Riemanns zeta-funksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Riemanns zeta-funksjon for reelle s > 1

Riemanns zeta-funksjon \zeta(s) defineres for alle komplekse tall s med realdel større enn 1 som


\zeta(s) =
\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.

Riemann oppdaga at denne rekka har en analytisk fortsettelse for alle s forskjellige fra 1. Denne fortsettelsen danner grunnlag for Riemannhypotesen.

Euler oppdaga at serien ovenfor også kan uttrykkes som et uendelig produkt over alle primtall,


\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.

Man kan uttrykke den inverterte verdien av zeta-funksjonen ved hjelp av Möbiusfunksjonen μ(n) på følgende måte:


\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}

for hvert komplekse tall s med realdel > 1.