Andregradsligning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Grafen til et vilkårlig andregradspolynom, en parabel.

En andregradsligning, eller en kvadratisk ligning, er en matematisk ligning på formen

ax^2+bx+c=0; \quad a \ne 0

Ligningen har tre koeffisienter a, b og c, samt en ukjent x, som alle representerer reelle eller komplekse tall. Generelt har ligningen to løsninger, også kalt røtter.

Venstre side i ligningen er polynomfunksjonen f(x) = ax^2+bx+c, som i det reelle tilfellet grafisk framstiller en parabel. Røttene i andregradsligningen er lik nullpunktene til andregradspolynomet, det vil si de verdiene av x som gir f(x) = 0. Figuren til høyre viser at ligningen kan ha to, én eller ingen reelle røtter, avhengig av om funksjonen skjærer, tangerer eller ligger helt over eller under x-aksen.

Røttene i andregradsligningen kan uttrykkes ved hjelp av den såkalte ABC-formelen.

ABC-formelen[rediger | rediger kilde]

De to røttene til andregradsligningen kan skrives på formen

x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

hvor symbolet «±» indikerer at det eksisterer to løsninger:

x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} og \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a},

Uttrykket (b^2 - 4ac) i kvadratroten kalles diskriminanten. For en ligning med reelle koeffisienter vil en ha to reelle røtter, to sammenfallende reelle røtter, eller to komplekse røtter, avhengig av om diskriminanten er positiv, null eller negativ. To komplekse røtter vil være kompleks konjungerte.

Ved hjelp av røttene til ligningen kan andregradspolynomet faktoriseres på formen

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).\,

Anvendelse på ligninger av høyere grad[rediger | rediger kilde]

I enkelte særtilfeller kan en høyeregradsligning løses ved å innføre en variabelsubstitusjon som reduserer problemet til en andregradsligning. Et eksempel er ligningen

2x^6 + 3x^3 + 5 = 0,\,

som ved hjelp av substitusjonen  u = x^3 reduserer seg til

 2u^2 + 3u + 5 = 0. \

Denne ligningen lar seg lett løse for u ved hjelp av ABC-formelen.

Historie[rediger | rediger kilde]

Andregradslikninger opptrer i mange praktiske problem relatert til arealberegninger, og det er derfor ikke uventet at slike ligninger har en lang historie. Gjennom en lang matematikkhistorie har problemer der andregradsligningen opptrer vært viktig for forståelsen av tall og begreper som rasjonale, irrasjonale og komplekse tall.

babylonske leirtavler, datert mellom 1800-1600 f.Kr, finner en mange referanser til slike problem, f.eks: Finn lengden til et kvadrat der areal minus sidelengde er lik 870. Både problemstilling og løsningsmetode er beskrevet med ord, men i dagens symbolform er dette ekvivalent til løsningen av ligningen

x^2 - x = 870 \,

Den beskrevne løsningsmetoden svarer også til bruk av den positive roten i ABC-formelen, og den korrekte løsningen x=30 er oppgitt.

Det skulle gå svært lang tid før det ble akseptert at andregradsligningen også kunne ha negative røtter. Helt fram til middelalderen konsentrerte studiet av andregradsligninger seg om de tre formene som kan ha en positiv rot:


\begin{alignat}{3}
x^2 + px &= q &i) \\
x^2 &= px + q \qquad &ii)\\
x^2 + q &= px &iii)\\
\end{alignat},

der p og q er ikke-negative tall. En finner eksempel på alle disse tre typene i de babylonske tekstene.

Problem der koeffisienten a var ulik 1 løste babylonerne ved å innføre en substitusjonen y = ax som overførte det opprinnelige problemet til et ekvivalent problem for y med første koeffisienten lik 1. Med kjennskap til moderne symbolform for ligningen er dette i dag enkelt, men det vitner om betydelig matematisk innsikt når babylonerne kunne gjøre dette basert på en tekstbeskrivelse av ligning og løsning. Babylonerne løste også høyeregradsligninger ved å bruke substitusjon for å redusere problemet til en andregradsligning.

Egyptisk matematikk nådde ikke like høyt som den babylonske, og løsning av andregradsligninger med tre koeffisienter var ukjent for de gamle egypterne.

I den tiende delen av læreverket Elementene gir den greske matematikeren Euklid som levde omrent 300 år f.Kr en geometrisk metode for løsning av andregradsligningen på forma iii). Han drøfter også vilkår for at koeffisienten p skal være kommensurabel med rotdelen av løsningen, dvs at brøken

p \over {\sqrt{p^2 - 4q}}.

er et rasjonalt tall

Den greske matematikeren Diofant levde omtrent 500 år senere, og i verket Arithmetica var han den første til å innføre en synkopert algebra med en slags symbolnotasjon for ligninger. Ved hjelp av symboler for den ukjente, for ulike potenser av denne og for koeffisientene, skrev han både andregradsligninger og høyeregradsligninger på kompakt form. For andregradsligninger ga Diofant bare den største roten, og negative røtter ble ikke akseptert.

Den første matematikeren som oppgir negative røtter til andregradsligningen er Brahmagupta, som levde i det sentrale India det 7.århundre. På samme måte som Diofantes brukte Brahmagupta en slags symbolnotasjon for ligninger.

Vel 150 år senere, i det 9.århundre, skrev araberen Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi verket Al-jabr wa’l muqabalah som inneholdt en oversikt over løsning av alle andregradsligninger med positive røtter. I tilfelle med to positive røtter er begge oppgitt. Også betydningen av fortegnet til diskriminanten er omtalt. Navnet algebra er en omforming av første ordet al-jabr i tittelen på dette viktige verket, som innførte en ny systematikk i studiet av ligninger.

Et manuskript etter den tyrkiske matematikeren abd-al Hamid ibn-Turk inneholder mye av det samme materiale som i Al-jabr. Manuskriptet er skrevet omtrent samtidig med det arabiske manuskriptet, og det har derfor vært reist spørsmål om hvilket verk som kom tidligst og om det ene bygger på det andre.

En rekke manuskript i fra det 11. og det 12.århundre viser at kinesiske matematikere brukte metoder tilsvarande det som i dag kalles Horners regel for å finne approksimative røtter til polynomligninger av helt opp til fjortende grad.

Franskmannen Francois Viète (1540–1603) videreutviklet notasjonen for ligninger og innførte bruk av symboler også for koeffisientene. Symbolene +/- for addisjon og subtraksjon var allerede i bruk, men Viète tok i bruk en vokal A som symbol for den ukjente og konsonanter B, C, .. for koeffisientene. Symbolbruken var likevel ikke helt gjennomført, da x2 ble betegnet A quadratus, multiplikasjon ble markert med det latinske ordet in og likhetsrelasjonen ble markert med ordet aequalis. Den generelle forma for andregradsligningen kunne dermed skrives

B in A quadratus + C in A aequalis D

Viete utviklet også relasjoner mellom de ukjente og koeffisientene, for de tilfeller der alle størrelsene er positive tall.

Rene Descartes’ arbeid La geometrie er en av de tidligste matematiske tekstene som omhandler algebra som er mulig å følge i dag, uten å ha vansker med notasjonen. Dette ble publisert i 1637, som et appendiks til det større verket Om metoden. Det første bindet i appendikset inneholder en drøfting av løsning av andregradsligninger, ved hjelp av en geometrisk metode. Som så mange før han, neglisjerte Descartes i dette bindet negative løsninger. I tredje bind av La geometrie finnes en mer generell drøfting av løsning av algebraiske ligninger.

Først med teorien for komplekse tall, utviklet blant annet av Abraham de Moivre, Leonhard Euler og Carl Friedrich Gauss, fikk løsningen av andregradsligningen en komplett beskrivelse.

Utledning av ABC-formelen[rediger | rediger kilde]

Multipliserer en den opprinnelige andregradsligningen med koeffisienten a, så får denne forma

 a^2 x^2 + abx + ac = 0 \,

Ligningen er lettere å arbeide med ved å innføre en ny variabel y = ax:

 y^2 + by + ac = 0 \,

Leddene som inneholder y kan gjøres om til et fullstendig kvadrat ved å legge til et ledd b2/4 på begge sider av likhetstegnet, samtidig som en flytter leddet ac over på høyre side av ligningen:

 y^2 + by + \frac{b^2}{4} = \frac{b^2}{4} -ac  \,

Ved hjelp av første kvadratsetning kan venstre side nå skrives som et fullstendig kvadrat:

 (y + \frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4} -ac  \,

Denne enkle andregradsligningen har to røtter, gitt ved

 y + \frac{b}{2} = \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} -ac}

En liten omforming gir

 y = - \frac{b}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{b^2 -4ac}

Og siden x = y/a gir dette ABC-formelen.

Alternativ formel for løsningen[rediger | rediger kilde]

Dersom koeffisienten c er ulik null, så kan løsningene av andregradsligningen skrives på den alternative forma

x =\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}.

Merk at dersom c er lik null, så gir denne forma korrekt den ene løsningen x = 0, men ikke den andre løsningen x = - b/a.

Viètas formler[rediger | rediger kilde]

Viètas formler gir en enkel sammenheng mellom røttene til en polynomligning og koeffisientene i ligningen. For andregradsligningen har formlene forma

 
\begin{alignat}{2}
x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a}.
\end{alignat}

Når koeffisientene og røttene i andregradsligningen er relle kan Vietes formler brukes til å beregne ekstremalverdien for polynomfunksjonen f(x) = ax2 + bx + c, det vil si maksimal- eller minimalverdien til funksjonen. Fra grafen til andregradspolynomet kan en i dette tilfellet se at ekstremalverdien fe gitt for et argument xe som ligger midtveis mellom de to røttene. Fra Vietes første formel finner en

x_e = \frac{1}{2}(x_1 + x_2) = -\frac{b}{2a}

Ekstremalverdien finner en da ved innsetting i funksjonen


f_e = f(x_e) = - \frac{b^2}{4a} + c = - \frac{ b^2 - 4ac} {4a}.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]