Dirac-formalisme

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Paul Dirac under en forelesning.

Dirac-formalisme elller bra-ket-notasjon benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

En vektor v omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet , mens en dual vektor u* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen . Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som På denne formen minner dette om en engelsk bracket  hvor bokstaven c  er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.[1]

Matrisenotasjon[rediger | rediger kilde]

I et komplekst vektorrom med en basis kan operatorer representeres som N × N matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er vn hvor indeksen n = 1, 2, ..., N, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

hvor T  står for transponering.

Når en operator virker på denne, vil den gi en ny ketvektor Da operatoren er representert ved matrisen A = (Amn) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren gitt som

Den duale vektoren til ket-vektoren er bra-vektoren med komponenter i en radvektor,

Formelt finnes den fra kolonnevektoren ved kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.[2]

Indreproduktet mellom en bra-vektor og ket-vektoren kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk[rediger | rediger kilde]

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis I Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

hvor komponenten er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» for at systemet befinner seg i tilstand

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat x, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander . Deres normering er nå

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side.

Bølgefunksjon til partikkelen er formelt komponenten Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer og er nå gitt som

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.[3]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford at the Clarendon Press, Oxford (1947).
  2. ^ M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
  3. ^ D.J. Griffiths, Quantum Mechanics, Pearson Education International, Essex (2005). ISBN 1-292-02408-9.