Påskeformelen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
(Omdirigert fra Påskedato)
Hopp til: navigasjon, søk

Påskeformelen er metoden som brukes for å beregne tidspunktet for påskehøytiden i et gitt år. Påskedatoen følger et komplisert mønster som aldri har vært helt enkelt å forstå for den som ikke var spesialist. På latin og engelsk kalles prosedyren for Computus og har siden tidlig middelalder vært svært betydningsfull, da datoene for store deler av kirkeåret bestemmes ut fra dette tidspunktet. Ordet «computer» («komputist» på norsk) betydde opprinnelig en person som var i stand til å regne ut påsketidspunktet. Komputistene kan på mange måter betraktes som forløperne til den nyere tids matematikere. De mest kjente komputistene fra middelalderen er Denis le Petit og Beda.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

I de fleste oppslagsverk finner man regelen formulert som følger:

Første påskedag faller på første søndag etter første fullmåne på eller etter vårjevndøgn.

Dette er en grei huskeregel hvis man er fornøyd med en omtrentlig forståelse av saksforholdet. Imidlertid gir en slik regel stort rom for ulike tolkninger, blant annet hvordan påskens tidspunkt da vil avhenge av hvor man befinner seg på jordkloden i forhold til datolinjen og andre astronomiske forhold, som detalj­kunnskaper om månens bane og hvilken geografisk lengde den observeres fra. Derimot blir det riktigere hvis man tilføyer:

Med vårjevndøgn menes her 21. mars.

21. mars blir i blant benevnt «det offisielle vårjevndøgn», siden denne datoen er utgangs­punktet for å beregne når påsken kommer hvert år.

Den kanoniske definisjonen av påskedatoen er den som konsilet i Nikea kom frem til i året 325:

«Påsken er den søndagen som følger den fjortende dagen til den månen som oppnår denne alderen på den 21. mars eller umiddelbart deretter.»

Av definisjonen fremgår det at påsken ikke fastsettes i forhold til det astronomiske vårjevndøgn, men i forhold til en fast kalender­dato. Denne ligger riktignok nær det astronomiske vårjevndøgnspunktet, men faller likevel aldri helt sammen med dette. Herav fremgår det også at påsketidspunktet ikke fastsettes i forhold til fullmånen, men i forhold til den nymånen som opptrer 8. mars eller umiddelbart deretter. «Månens alder» angir det antall dager som er gått siden nymåne. Videre er det ikke den virkelige månen, som har en svært komplisert bane, men en tenkt middelmåne som går med jevn fart i banen sin rundt jorden.

Fullmånen som går forut for tidspunktet for påskehøytiden er gjennom tidene (også etter den julianske kalenderen) blitt kalt for påskefullmånen.

Den påskedatoen som de to settene med påskeformler under gir i hver sin periode, er de som er blitt brukt i de fleste vesteuropeiske land siden kristen­dommen ble innført og altså etter kirke­møtet i Nikea i 325. Fordi påske­datoen er gjort uavhengig av lengdegrad og den virkelige månens bevegelse, oppnår man dermed en dato som er lik for alle, og som lett kan beregnes for et hvilket som helst fremtidig eller tidligere tidspunkt, uten at det er nødvendig å foreta noen faktiske måne­observasjoner. I jøde­dommen benytter man imidlertid en annen formel.

For å beregne påskedatoen trenger man derfor en «evigvarende måne­kalender» som går ut fra denne tenkte middelmånen som kalles den eklesiastiske månen. Denne regnemåten heter «Computus Eclesiasticus». Man skiller da mellom to regneskjemaer:

Juliansk påskeformel[rediger | rediger kilde]

Det ene regneskjemaet gjelder frem til og med året 1582 og kalles den julianske påskeformelen. Denne er viktig for historiske undersøkelser. Den opprinnelige påske­formelen ble først utarbeidet av Denis le Petit på 500-tallet. På 700-tallet publiserte så engelskmannen Beda boken De temporum ratione, som ble brukt som standard læreverk på dette området gjennom hele middelalderen.

I de fleste ortodokse kirkene baseres påskeformelen fortsatt på den julianske kalenderen. Siden landene vanligvis bruker den gregorianske kalenderen som sin borgerlige kalender, betyr det at påskedagen vil ligge i tidsrommet 4. april – 8. mai i perioden 1900 – 2099. (Forskjellen mellom den julianske og den gregorianske kalenderen øker med tre døgn i løpet av 400 år.)

Månekalenderen som ligger til grunn for påskeformelen bygger på en syklus på 532 år, som er sammensatt av en 28-årig solsyklus og en 19-årig månesyklus. Den 28-årige sol­syklusen er igjen sammensatt av den 4-årige skuddårs­syklusen og den 7-årige ukedags­syklusen, mens månesyklusen bygger på det fra gammelt av kjente faktum at den synodiske månen gjennom­fører nokså nøyaktig 235 omløp i løpet av 19 julianske år (ett juliansk år består av 365¼ døgn). Denne 19-årige månesyklusen er kjent fra den greske astronomen Meton og kalles etter ham for Metons syklus.

Som begynnelsesår for denne 532-årige påskesyklusen valgte man året 608 e. Kr. (påskedag var 7. april). Dette årets første nymåne kom 23. januar og året fikk tilordnet gyldentallet 1. I dette året falt 1. januar på en mandag. Året fikk derfor tilordnet søndagsbokstavene G og F. Går man herfra 532 år fremover i tid til året 1140 e. Kr., så finner man at sistnevnte år har nøyaktig det samme gyldentallet 1 og søndags­bokstav­paret G F som det førstnevnte (og dermed påskedag 7. april). Dette er fordi den samme kombinasjonen av gyldentall og søndags­bokstaver alltid gjentar seg efter 532 år, men ikke før. Et års gyldentall er ett av tallene 1, 2,...19 og et års søndags­bokstav er én av de syv bokstavene A, B,...G, to bokstaver når det er et skuddår.

Gregoriansk påskeformel[rediger | rediger kilde]

Fordelingen av datoene for påskedagen i den gregorianske syklusen på 5 700 000 år.

Det andre regneskjemaet gjelder fra og med året 1583 med unntak for de land som inn­førte den gregorianske kalenderen ved et senere tidspunkt, deriblant Norge (1700) og kalles den gregorianske påskeformelen. Fordi skuddårene i den gregorianske kalenderen ikke følger en like enkel regel som i den julianske, er den gregorianske påskeformelen litt mer komplisert enn den julianske.

Påskeformelen gir nå en periodisk syklus på 5 700 000 år (eksakt). Påske­dagen kan falle på 35 forskjellige datoer; 22. mars er den tidligste, og 25. april er den seneste datoen. Sistnevnte dato var fra gammelt av en merkedag som kaltes gangdagen eller markusmesse. Ikke siden 1818 har påske­dagen falt på den tidligst mulige datoen, og den vil ikke gjøre det igjen før i 2285. I 1913 og 2008 falt påske­dagen på 23. mars, neste gang det skjer er i 2160. Påskedagen var på den senest mulige datoen i 1886 og 1943, neste gang det skjer er i 2038. 19. april er den vanligste datoen, i løpet av syklusen faller påskedagen på denne datoen hele 220 400 ganger, dette tilsvarer 3,87 % av alle gangene (gjennomsnittet for alle datoene er 2,86 %). 22. mars er den sjeldneste datoen, den forekommer bare 27 550 ganger (0,48 %), dernest følger 25. april som forekommer 42 000 ganger (0,74 %) i løpet av 5 700 000 år.

Avvik i Danmark-Norge[rediger | rediger kilde]

Ved innføringen av den gregorianske kalenderen i Danmark-Norge mandag 1. mars 1700 valgte man å følge de astronomiske tidspunktene for vårjevndøgn og fullmåne med utgangspunkt i Vens meridian etter anbefaling fra astronomen Ole Rømer.

Det eneste året da dette ga seg praktisk utslag var i 1744, da Danmark-Norge feiret påske én uke før alle andre land som hadde gått over til den gregorianske kalenderen. I 1724 var det også én ukes avvik, men da valgte man likevel å følge påskeformelen. I 1778 ville det også ha vært avvik, men da hadde man allerede besluttet å gå tilbake til å bruke den gregorianske påskeformelen. [1]

Beregninger[rediger | rediger kilde]

Beregningen av datoen for påskedagen kan utføres på flere måter. Her er noen av de mest benyttede i nyere tid:

Gauss' metode (for både juliansk og gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Metoden ble utarbeidet av Carl Friedrich Gauss og publisert i 1816 i artikkelen: «Berichtigung zu dem Aufsatze: Berechnung des Osterfestes».

Definisjoner[rediger | rediger kilde]

K = årstallet
a = K mod 19
b = K mod 4
c = K mod 7

Definér fra tabell:

Årstall   | M | N
------------------
Juliansk kalender:
           15   6
Gregoriansk kalender:
1583-1699  22   2
1700-1799  23   3
1800-1899  23   4
1900-2099  24   5
2100-2199  24   6
2200-2299  25   0
2300-2399  26   1
d = (19a + M) mod 30
e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7
Hvis (d + e) < 10, vil påske­dagen være (d + e + 22). mars ellers (d + e – 9). april.

Med unntak av:

26. april erstattes med 19. april.
25. april erstattes med 18. april hvis d = 28, e = 6 og a > 10.

Tallene M og N beregnes slik (skal bare gjøres for gregoriansk kalender, se over):

Hvis k er årstallets to første sifre (hundretallet),
p er kvotienten av divisjonen (13 + 8k)/25 uten hensyn til resten og
q er kvotienten av divisjonen k/4 uten hensyn til resten, så er
M = (15 - p + k - q) mod 30 og
N = (4 + k - q) mod 7. [2]

Meeus/Jones/Butchers formel (bare for gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Denne formelen, som bare gjelder for den gregorianske kalenderen, ble første gang presentert i tidsskriftet Nature i 1876. Siden er den blitt trykt flere ganger bl.a. i bøker av Harold Spencer Jones (side 73)[3] og Jean Meeus. Den egner seg til bruk i dataprogrammer fordi den er uten unntak, på lik linje med flere av eksemplene under.

Formeloppbygging[rediger | rediger kilde]

Divider  med   Kvotient   Rest 
Årstallet (X)   19 a
Årstallet (X) 100 b c
b     4 d e
b + 8   25 f
b - f + 1     3 g
 19a + b - d - g + 15    30 h
c     4 i k
32 + 2e + 2i - h - k     7 l
a + 11h + 22l 451 m
h + l - 7m + 114   31 n p

Da blir n = månedens nummer (3 = mars, 4 = april), og p + 1 = dagen i måneden som påske­dagen faller på.

Nedenfor vises formelen over implementert med Javascript. Den benytter biblioteket "moment" - fra http://momentjs.com:

    function EasterSunday (InputYear) {
        var a = InputYear % 19;
        var b = Math.floor(InputYear/100); var c = InputYear % 100;
        var d = Math.floor(b/4); var e = b % 4;
        var f = Math.floor((b+8)/25);   
        var g = Math.floor((b-f+1)/3);
        var h = (19*a+b-d-g+15) % 30;      
        var i = Math.floor(c/4); var k = c % 4;
        var l = (32 + 2*e + 2* i - h - k) % 7;
        var m = Math.floor((a+11*h+22*l)/451);
        var n = Math.floor((h+l-7*m+114)/31); var p = (h+l-7*m+114) % 31;
        p++;
        var es = moment(p+"-"+n+"-"+InputYear, "DD-MM-YYYY");   
        return es;
    }

Meeus' formel (bare for juliansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Belgieren Jean Meeus beskrev denne formelen i den andre utgaven (den engelske) av boken sin, «Astronomical Formulæ for Calculators» (side 33)[4], i 1982. Formelen er kort og uten unntak. Den gjelder bare for den julianske kalenderen.

Formeloppbygging[rediger | rediger kilde]

Divider  med   Kvotient   Rest 
Årstallet (X)   4 a
Årstallet (X)   7 b
Årstallet (X) 19 c
19c + 15 30 d
 2a + 4bd + 34    7 e
d + e + 114 31 f g

Da blir f = månedens nummer (3 = mars, 4 = april), og g + 1 = dagen i måneden som påske­dagen faller på.

Lichtenbergs formel (for både juliansk og gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Denne formelen ble publisert av tyskeren Heiner Lichtenberg i Historia Mathematica 24 i 1997: «Zur Interpretation der Gaußschen Osterformel und ihrer Ausnahme­regeln» (sidene 441 – 444)[5]. Den er enklere enn Meeus/Jones/Butchers formel, er uten unntak og har også en variant for den julianske kalenderen. Under er den skrevet som norsk Microsoft Excel hvor X er et årstall.

Formeloppbygging[rediger | rediger kilde]

Variabel Juliansk kalender Gregoriansk kalender Tyske kommentarer
K 0 =HELTALL(X/100) Säkularzahl.
A =REST(X;19) Mondparameter.
M =15 =15+HELTALL((3*K+3)/4)-HELTALL((8*K+13)/25) säkulare Mondschaltung.
S 0 =2-HELTALL((3*K+3)/4) säkulare Sonnenschaltung.
D =REST(19*A+M;30) Keim für den ersten Vollmond im Frühling.
R 0 =HELTALL((D+A/11)/29)[6] kalendarische Korrekturgröße.
SZ =7-REST(X+HELTALL(X/4);7) =7-REST(X+HELTALL(X/4)+S;7) erster Sonntag im März.
OG =21+D =21+D-R Ostergrenze.
OE =7-REST(OG-SZ;7) Entfernung in Tagen, die der Oster­sonntag von der Oster­grenze hat (Osterentfernung).
OS =OG+OE Datum des Oster­sonntags, dar­gestellt als März­datum, wobei ein März­datum > 31 durch Abziehen von 31 auf ein April­datum zu reduzieren ist.

OS er datoen for påske­dagen uttrykt som en dato i mars (f.eks. OS = 32 betyr 1. april). I en dato-formatert celle i Excel kan fullstendig dato da skrives som:

=DATO(X;HVIS(OS>31;4;3);HVIS(OS>31;OS-31;OS))

Påskeformler i én enkelt celle i regneark (bare for gregoriansk kalender)[rediger | rediger kilde]

Det kan være fristende å bruke et regne­ark for å beregne den gregorianske datoen for påskedagen; én enkelt celle er tilstrekkelig. Da er det et par ting man bør være klar over først:
Kalenderen i Microsoft Excel på PC (og en del andre regneark) begynner med år 1900, som disse regnearkene mener var et skuddår som begynte på søndag. Men det året var ikke skuddår i den gregorianske kalenderen og det begynte på mandag! Fra og med torsdag 1. mars 1900 samsvarer ukedag og dato riktig i disse regnearkene. Beregningen av fastelavns­søndag (49 døgn før påske­dagen) kan dermed bli feil for året 1900 i slike regneark hvis man ikke tar hensyn til disse feilene (riktig dato er 25. februar 1900).
Formlene under kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. Microsoft Excel både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):

Norsk: =AVRUND.GJELDENDE.MULTIPLUM.NED
        (DATO(A1;3;27-DAG(0))+0,97*REST(18,998*REST(A1+8/9;19)+HELTALL(0,68*HELTALL(A1/100)-HELTALL(A1/400)-5/9);30);7)+DAG(1)
Engelsk:        =FLOOR(DATE(A1,3,27-DAY(0))+0.97*MOD(18.998*MOD(A1+8/9,19)+INT(0.68*INT(A1/100)-INT(A1/400)-5/9),30),7)+DAY(1)

hvor cellen A1 inneholder det fire-sifrede års­tallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 9999. [7] Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato.

Det finnes også forenklede formler for beregning av påskedagens gregorianske dato, men disse gjelder bare for et begrenset tids­rom. Dette kan likevel være tilstrekkelig for å finne datoen(e) for påskedagen i en kortere periode. Flere av dem kan brukes direkte i én enkelt celle i et regneark, f.eks. Excel både på PC (1900-datosystem) og Mac (1904-datosystem):

Norsk: =AVRUND(DATO(A1;4;1-DAG(0))/7+REST(19*REST(A1;19)-7;30)*0,14;0)*7-6+DAG(0)
Engelsk:  =ROUND(DATE(A1,4,1-DAY(0))/7+MOD(19*MOD(A1,19)-7,30)*0.14,0)*7-6+DAY(0)

hvor cellen A1 inneholder det fire-sifrede års­tallet til datoen som man ønsker å finne for påskedagen i perioden 1900 – 2203. [7] Cellen som inneholder utregningen bør formateres som en dato. Den viste formelen vil gi riktig dato for påskedagen til og med år 2203. Deretter gir den hyppige feil (bl.a. i år 2204, 2207 og 2209). Andre forenklede formler kan gi feil dato for år 2079 også.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ «Paasken falder ikke altid som den skal» (dansk). Ingeniøren. 16. mars 2008. 
  2. ^ «påske - beregning af påskedagens dato» (dansk). Den Store Danske (Gyldendal). 21. mars 2016. 
  3. ^ «Meeus/Jones/Butchers formel» (engelsk). Butler & Tanner Ltd. 1924. 
  4. ^ «Meeus' formel» (PDF) (engelsk). Willman-Bell, Inc. 1988. 
  5. ^ «Lichtenbergs formel» (tysk). Academic Press. 1997. 
  6. ^ Lichtenbergs forenkling av originalen som var: =HELTALL(D/29)+(HELTALL(D/28)-HELTALL(D/29))*HELTALL(A/11) www.merlyn.demon.co.uk [1]
  7. ^ a b «Excel Easter Calculations» (engelsk). Contextures. 12. juli 2013. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]