsbokstaver når det er et skuddår. Et års gyldentall er ett av tallene 1, 2,...19 og et års søndagsbokstav er én av de syv bokstavene A, B,...G, to bokstaver når det er skuddår.

Gregoriansk påskeformel[rediger | rediger kilde]

Det andre regneskjemaet gjelder fra og med året 1583 og kalles den gregorianske påskeformelen (med unntak for de land som innførte den gregorianske kalenderen ved et senere tidspunkt, deriblant Norge (1700)). Fordi den gregorianske kalenderen er litt mer komplisert enn den julianske, er den gregorianske påskeformelen også litt mer komplisert enn den julianske.

Påskeformelen gir nå en periodisk syklus5 700 000 år. Påskedagen vil alltid ligge i tidsrommet 22. mars – 25. april. I 1818 falt og i 2285 faller første påskedag på første mulige dato (22. mars). I 1886 og 1943 falt og i 2038 faller den på siste mulige dato (25. april).

Avvik i Danmark-Norge[rediger | rediger kilde]

Her skal det også nevnes at Danmark-Norge ved innføring av den gregorianske kalenderen mandag 1. mars 1700 etter anbefaling fra astronomen Ole Rømer valgte å følge de astronomiske tidspunktene for vårjevndøgn og fullmåne med utgangspunkt i Vens meridian.

Det eneste året da dette ga seg praktisk utslag var i 1744, da Danmark-Norge feiret påske én uke før alle andre land som hadde gått over til den gregorianske kalenderen. I 1724 var det også én ukes avvik, men da valgte man likevel å følge påskeformelen. I 1778 ville det også ha vært avvik, men da hadde man allerede besluttet å gå tilbake til å bruke den gregorianske påskeformelen. [1]

Beregninger[rediger | rediger kilde]

Beregningen av datoen for påskedagen kan utføres på flere måter. Her er noen av de mest benyttede i moderne tid:

Gauss' metode (for både juliansk og gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Metoden ble utarbeidet av Carl Friedrich Gauss og publisert i 1816 i artikkelen: «Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes».

Definisjoner[rediger | rediger kilde]

K = årstallet
a = K mod 19
b = K mod 4
c = K mod 7

Definér fra tabell:

Årstall   | M | N
------------------
Juliansk kalender:
           15   6
Gregoriansk kalender:
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0
2300-2399  26   1
d = (19a + M) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
Hvis (d + e) < 10, vil påskedagen være (d + e + 22). mars ellers (d + e – 9). april.

Med unntak av:

26. april erstattes med 19. april.
25. april erstattes med 18. april hvis d = 28, e = 6 og a > 10.

Tallene M og N beregnes slik (skal bare gjøres for gregoriansk kalender, se over):

Hvis k er årstallets to første sifre (hundretallet),
p er kvotienten av divisjonen (13 + 8k)/25 uten hensyn til resten og
q er kvotienten av divisjonen k/4 uten hensyn til resten, så er
M = (15 - p + k - q) mod 30 og
N = (4 + k - q) mod 7. [2]

Meeus/Jones/Butchers formel (bare for gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Denne formelen ble første gang presentert i tidsskriftet Nature i 1876. Siden er den blitt trykt flere ganger bl.a. i bøker av Harold Spencer Jones[3] og Jean Meeus. Den egner seg til bruk i dataprogrammer fordi den er uten unntak, på lik linje med flere av eksemplene under.

Formeloppbygging[rediger | rediger kilde]

 Divider   med    Kvotient    Rest  
Årstallet (X) 19 a
Årstallet (X) 100 b c
b 4 d e
b + 8 25 f
b - f + 1 3 g
19a + b - d - g + 15 30 h
c 4 i k
32 + 2e + 2i - h - k 7 l
a + 11h + 22l 451 m
h + l - 7m + 114 31 n p

Da blir n = månedens nummer (3 = mars, 4 = april), og p + 1 = dagen i måneden som påskedagen faller på.

Nedenfor vises formelen over implementert med Javascript. Den benytter biblioteket "moment" - fra http://momentjs.com:

    function EasterSunday (InputYear) {
        var a = InputYear % 19;
        var b = Math.floor(InputYear/100); var c = InputYear % 100;
        var d = Math.floor(b/4); var e = b % 4;
        var f = Math.floor((b+8)/25);   
        var g = Math.floor((b-f+1)/3);
        var h = (19*a+b-d-g+15) % 30;      
        var i = Math.floor(c/4); var k = c % 4;
        var l = (32 + 2*e + 2* i - h - k) % 7;
        var m = Math.floor((a+11*h+22*l)/451);
        var n = Math.floor((h+l-7*m+114)/31); var p = (h+l-7*m+114) % 31;
        p++;
        var es = moment(p+"-"+n+"-"+InputYear, "DD-MM-YYYY");   
        return es;
    }

Meeus' formel (bare for juliansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Belgieren Jean Meeus beskrev denne formelen i den andre utgaven (den engelske) av boken sin, «Astronomical Formulæ for Calculators»[4], i 1982. Formelen er kort og uten unntak. Den gjelder bare for den julianske kalenderen.

Formeloppbygging[rediger | rediger kilde]

 Divider   med    Kvotient    Rest  
Årstallet (X) 4 a
Årstallet (X) 7 b
Årstallet (X) 19 c
19c + 15 30 d
 2a + 4b - d + 34  7 e
d + e + 114 31 f g

Da blir f = månedens nummer (3 = mars, 4 = april), og g + 1 = dagen i måneden som påskedagen faller på.

Lichtenbergs formel (for både juliansk og gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Denne formelen ble publisert av tyskeren Heiner Lichtenberg i Historia Mathematica 24 i 1997: «Zur Interpretation der Gaußschen Osterformel und ihrer Ausnahmeregeln» (sidene 441 – 444). [5] Den er enklere enn Meeus/Jones/Butchers formel, er uten unntak og har også en variant for den julianske kalenderen. Under er den skrevet som norsk Excel hvor X er et årstall.

Variabel Gregoriansk kalender Juliansk kalender Tyske kommentarer
K =HELTALL(X/100) 0 Säkularzahl.
A =REST(X;19) Mondparameter.
M =15+HELTALL((3*K+3)/4)-HELTALL((8*K+13)/25) =15 säkulare Mondschaltung.
S =2-HELTALL((3*K+3)/4) 0 säkulare Sonnenschaltung.
D =REST(19*A+M;30) Keim für den ersten Vollmond im Frühling.
R =HELTALL(D/29)+(HELTALL(D/28)-HELTALL(D/29))*HELTALL(A/11) 0 kalendarische Korrekturgröße.
SZ =7-REST(X+HELTALL(X/4)+S;7) erster Sonntag im März.
OG =21+D-R Ostergrenze.
OE =7-REST(OG-SZ;7) Entfernung in Tagen, die der Ostersonntag von der Ostergrenze hat (Osterentfernung).
OS =OG+OE Datum des Ostersonntags, dargestellt als März­datum, wobei ein Märzdatum > 31 durch Abziehen von 31 auf ein Aprildatum zu reduzieren ist.

OS er datoen for påskedagen uttrykt som en dato i mars (f.eks. OS = 32 betyr 1. april). I en dato-formatert celle i Excel kan fullstendig dato da skrives som:

=DATO(X;HVIS(OS>31;4;3);HVIS(OS>31;OS-31;OS))

Påskeformler i én enkelt celle i regneark (bare for gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Det kan være fristende å bruke bare én enkelt celle i et regneark for å beregne den gregorianske datoen for påskedagen. Da er det et par ting man bør være klar over først:
Kalenderen i Excel på PC (og en del andre regneark) begynner med år 1900, som disse regnearkene mener var et skuddår som begynte på søndag. Men det året var ikke skuddår og det begynte på mandag! Fra og med torsdag 1. mars 1900 samsvarer ukedag og dato riktig i disse regnearkene. Beregningen av fastelavns­søndag (49 dager før påskedagen) kan dermed bli feil for året 1900 i slike regneark hvis man ikke kompenserer for disse feilene (riktig dato er 25. februar 1900).
Formlene under kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. Excel både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):

Norsk:   =AVRUND.GJELDENDE.MULTIPLUM.NED(DATO(A1;3;27)
               +0,97*REST(18,998*REST(A1+8/9;19)+HELTALL(0,68*HELTALL(A1/100)-HELTALL(A1/400)-5/9);30);7)+1
Engelsk: =FLOOR(DATE(A1,3,27)+0.97*MOD(18.998*MOD(A1+8/9,19)+INT(0.68*INT(A1/100)-INT(A1/400)-5/9),30),7)+1

hvor cellen A1 inneholder det fire-sifrede årstallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 9999. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato. [6]

Det finnes også forenklede formler for beregning av påskedagens gregorianske dato, men disse gjelder bare for et begrenset tidsrom. Dette kan likevel være tilstrekkelig for å finne datoen(e) for påskedagen i en kortere periode. Flere av dem kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. Excel:

Norsk: =AVRUND(DATO(A1;4;1)/7+REST(19*REST(A1;19)-7;30)*0,14;0)*7-6
Engelsk:  =ROUND(DATE(A1,4,1)/7+MOD(19*MOD(A1,19)-7,30)*0.14,0)*7-6

hvor cellen A1 inneholder det fire-sifrede årstallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 2203. Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato. [6] Den viste formelen vil gi riktig dato for påskedagen til og med år 2203. Deretter gir den hyppige feil (bl.a. i år 2204, 2207 og 2209). Andre forenklede formler kan gi feil dato for år 2079 også.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ «Paasken falder ikke altid som den skal» (dansk). Ingeniøren. 16. mars 2008. 
  2. ^ «påske - beregning af påskedagens dato» (dansk). Den Store Danske (Gyldendal). 21/03/2016. 
  3. ^ «Meeus/Jones/Butchers formel» (engelsk). Butler & Tanner Ltd. 1924. 
  4. ^ «Meeus' formel» (engelsk). Willman-Bell, Inc. 1988. 
  5. ^ «Lichtenbergs formel» (tysk). Academic Press. 1997. 
  6. ^ a b «Excel Easter Calculations» (engelsk). Contextures. Besøkt 12. juli 2013. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]