Andrekvantisering

Grafisk fremstilling av Coulomb-kraften mellom to elektroner som skyldes utveksling av et foton.

Andrekvantisering er en betegnelse som benyttes noen ganger for kvantisering av klassiske felt som beskrevet ved kvantefeltteori. Den har sitt utgangspunkt i arbeidet til Paul Dirac fra 1927 der han for første gang viste hvordan det elektromagnetiske feltet kan beskrives ved bruk av kvantemekanikk. Når dette feltet vekselvirker med partikler, vil det avhenge av deres posisjoner. Disse erstattes av kvantemekaniske operatorer som inngår i Schrödinger-ligningen. Dette kan omtales som en «førstekvantisering». Dirac viste hvordan selv feltet i neste omgang kan beskrives kvantemekanisk og forklarte dermed eksistensen av fotoner.

Samme år viste Pascual Jordan sammen med forskjellige medarbeidere hvordan også identiske, ikke-relativistiske partikler kan beskrives på lignende måte som kvant til et «Schrödinger-felt» som sammenfaller med bølgefunksjonen til en av partiklene. Avhengig av om denne kvantiseringen gjøres ved kommutatorer eller antikommutatorer, vil da den andrekvantiserte teorien beskrive bosoner eller fermioner. Året etter viste Werner Heisenberg sammen med Wolfgang Pauli hvordan denne fremgangsmåten kan generaliseres til relativistiske teorier. Dermed var grunnlaget for moderne kvantefeltteori etablert.

Kvantemekanisk grunnlag

Hamilton-operatoren til en ikke-relativistisk partikkel med masse m  som beveger seg i et statisk potensiial U(x), kan skrives som

${\hat {h}}={{\hat {\mathbf {p} }}^{2} \over 2m}+U({\hat {\mathbf {x} }})$

Den har bestemte egentilstander ${\hat {h}}|k\rangle =\varepsilon _{k}|k\rangle$ med kvantetall k  som kan betraktes som ket-vektorer $|k\rangle$ i et Hilbert-rom ${\widehat {\cal {H}}}.$ Det er praktisk å ortonormere dem slik at $\langle k|k'\rangle =\delta _{kk'}$ når man benytter et Kronecker-delta på høyre side. Da de må utgjøre et «fullstendig sett», vil de nå oppfylle

$\sum _{k}|k\rangle \langle k|=1$

som er en av kvantemekanikkens grunnleggende postulater.

De tilsvarende egenverdiene ε_k er partikkelens kvantiserte energier og finnes enklest ved å benytte en posisjonsbasis med vektorer $|\mathbf {x} \rangle$ i Hilbert-rommet. Disse vektorene er egenvektorer for partikkelens posisjonsoperator ${\widehat {\mathbf {x} }}.$ Egenverdiene er dens mulige posisjoner x. Da disse kan variere kontinuerlig, må man benytte Diracs deltafunksjon i normeringen

$\langle \mathbf {x} |\mathbf {x'} \rangle =\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

av de tilsvarende egenvektorene. I denne basisen kan egentilstandene $|k\rangle$ representeres ved bølgefunksjonene $u_{k}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |k\rangle .$ Deres ortogonalitet kan dermed skrives som

$\int \!d^{3}x\,u_{k}^{*}(\mathbf {x} )u_{k'}(\mathbf {x} )=\delta _{kk'},$

mens

$\sum _{k}u_{k}(\mathbf {x} )u_{k}^{*}(\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

uttrykker at de utgjør et fullstendig sett. Det opprinnelige egenverdiproblemet ${\hat {h}}|k\rangle =\varepsilon _{k}|k\rangle$ tilsvarer nå løsningen av Schrödinger-ligningen

${\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U(\mathbf {x} ){\Big ]}u_{k}(\mathbf {x} )=\varepsilon _{k}u_{k}(\mathbf {x} )$

for én partikkel.

Identiske partikler

De kvantemekaniske egenskapene til et system som består av N  identiske partikler som beveger seg i det samme, ytre potensialet uten gjensidige vekselvirkninger, er nå gitt ved en total Hamillton-operator

${\hat {H}}_{N}=\sum _{I=1}^{N}{\hat {h}}_{i}={\hat {h}}_{1}+{\hat {h}}_{2}+\cdots +{\hat {h}}_{N}$

Den er fullstendig symmetrisk under ombytte av partikler. Derfor kan dens egentilstandenr $|\Psi _{N}\rangle$ oppdeles i klasser som også er egentilstander under denne symmetrien. Tilstandene til identiske bosoner er totalt symmetriske, mens tilstandene for identiske fermioner er totalt antisymmetriske under slike ombytter. I begge tilfellene kan de skrives som $|k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle$ hvor kvantetallene $k_{i}$ angir 1-partikkeltilstandene hver av partiklene kan befinne seg i. Et vilkårlig antall bisoner kan befinne seg i en slik tilstand, mens den kun kan inneholde maksimalt én fermion ifølge Paulis eksklusjonsprinsipp. Bytter man om for eksempel de to første partiklene i tilstanden, vil da den forandres som

$|k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle =\epsilon |k_{2},k_{1},\cdots ,k_{N}\rangle$

hvor $\epsilon =1$ for bosoner og $\epsilon =-1$ for fermioner.

Energien til en slik mangepartikkeltilstand er gitt ved summen av energiene ε_k til hver enkelt partikkel. Når antall partikler er stort, kan dens beregning bli vanskelig. Den kan betraktelig forenkles ved å utvide Hilbert-rommet ${\cal {{H}_{N}}}$ for N  partikler til et mye større «Fock-rom» som har plass til alle tilstandene for et vilkårlig antall partikler. Det må da innføres nye operatorer som forbinder tilstander som opprinnelig befinner seg i Hilbert-rom med forskjellig antall partikler.

Kreasjonsoperatorer

En kreasjonsoperator ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ er definert ved å skape en ny partikkel med kvantetall k  i en N-partikkeltilstand $|k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle ,$

${\hat {a}}_{k}^{\dagger }|k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle =|k,k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle$

Virker to slike operatorer på den samme tilstanden, forandres den til

${\hat {a}}_{k'}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}^{\dagger }|k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle =|k',k,k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle$

Men da denne nye tilstanden har symmetriegenskapen $|k',k,k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle =\epsilon |k,k',k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle ,$ må man ha at ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }=\epsilon {\hat {a}}_{k'}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ hvor $\epsilon$ har motsatte verdier for bosoner og fermioner. Denne egenskapen skrives vanligvis som

$[{\hat {a}}_{k}^{\dagger },{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }]_{\epsilon }=[{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{k'}]_{\epsilon }=0$

hvor den generaliserte kommutator for to operatorer ${\hat {A}}$ og ${\hat {B}}$ er definert som $[{\hat {A}},{\hat {B}}]_{\epsilon }={\hat {A}}{\hat {B}}-\epsilon {\hat {B}}{\hat {A}}.$ For bosoner er dette den vanlige kommutatoren, mens den for fermioner med $\epsilon =-1$ vanligvis skrives med krøllete parenteser,

$\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}$

Den kalles da en «antikommutator» og opptrådte for første gang i forbindelse med Pauli-matrisene for partikler med spinn-1/2.

En 1-partikkeltilstand med kvantetall k  er nå $|k\rangle ={\hat {a}}_{k}^{\dagger }|0\rangle$ der $|0\rangle$ er den tomme tilstanden uten partikler. Den betegnes vanligvis som «vakuum-tilstanden» til mangepartikkelsystemet.

Annihilasjonsoperatorer

Den adjungerte til kreasjonsoperatoren ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ er annihilasjonsoperatoren ${\hat {a}}_{k}.$ Den fjerner en partikkel med kvantetallet k  fra en vilkårlig tilstand. Hvis den virker på den tomme tilstanden, må den gi null,

${\hat {a}}_{k}|0\rangle =0$

Likedan når den virker på 1-partikkeltilstanden $|k'\rangle ={\hat {a}}_{k'}^{\dagger }|0\rangle$ blir resultatet

${\hat {a}}_{k}|k'\rangle =\delta _{k,k'}|0\rangle$

Det følger fra den adjungrte sammenhengen $\langle k|=\langle 0|{\hat {a}}_{k}$ sammen med at $\langle k|k'\rangle =\delta _{k,k'}.$

I det generelle tilfellet virker den alltid på partikkelen som inntar førsteplassen i en vilkårlig tilstand $|k_{1},k_{2},\cdots ,k_{N}\rangle .$ På grunn av symmetriegenskapene til denne, kan hvilken som helst av partiklene opptre her. Derfor kan de i prinsippet alle bidra ved en beregning av virkningen til annihilasjonsoperatoren. For eksempel hvis man betrakter den enkle tilstanden $|k',k_{1}\rangle ={\hat {a}}_{k'}^{\dagger }|k_{1}\rangle$, blir

${\hat {a}}_{k}|k',k_{1}\rangle =\delta _{k,k'}|k_{1}\rangle +\epsilon \delta _{k,k_{1}}|k'\rangle$

Sammenlignes det med at ${\hat {a}}_{k'}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}|k_{1}\rangle =\delta _{k,k_{1}}|k'\rangle ,$ må man ha at

$[{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }]_{\epsilon }=\delta _{k,k'}$

Denne generaliserte kommutatoren mellom annihilasjonsoperatorer og kreasjonsoperatorer er grunnlaget for en feltteoretisk beskrivelse av slike mangepartikkelsystem.

Antallsoperatorer

De nye operatorene har samme algebraiske egenskaper som stigeoperatorene for en kvantisert harmonisk oscillator. At de øker og minsker antall partikler i hver tilstand følger fra antallsoperatorene ${\hat {n}}_{k}={\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}.$ Kommutatorene

$[{\hat {n}}_{k},{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }]=\delta _{k,k'}{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }\,,\quad [{\hat {n}}_{k},{\hat {a}}_{k'}]=-\delta _{k,k'}{\hat {a}}_{k'}$

gjelder både for bosoner og fermioner. Det følger fra identiteten $[{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]_{\epsilon }={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]_{\epsilon }+\epsilon [{\hat {A}},{\hat {C}}]_{\epsilon }{\hat {B}}.$ viser at ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ er en heveoperator, mens ${\hat {a}}_{k}$ er en senkeoperator.

Ved bruk av egenverdiene n_k til disse antallsoperatornene som også kalles for «besettelsetall» eller «okkupasjonstall», kan nå mangepartikkeltilstandene $|k_{1},k_{2},k_{3},\cdots \rangle$ skrives på den alternative måten $|n_{0},n_{1},n_{2},\cdots \rangle$ hvor n₀ angir hvor mange partikler er i laveste 1-partikkeitilstand med ε₀, n₁ er antallet med nest laveste energi ε₁ og så videre. For bosoner med $\epsilon =1$ kan antall partikler i en bestem 1-partikkeltilstand økes vilkkårlig mye ifølge

${\hat {a}}_{k}^{\dagger }|\cdots ,n_{k},\cdots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|\cdots ,n_{k}+1,\cdots \rangle$

Derimot for fermioner med $\epsilon =-1$ er ikke det mulig fordi ${\hat {a}}_{k}^{2}=0$ i dette tilfellet. Det betyr at antallsoperatoren oppfyller

${\hat {n}}_{k}^{2}={\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}={\hat {a}}_{k}^{\dagger }(1-{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}){\hat {a}}_{k}={\hat {n}}_{k}$

og kan derfor bare ta verdiene n_k = 0 eller 1. Det viser som forventet at Paulis eksklusjonsprinsipp gjelder.

Schrödinger-felt

Ved bruk av én-partikkeltillstandene $|k\rangle$ kan man på denne måten bygge opp en basis av mangepartikkeltilstander i Fock-rommet. En vilkårlig, annen basis kan derav utledes ved vanlig, kvantemekanisk transformasjonsteori. En spesielt viktig basis er basert på 1-partikkeltillstandene $|\mathbf {x} \rangle$ for en partikkel i posisjon x. Fullstendighetsrelasjonen gir nå

$|\mathbf {x} \rangle =\sum _{k}|k\rangle \langle k|\mathbf {x} \rangle =\sum _{k}u_{k}^{*}(\mathbf {x} )|k\rangle$

Her er nå $|k\rangle ={\hat {a}}_{k}^{\dagger }|0\rangle$ slik at $|\mathbf {x} \rangle ={\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} )|0\rangle$ der

${\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} )=\sum _{k}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }u_{k}^{*}(\mathbf {x} )$

er en ny kreasjonsoperator som skaper en partikkel i posisjonen x i det fysiske rommet. Den adjungerte operatoren

${\hat {\psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{k}{\hat {a}}_{k}u_{k}(\mathbf {x} )$

fjerner en partikkel som befinner seg i samme punkt. Denne nye annihilasjonsoperatoren er feltoperatoren for dette systemet av identiske partikler. Omvendt kan man si at alle partiklene er identiske fordi de skapes av det samme, kvantiserte feltet.

Alt hva som tidligere kunne beskrives ved de opprinnelige stigeoperataorene, kan nå uttrykkes ved disse ny feltoperatorene. For eksempel er den kanoniske kommutatoren i denne andrekvantiserte teorien

${\begin{aligned}\left[{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x'} )\right]_{\epsilon }&=\sum _{k,k'}u_{k}(\mathbf {x} )u_{k'}^{*}(\mathbf {x'} )[{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }]_{\epsilon }\\&=\sum _{k}u_{k}(\mathbf {x} )u_{k}^{*}(\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\end{aligned}}$

fordi 1-partikkeltilstandene utgjør et fullstendig sett. Derimot kommuterer felttoperatoren $\psi (\mathbf {x} )$ med seg selv i et annet punkt.

Hamilton-operator

Fra definisjonen av feltoperatoren vil produktet

${\hat {\rho }}(\mathbf {x} )={\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} )$

være et uttrykk for antall partikler i posisjonen x. At det virkelig er tettheten av partikler i dette punktet, kommer tydelig frem fra integralet

${\begin{aligned}{\hat {N}}&=\int \!d^{3}x\,{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} )=\sum _{k,k'}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k'}\int \!d^{3}x\,u_{k}^{*}(\mathbf {x} )u_{k'}(\mathbf {x} )\\&=\sum _{k}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}=\sum _{k}{\hat {n}}_{k}\end{aligned}}$

Denne operatoren gir dermed det totale antall partikler i en mangepartikkeltilstand ved å summere opp okkupasjonstallene ifor hver 1-partikkeltilstand.

På samme vis kan den totale energien i systemet uttrykkes ved 1-partikkelenergiene ε_k og dermed finnes fra Hamilton-operatoren

${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{k}\varepsilon _{k}\,{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}\\&=\int \!d^{3}x\,{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} )\left[{-\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U(\mathbf {x} )\right]{\hat {\psi }}(\mathbf {x} )\end{aligned}}$

Innholdet av den store parentesen her er Hamilton-operatoren ${\hat {h}}(\mathbf {x} )$ for en enkelt partikkel i det ytre potensialet U(x). Den totale Hamilton-operatoren ${\hat {H}}$ kan derfor skrives som et integral over en «Hamilton-tetthet»

${\hat {\cal {H}}}(\mathbf {x} )={\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {h}}(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} )$

Her er ${\hat {h}}$ en operator i den førstekvantiserte 1-partikkelteorien, mens ${\hat {H}}$ er Hamilton-operatoren I den andrekvantiserte mangepartikkelteorien.

Tidsutvikling

Det er en totale Hamilton-operatoren ${\hat {H}}$ som bestemmer tidsutviklingen av tilstandsvektoren $|\Psi ,t\rangle$ til hele systemet av identiske partikler. Den er gitt ved løsning av den tidsavhengige Schrödinger-ligningen

$i\hbar {\partial \over \partial t}|\Psi ,t\rangle ={\hat {H}}|\Psi ,t\rangle$

I dette «Schrödinger-bildet» er operatorene som virker på disse tilstandene, uavhengige av tiden. En alternativ beskrivelse av systemet kan gis i Heisenberg-bildet der tilstandene er uforanderlige og all tidsvariasjon er lagt til operatorene som virker på dem. For feltoperatoren betyr det at den utvikler seg som

${\begin{aligned}{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t)&=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,0)e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\\&=\sum _{k}u_{k}(\mathbf {x} )\left[{\hat {a}}_{k}+\left({it \over \hbar }\right)[{\hat {H}},{\hat {a}}_{k}]+{1 \over 2!}\left({it \over \hbar }\right)^{2}[{\hat {H}},[{\hat {H}},{\hat {a}}_{k}]]+\cdots \right]\end{aligned}}$

Ved her å benytte at $[{\hat {H}},{\hat {a}}_{k}]=\varepsilon _{k}[{\hat {n}}_{k},{\hat {a}}_{k}]=-\varepsilon _{k}{\hat {a}}_{k},$ blir dermed

${\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t)=\sum _{k}{\hat {a}}_{k}u_{k}(\mathbf {x} )e^{-i\varepsilon _{k}t/\hbar }$

I motsetning til en relativistisk feltoperator hvor summen inneholder også et lignende ledd med kreasjonsoperatorer for antipartikler, inngår her bare ett ledd da denne andrekvantiserte teorien er ikke-relativistisk. Den kanoniske kommutatoren

$\left[{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x'} ,t)\right]_{\epsilon }=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

gjelder fremdeles såfremt de to operatorene inngår med samme tid.

Denne tidsutviklingen er ekvivalent med hva som følger fra Heisenbergs bevegelsesligning

${\begin{aligned}i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t)&=[{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {H}}]=\int \!d^{3}x'[\psi (\mathbf {x} ,t),{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x'} ,t){\hat {h}}(\mathbf {x'} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x'} ,t)]\\&=\left[-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U(\mathbf {x} )\right]{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t)\end{aligned}}$

Det ikke-relativistiske kvantefeltet oppfyller derfor den samme Schrödinger-ligningen som bølgefunksjonen for en enkelt partikkel gjør. Dette er en av grunnene for at det bærer navnet Schrödinger-felt.

Vekselvirkninger

Når partiklene kan bevege seg helt fritt, er hver av dem beskrevet ved Hamilton-operatoren ${\hat {h}}={\hat {\mathbf {p} }}^{2}/2m$ hvor impulsoperatoren ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}.$ Dens egenfunksjoner er plane bølger

$u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} |\mathbf {k} \rangle ={\sqrt {1 \over V}}\,e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$

når de beregnes i et stort volum V  med periodiske grensebetingelser. Impulsen til partikkelen beskrevet ved denne bølgefunksjonen, er nå $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$, mens dens energi er $\varepsilon _{\mathbf {k} }=\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}/2m.$ Den tilsvarende feltoperatoren tar nå formen

${\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t)={\sqrt {1 \over V}}\sum _{\mathbf {k} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{i(\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\varepsilon _{k}t)/\hbar }$

som gjelder både for bosoner og fermioner.

Ytre potensial

Når disse identiske partiklene befinner seg i et felles, ytre potensial, er ${\hat {h}}={\hat {\mathbf {p} }}^{2}/2m+U(\mathbf {x} )$ Hamilton-operatoren for hver av dem. De plane bølgene $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$ er ikke lenger løsninger av 1-partikkel Schrödinger-ligningen som nå er generelt vanskelig å løse eksakt. Men de danner likevel et fullstendig sett av løsninger som verifiseres ved at

$\sum _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }^{*}(\mathbf {x'} )={1 \over V}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

når man benytter den matematiske overgangen

$\sum _{\mathbf {k} }\rightarrow V\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}$

i grensen der volumet V  blir veldig stort. Ved et bestemt tidspunkt t = 0 kan derfor feltoperatoren fremdeles skrives som

${\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,0)={\sqrt {1 \over V}}\sum _{\mathbf {k} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} },$

mens den ved andre tidspunkt vanskelig kan beregnes. Prinsipielt er den gitt ved bruk av den totale Hamilton-operatoren

${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\int \!d^{3}x\,{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} )\left[{-\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U(\mathbf {x} )\right]{\hat {\psi }}(\mathbf {x} )\\&=\sum _{\mathbf {k} }[\varepsilon _{\mathbf {k} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }+\sum _{\mathbf {q} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }^{\dagger }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }U_{\mathbf {q} }]\end{aligned}}$

Her opptrer faktoren som er den Fourier-transformerte

$U_{\mathbf {q} }={1 \over V}\int \!d^{3}x\,U(\mathbf {x} )e^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {x} }$

av det ytre potensialet. Det første leddet i Hamilton-operatoren representerer den kinetiske energien til partikkelen med impuls ħ k før den vekselvirker med potensialet. Fourier-komponenten U_q tilfører den en impuls ħ q slik at den forlater potensialet med impulsen ħ k + ħ q. Dette representerer en spredning av partikkelen mot potensialet. Det tilsvarende spredningstverrsnittet kan nå regnes ut på en systematisk måte ved en Born-ekspansjon av spredningsamplituden basert på denne vekselvirkningen i Hamilton-operatoren.

I en førstekvantiisert beskrivelse av en slik spredningsprosess vil man si at det er én og samme partikkel som både kommer inn mot potensialet og som etterpå forlater det. Dette er i motsetning til det bildet som den andrekvantiserte beskrivelsen gir. Den sier at den innkommende partikkel med impuls ħ k først blir annihilert av potensialet. Deretter blir en ny partikkel skapt med impuls ħ k + ħ q og forlater potensialet.

Gjensidige koblinger

Et mangepartikkelsystem som kun vekselvirker med et ytre potensial, er sjelden særlig realistisk. Vanligvis vil partiklene også kunne vekselvirke seg i mellom. Den viktigste formen på en slik gjennsidig kobling er via en potensiell energi $V(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ kun avhengig av deres relative avstand. De to partiklene befinner seg i en symmetrisert tilstand

$|\mathbf {x} \mathbf {x'} \rangle ={\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x'} )|0\rangle$

før vekselvirkningen ogg i en tilsvarende tilstand etterpå. Mangepartikkeloperatoren som beskriver denne gjensidige vekselvirkningen er dermed

${\hat {V}}={1 \over 2}\int \!d^{3}x\!\int \!d^{3}x'{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x'} )V(\mathbf {x} -\mathbf {x'} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x'} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} )$

hvor faktoren 1/2 foran kommer fra normeringen som benyttes.

For praktiske beregninger kan man uttrykke feltoperatorene her ved kreasjons- og annihilasjonsoperatorer. Da blir den vekselvirkningsoperatoren

${\hat {V}}={1 \over 2}\sum _{klmn}V_{kl;mn}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{m}{\hat {a}}_{n}$

hvor nå matriseelementet av potensialet er

$V_{kl;mn}=\int \!d^{3}x\!\int \!d^{3}x'u_{k}^{*}(\mathbf {x} )u_{l}^{*}(\mathbf {x'} )V(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )u_{m}(\mathbf {x'} )u_{n}(\mathbf {x} )$

Rekkefølgende til de forskjellige operatorene er her viktig I det ureallistiske tilfellet at denne vekselvirkningen er uavhengig av avstanden og har derfor en konstant verdi V = 1, blir matriseelementet $V_{kl;mn}=\delta _{kn}\delta _{lm}.$ Av det følger at

${\begin{aligned}{\hat {V}}&={1 \over 2}\sum _{kl}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}^{\dagger }{\hat {a}}_{l}{\hat {a}}_{k}={1 \over 2}\sum _{k}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {N}}{\hat {a}}_{k}\\&={1 \over 2}\sum _{k}{\hat {a}}_{k}^{\dagger }({\hat {a}}_{k}{\hat {N}}-{\hat {a}}_{k})={1 \over 2}{\hat {N}}({\hat {N}}-1)\end{aligned}}$

i overensstemmelse med at systemet har N(N - 1)/2 slike parvekselvirkainger hvis det inneholder N partikler i alt.

Punktkobling

Når energien til partiklene blir mindre, vil de Broglie bølgelengden til hver av dem øke. Da rekkevidden til den interne vekselvirkningen $V(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ ofte er svært liten, vil dens totale bidrag til totalenergien bli mer og mer uavhengig av den eksakte formen til denne interne koblingen. Ved tilstrekkelig lave energier kan man erstatte den med en «punktkobling» der $V(\mathbf {x} -\mathbf {x'} )\rightarrow g\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$ som tilsvarer at partiklene kun vekselvirker når de befinner seg i samme punkt. Den gjensidige vekselvirkningen mellom alle partiklene er da gitt av operatoren

${\hat {V}}={g \over 2}\int \!d^{3}x\,{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} )$

Det betyr at den totale Hamilton-tettheten for mangepartikkelsystemet er

${\hat {\cal {H}}}(\mathbf {x} )={\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} )\left[{-\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U(\mathbf {x} )\right]{\hat {\psi }}(\mathbf {x} )+{g \over 2}{\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}^{\dagger }(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} ){\hat {\psi }}(\mathbf {x} )$

Benyttes den til å beregne bevegelsesligningen for feltoperatoren, blir denne

$i\hbar {\partial \over \partial t}{\hat {\psi }}=\left[-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U+g{\hat {\psi }}^{\dagger }{\hat {\psi }}\right]{\hat {\psi }}$

Den opprinnelige ligningen for uavhengige partikler har fått et ekstra ledd som involverer tre operatorer. Av denne grunn blir den ofte omtalt som den ikke-lineære Schrödinger-ligningen. Men dette er bevegelsesligningen for kvantefeltet, Schrödinger-ligningen for hele systemet av partikler er alltid lineær.

Lagrange-formulering

Relativistiske kvantefeltteorier blir formulert ved å ta utgangspunkt i den klassiske Lagrange-funksjonen for feltet. Den er på mange måter en mer fundamental størrelse enn Hamilton-funksjonen for systemet som kan betraktes som en avledet størrelse. Lagrange-funksjonen definerer også entydig hva den konjugerte impulsen til feltet er. Når feltet kvantiteres, er det denne som inngår i den kanoniske kommutatoren og dermed gjør den klassiske beskrivelsen om til en kvantefeltteori.

Dynamikken til det ikke-relativistiske Schrödinger-feltet kan også utledes fra en Lagrange-funksjon på samme måte. Den er gitt ved Lagrange-tettheten

${\cal {L}}=i\hbar \psi ^{*}{\dot {\psi }}-{\hbar ^{2} \over 2m}({\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{*})\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\psi )-U\psi ^{*}\psi -{g \over 2}(\psi ^{*}\psi )^{2}$

når man tar med både vekselvirkningen med et ytre potensial og en punktkobling mellom partiklene. Her er ${\dot {\psi }}=\partial \psi /\partial t$ og det klassiske feltet $\psi =\psi (\mathbf {x} ,t)$ er en skalar funksjon som kommuterer med seg selv.

Da feltet er komplekst, har det to reelle komponenter. Istedenfor behandle bevegelsesligningene for hver av dem, kan man betrakte $\psi$ og $\psi ^{*}$ som to uavhengige felt. Den generelle Euler-Lagrange-ligningen for $\psi$ er nå

${\partial {\mathcal {L}} \over \partial \psi }-{\partial \over \partial t}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {\psi }}}-\sum _{j=1}^{3}{\partial \over \partial x_{j}}{\partial {\mathcal {L}} \over \partial \psi _{,j}}=0$

hvor $\psi _{,j}=\partial \psi /\partial x_{j}$ er komponentene til gradienten av feltet. Den tilsvarende ligningen for det konjugerte feltet gir da

$i\hbar {\partial \over \partial t}\psi =\left[-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+U+g\psi ^{*}\psi \right]\!\psi$

og har nøyaktig samme form som for den tilsvarende feltoperatoren.

Hamilton-tetthet

Den kanoniske impulsen til feltet er definert ved den deriverte

$\Pi ={\partial {\mathcal {L}} \over \partial {\dot {\psi }}}=i\hbar \psi ^{*}$

Herav finnes Hamilton-tettheten

${\begin{aligned}{\cal {H}}&={\dot {\psi }}\Pi -{\cal {L}}\\&={\hbar ^{2} \over 2m}({\boldsymbol {\nabla }}\psi ^{*})\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\psi )+U\psi ^{*}\psi +{g \over 2}(\psi ^{*}\psi )^{2}\end{aligned}}$

Sammenlignes dette uttrykket med den kvantemekaniske Hamilton-tettheten, har leddet som inneholder gradienten til feltet, motsatt fortegn. Men da det er den totale Hamilton-funksjonen gitt ved integralet over denne tettheten, kan fortegnet forandres ved en partiell integrasjon.

Kvantisering

Når dette skalare feltet kvantiseres, går det over til å bli en feltoperator ${\hat {\psi }},$ mens det konjugerte feltet blir den adjungerte feltoperatoren ${\hat {\psi }}^{\dagger }.$ Selve kvantiseringen består i at feltoperatoren for det første må oppfylle den samtidige kommutatoren

$\left[{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\psi }}(\mathbf {x'} ,t)\right]_{\epsilon }=0$

hvor $\epsilon =1$ for bosoner og $\epsilon =-1$ for fermioner. For det andre må den samtidige kommutatoren mellom feltoperatoren og den konjugerte impulsoperatoren ha den kanoniske verdien

$\left[{\hat {\psi }}(\mathbf {x} ,t),{\hat {\Pi }}(\mathbf {x'} ,t)\right]_{\epsilon }=i\hbar \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )$

som gir den tidligere kommutatoren mellom ${\hat {\psi }}$ og ${\hat {\psi }}^{\dagger }.$ Dette medfører at Hamilton-funksjonen også blir en operator hvor rekkefølgen av de forskjellige feltoperatorene er viktig.