Stigeoperator

Med stigeoperatorer kan man gå opp eller ned i egenverdier.

Stigeoperatorer benyttes i lineær algebra og kvantemekanikk til å heve eller senke egenverdien til en annen operator. Når de benyttes i kvantefeltteori, kalles de vanligvis for kreasjons- og annihilasjonsoperatorer siden de skaper eller fjerner partikler eller kvant.

Operatorene spiller en sentral rolle i kvantisering av en harmonisk oscillator. De benyttes også ved kvantisering av dreieimpuls. Dette tilsvarer etablering av representasjoner til Lie-gruppen SU(2) for rotasjoner. Mer generelt opptrer de i klassifikasjon og representasjon av alle Lie-grupper.

Definisjon

Bruk av stigeoperatorer i fysikk kan føres tilbake til Paul Dirac og hans første bidrag til kvantemekanikken. Med sin egen formalisme basert på lineær algebra beskrev han den matematisk ved operatorer som virker i et multidimensjonalt vektorrom.

La ${\hat {N}}$ være en hermitisk operator i dette vektorrommet med egenverdi n. Ved å benytte Diracs notasjon, vil da

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$

Anta at det finnes i tillegg en annen operator ${\hat {S}}$ med den spesielle egenskapen

$[{\hat {N}},{\hat {S}}]=s{\hat {S}}\,$

hvor s er et reelt tall. Kommutatoren mellom to operatorer er her definert som $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ i kvantemekanikken. Operatoren ${\hat {S}}$ kalles nå for en «stigeoperator» hvor navnet kommer fra egenskapen

${\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {S}}|n\rangle &=({\hat {S}}{\hat {N}}+s{\hat {S}})|n\rangle \\&=(n+s){\hat {S}}|n\rangle \end{aligned}}$

Det betyr at vektoren ${\hat {S}}|n\rangle$ er en ny egenvektor med egenverdi n + s. Gjentatt bruk av denne operatoren vil da kunne skape nye egenvektorer med tilsvarende egenverdier med samme avstand fra den forangående. Hvis konstanten s  er positiv, er det naturlig å kalle operatoren ${\hat {S}}$ mer spesifikt for en heveoperator.

Da den hermitisk adjungerte operatoren ${\hat {S}}^{\dagger }$ har kommutatoren

$[{\hat {N}},{\hat {S}}^{\dagger }]=-s{\hat {S}}^{\dagger },$

vil man på samme vis få at denne virker som en tilsvarende senkeoperator da den reduserer egenverdien med s.

Harmonisk oscillator

Hamilton-operatoren for en harmonisk oscillator med frekvens ω  er

${\hat {H}}={\Big (}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{1 \over 2}{\Big )}\hbar \omega$

hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Operatorene ${\hat {a}}$ og ${\hat {a}}^{\dagger }$ har den fundamentale kommutatoren

$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$

Egenvektorene til Hamilton-operatoren er de samme som for den hermitiske operatoren ${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}.$ Den har derfor egenvektorer ${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$ med egenverdier n  som er reelle tall. Nå er

$[{\hat {N}},{\hat {a}}]={\hat {N}}{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}=-{\hat {a}}$

slik at ${\hat {a}}$ er en senkeoperator som reduserer egenverdien med én. Siden energien til oscillatoren må være positiv, må ${\hat {N}}$ ha en minste egenverdi n = 0. Den tilsvarende tilstanden må oppfylle ${\hat {a}}|0\rangle =0$ slik at ikke senkeoperatoren genererer tilstander med negativ energi.

Basert på denne «grunntilstanden» $|0\rangle$ med energi E₀ = (1/2)ħω  kan man så konstruere tilstander med høyere energi ved å benytte den hermitisk adjungerte operatoren ${\hat {a}}^{\dagger }.$ Den virker nå som en heveoperator og vil øke energien i stepp med størrelse ħω.

Normering

Bruk av stigeoperatorer forenkles betraktelig når de virker på normerte tilstander, det vil si med vektorer i tilstandsrommet som har samme lengde. Ved å velge denne å være gitt ved $\langle 0|0\rangle =1,$ vil også de eksisterte tilstandene få samme normering.

Da tilstanden ${\hat {a}}|n\rangle$ har egenverdi n - 1, må den kunne skrives som

${\hat {a}}|n\rangle =c|n-1\rangle$

hvor c  er en normeringskonstant som må bestemmes. Men hvis vektorene på begge sider av ligningen er normerte til én, vil

$|c|^{2}=\langle n|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|n\rangle =n$

Det betyr at c = √n  når man velger dette tallet å være reelt. Derfor har man

${\begin{aligned}{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}\,|n-1\rangle \\{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}\,|n+1\rangle \end{aligned}}$

etter å ha brukt at ${\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+1$ i den siste relasjonen. Denne kan nå brukes til å konstruere en vilkårlig egenvektor som

${\begin{aligned}|n\rangle &={\sqrt {1 \over n}}\,{\hat {a}}^{\dagger }|n-1\rangle ={\sqrt {1 \over n(n-1)}}\,({\hat {a}}^{\dagger })^{2}|n-2\rangle \\&={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}\,|0\rangle \end{aligned}}$

Den er da automatisk normert og kan benyttes til å gi de tilsvarende bølgefunksjonene på en mye enklere måte enn å finne disse som løsninger av Schrödinger-ligningen.

Dreieimpuls og spinn

De tre komponentene til dreieimpulsoperatoren ${\hat {\mathbf {J} }}=({\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z})$ kommuterer med kvadratet ${\hat {\mathbf {J} }}^{2},$ men ikke med hverandre. Ved å innføre lineærkombinasjonene ${\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y},$ kan kommutatorene skrives som

${\begin{aligned}\left[{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}\right]&=2\hbar {\hat {J}}_{z}\\\left[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }\right]&=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }\end{aligned}}$

Kvantisert dreieimpuls har nå egenvektorer $|j,m\rangle$ for både ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ og samtidig for komponenten ${\hat {J}}_{z},$ langs z-aksen,

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j,m\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}$

Her vil kvantetallet j  kunne anta verdiene 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Det gir størrelsen til den totale dreieimpulsen, mens kvantetallet m  gir verdien av denne langs z-aksen og varierer fra +j  til -j  i stepp på én.

Disse 2j + 1 steppene kan betraktes som trinn i en stige hvor øverste trinn er representert ved den høyeste tilstanden $|j,+j\rangle$ Fra kommutatorene ser man at ${\hat {J}}_{\pm }$ virker som heve- og senkeoperatorer i denne stigen. Deres numeriske effekt kan summeres opp ved at

${\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}\,|j,m\pm 1\rangle$

For hver verdi av kvantetallet j  kan man herav beregne matriserepresentasjoner av de abstrakte operatorene $({\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}).$ I det enkleste tilfellet er j = 1/2 og operatorene er representerte ved Pauli-matriseer.

Addisjon av dreieimpulser

Et atom har en total dreieimpuls som er gitt av summen

${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$

hvor ${\hat {\mathbf {L} }}$ er den orbitale dreieimpulsen som skyldes elektronenes bevegelse omkring atomkjernen og ${\hat {\mathbf {S} }}$ er dens og elektronenes indre dreieimpuls eller spinn. Egenvektorene til denne kombinerte operatoren vil nå bestå av lineærkombinasjoner av produkt $|\ell ,m_{\ell }\rangle |s,m_{s}\rangle$ av egentilstander til hver av operatorene. Disse kan igjen finnes ved å la senkeoperatoren ${\hat {J}}_{-}={\hat {L}}_{-}+{\hat {S}}_{-}$ virke på den høyeste tilstanden $|\ell ,+\ell \rangle |s,+s\rangle .$ Den har m = ℓ + s  som også er verdien til totalspinnet j. Resultatet etter én gangs bruk av senkeoperatoren er en lineærkombinasjon av tilstandene $|\ell ,\ell -1\rangle |s,s\rangle$ og $|\ell ,\ell \rangle |s,s-1\rangle .$ Selv om denne har m = ℓ + s - 1, er totalspinnet uforandret og lik med j = ℓ + s. Fortsatt bruk av ${\hat {J}}_{-}$ vil skape nye trinn i denne stigen eller multipletten med mindre verdier av m, men samme j. Derimot hvis man danner en ny tilstand som er ortogonal med de to tilstandene som utgjør egentilstanden $|\ell +s,\ell +s-1\rangle ,$ vil den være den høyeste tilstanden for en ny stige med j = ℓ + s - 1.

På denne måten kan man bygge opp nye egentilstander med total dreieimpuls j = ℓ + s, ℓ + s - 1, ℓ + s - 2, ..., ℓ - s  hvis man antar at ℓ ≥ s. Det opprinnelige antall (2ℓ + 1)⋅(2s + 1) tilstander splittes dermed opp i forskjellige spinnmultipletter, hver med 2j + 1 tilstander. Men det totale antall tilstander forblir uforandret,

${\begin{aligned}&\sum _{\ell -s}^{\ell +s}(2j+1)=\sum _{k=0}^{2s}[2(\ell -s+k)+1]\\&=[2(\ell -s)+1](2s+1)+2s(2s+1)=(2\ell +1)(2s+1)\end{aligned}}$

I det motsatte tilfellet med ℓ < s, vil de resulterende spinnmultiplettene ha j = s + ℓ, s + ℓ - 1, ..., s - ℓ og kan finnes på samme vis.